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数学において、ブール素イデアル定理は、ブール代数におけるイデアルは素イデアルに拡張できることを述べています。集合上のフィルタに関するこの定理の変形は、超フィルタ補題として知られています。他の定理は、適切なイデアルの概念を持つさまざまな数学的構造、例えば、環論における環と素イデアル、あるいは順序論における分配束と極大イデアルなどを考慮することによって得られます。本稿では、順序論における素イデアル定理に焦点を当てます。
様々な素イデアル定理は単純で直感的に理解できるように見えるかもしれないが、一般には選択公理（ZFと略記）を含まないツェルメロ＝フレンケル集合論の公理から導き出すことはできない。むしろ、いくつかの命題は選択公理（AC）と等価であることが判明する一方、ブール素イデアル定理など、ACよりも厳密に弱い性質を表すものもある。ZFとZF + AC（ZFC）の中間的な位置づけにあるため、ブール素イデアル定理は集合論の公理としてしばしば用いられる。この追加の公理を指すために、BPIまたはPIT（ブール代数）という略語が用いられることもある。
順序イデアルは、(空でない)有向下集合です。この記事内の poset のように、考慮されている半順序集合(poset) が二項上限(別名結合) を持つ場合、これは二項上限 (つまり、暗示する) イデアルIは、その順序集合における集合論的補集合がフィルターである場合に素である(つまり、暗示するまたはイデアルは、全体順序集合と等しくない場合に、適切なイデアルである。
歴史的に見ると、後の素イデアル定理に関連する最初の記述は、実際にはフィルター、つまり双対順序に関してイデアルである部分集合を指していました。超フィルター補題は、集合上のすべてのフィルターが、何らかの極大（真）フィルター、すなわち超フィルターに含まれると述べています。集合上のフィルターは、その冪集合のブール代数の真フィルターであることを思い出してください。この特別な場合、極大フィルター（つまり、どの真フィルターの厳密な部分集合でもないフィルター）と素フィルター（つまり、部分集合XとYのそれぞれの和集合とともに、 XまたはYも含むフィルター）は一致します。したがって、この記述の双対は、冪集合のすべてのイデアルが素イデアルに含まれることを保証します。
上記の記述は、様々な一般化された素イデアル定理につながり、それぞれ弱形式と強形式で存在します。弱素イデアル定理は、あるクラスの非自明な代数には少なくとも1つの素イデアルが存在することを述べています。一方、強素イデアル定理は、与えられたフィルターと互いに素なすべてのイデアルは、そのフィルターと依然として互いに素な素イデアルに拡張できることを要求します。半順序集合ではない代数の場合、フィルターの代わりに異なる部分構造が使用されます。これらの定理の多くの形式は実際には同等であることが知られているため、「PIT」が成り立つという主張は、通常、ブール代数に対応する記述（BPI）が妥当であるという主張として解釈されます。
同様の定理の別の変形として、素イデアルを極大イデアルに置き換える方法がある。対応する極大イデアル定理（MIT）は、必ずしもそうとは限らないが、多くの場合、対応する素イデアル定理（PIT）よりも強力である。
ブール素イデアル定理は、ブール代数における強素イデアル定理である。したがって、形式的な記述は次のようになる。
ブール代数における弱素イデアル定理は、単純に次のように述べられる。
これらの命題を弱BPIと強BPIと呼ぶ。両者は等価であり、強BPIは明らかに弱BPIを含意し、弱BPIを用いて適切な商代数における素イデアルを見つけることで、逆の含意も得られる。
BPIは様々な方法で表現できます。そのためには、次の定理を思い出してください。
ブール代数Bの任意のイデアルIに対して、以下は同値である。
この定理はブール代数においてはよく知られた事実である。その双対定理は、素フィルタと超フィルタの同値性を確立する。最後の性質は実際には自己双対であり、Iがイデアルであるという事前の仮定のみで完全な特徴付けが得られることに注意されたい。この定理に含まれるすべての含意はZFで証明できる。
したがって、ブール代数に関する以下の（強力な）最大イデアル定理（MIT）は、BPIと同等である。
ここで注意すべきは、「グローバルな」最大性が必要であり、 Fと互いに素であるという点における最大性だけではないということである。しかし、この変形によって、BPI の別の同等の特徴付けが得られる。
この命題が BPI と同等であることは、次の定理に注目すれば容易に証明できます。任意の分配束Lに対して、与えられたフィルタFと互いに素なLのすべてのイデアルの中で、イデアルIが最大であるならば、Iは素イデアルです。この命題の証明 (これも ZF 集合論で実行できます) は、イデアルに関する記事に含まれています。任意のブール代数は分配束であるため、これは望ましい含意を示しています。
上記の記述はすべて等価であることが容易にわかります。さらに、ブール代数の双対順序がブール代数そのものであることを利用することもできます。したがって、前述のすべての記述の等価な双対を取ると、ブール代数に等しく適用できる定理がいくつか得られますが、その場合、イデアルのすべての出現箇所はフィルターに置き換えられます。考察対象のブール代数が部分集合順序を持つ冪集合である特殊な場合、「最大フィルター定理」は超フィルター補題と呼ばれることに注意してください。
まとめると、ブール代数においては、弱MITと強MIT、弱PITと強PIT、およびイデアルの代わりにフィルタを用いたこれらの命題はすべて同値である。これらの命題はすべて選択公理ACの帰結であることが知られている（簡単な証明にはゾルンの補題が用いられる）が、ZF （ ACを含まないツェルメロ＝フレンケル集合論）が無矛盾であれば、ZFでは証明できない。しかし、BPIは選択公理よりも厳密に弱いが、この命題の証明はJDハルパーンとアズリエル・レヴィによるもので、かなり非自明である。
前述のセクションでブール代数について議論した典型的な性質は、分配束やハイティング代数などのより一般的な束にも容易に適用できるように修正できます。ただし、これらの場合、極大イデアルは素イデアルとは異なり、PITとMITの関係は自明ではありません。
実際、分配束やハイティング代数に対するMITは選択公理と同等であることが判明しています。一方、分配束に対する強いPITはBPI（すなわちブール代数に対するMITおよびPIT）と同等であることが知られています。したがって、この主張は選択公理よりも厳密に弱いものです。さらに、ハイティング代数は自己双対ではないため、イデアルの代わりにフィルターを使用すると、この設定では異なる定理が得られることに注意してください。おそらく意外なことに、ハイティング代数の双対に対するMITはBPIよりも強くなく、これは上記のハイティング代数に対するMITとは大きく異なります。
最後に、素イデアル定理は、他の（順序論的ではない）抽象代数にも存在します。例えば、環のMITは選択公理を含意します。この場合、順序論的な用語である「フィルター」を別の概念に置き換える必要があります。環の場合は、「乗法的に閉じた部分集合」が適切です。
集合X上のフィルタは、有限の交差と上位集合に関して閉じている、Xの空でない部分集合の空でない集合です。超フィルタは最大フィルタです。超フィルタ補題は、集合X上のすべてのフィルタは、 X上の何らかの超フィルタの部分集合であると述べています。[ 1 ] 有限集合を含まない超フィルタは「非主的」と呼ばれます。超フィルタ補題、特に非主的超フィルタの存在 (有限の補集合を持つすべての集合のフィルタを考える) は、ツォルンの補題から証明できます。
超フィルター補題はブール素イデアル定理と同値であり、選択公理を用いないZF集合論において同値性を証明できる。証明の根底にある考え方は、任意の集合の部分集合は包含関係によって半順序付けられたブール代数を形成し、任意のブール代数はストーンの表現定理によって集合の代数として表現できるというものである。
集合X が有限集合の場合、公理 ZF から超フィルター補題を証明できます。これは無限集合の場合には当てはまらず、追加の公理を仮定する必要があります。超フィルター補題の証明には、ツォルンの補題、選択公理、およびチコノフの定理のいずれも使用できます。超フィルター補題は、選択公理よりも厳密に弱いものです。
超フィルター補題は位相幾何学において多くの応用例がある。超フィルター補題は、ハーン＝バナッハの定理やアレクサンダー部分基底定理を証明するために用いることができる。
直感的に言えば、ブール素イデアル定理は、ブール代数には「十分な」素イデアルが存在する、つまり、すべてのイデアルを極大イデアルに拡張できるという意味で、素イデアルが存在することを述べています。これは、ストーン双対性の特殊なケースであるブール代数に対するストーンの表現定理を証明する上で実用的に重要です。ストーン双対性では、すべての素イデアルの集合に特定の位相を与え、このデータから元のブール代数（同型を除いて）を復元することができます。さらに、応用においては、素イデアルまたは素フィルタのどちらを使用するかを自由に選択できることがわかっています。なぜなら、すべてのイデアルは、その要素のすべてのブール補集合であるフィルタを一意に決定するからです。これらの2つのアプローチは、文献に見られます。
選択公理に基づいているとよく言われる一般位相幾何学の他の多くの定理は、実際にはBPIと同値である。例えば、コンパクトなハウスドルフ空間の積はコンパクトであるという定理は、BPIと同値である。「ハウスドルフ」を省略すれば、完全な選択公理と同値な定理が得られる。
グラフ理論において、デ・ブルイン・エルデシュの定理はBPIと同等の定理である。この定理は、与えられた無限グラフが任意のグラフ彩色において少なくともある有限数kを必要とする場合、 kを必要とする有限部分グラフが存在することを述べている。[ 2 ]
ブール素イデアル定理のあまり知られていない応用例の一つに、非可測集合の存在がある[ 3 ]（通常例として挙げられるのは、選択公理を必要とするヴィタリ集合である）。このことと、BPIが選択公理よりも厳密に弱いという事実から、非可測集合の存在は選択公理よりも厳密に弱いことが導かれる。
線形代数では、ブール素イデアル定理を用いて、与えられたベクトル空間の任意の2つの基底が同じ濃度を持つことを証明することができる。
