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数学において、集合Aは、Aの真部分集合BがAと同数である場合に、デデキント無限（ドイツの数学者リヒャルト・デデキントにちなんで命名）である。具体的には、 AからAの真部分集合Bへの全単射関数が存在することを意味する。集合がデデキント無限でない場合（つまり、そのような全単射が存在しない場合）、デデキント有限である。1888 年にデデキントによって提案されたデデキント無限性は、自然数の定義に依存しない「無限」の最初の定義であった。[ 1 ]
簡単な例を挙げると自然数の集合。ガリレオのパラドックスから、すべての自然数nをその平方n 2に写像する全単射が存在する。平方数の集合は の真部分集合であるため、デデキント無限である。
数学の基礎的危機によって集合論のより慎重な扱いが必要であることが明らかになるまで、ほとんどの数学者は、集合が無限であるのはデデキント無限である場合のみであると仮定していた。20世紀初頭、今日では公理的集合論の最も一般的な形式であるツェルメロ・フレンケル集合論が、ラッセルのパラドックスのようなパラドックスのない集合論を定式化するための公理系として提案された。当初は非常に議論を呼んだ選択公理を含むツェルメロ・フレンケル集合論の公理（ZFC）を用いると、集合がデデキント有限であるのは、通常の意味で有限である場合のみであることを示すことができる。しかし、選択公理（ZF）のないツェルメロ・フレンケル集合論のモデルが存在し、そこには無限かつデデキント有限な集合が存在する。これは、ZFの公理が、デデキント有限なすべての集合が有限であることを証明するのに十分な強さではないことを示している。[ 2 ] [ 1 ]デデキントによって与えられたもの以外にも、選択公理に依存しない集合の有限性と無限性の定義が存在する。
漠然と関連する概念として、デデキント有限環という概念がある。
この「無限集合」の定義は、通常の定義と比較されるべきである。集合は、有限順序数と全単射で表せない場合に無限である。すなわち、 の形の集合である。ある自然数に対して無限集合とは、文字通り「有限ではない」集合のことで、全単射という意味においてそうである。
一方、あるセットはがデデキント無限であるのは、その部分集合が自然数の集合と全単射で対応付けられる場合、すなわち無限非反復数列が存在する場合に限る。その要素の。 [ n 1 ]次のような場合、このような数列は存在し得ないことは直感的に明らかです。は、通常の意味で有限であり、実際、これはの濃度に関する数学的帰納法によって厳密に証明できる。一方、通常の意味で無限である場合、そのような無限数列を構成するには、選択公理（AC）の何らかの（おそらく弱い）形式が必要となる。
19世紀後半、ほとんどの数学者は、集合が無限であるのはデデキント無限である場合に限ると単純に仮定していた。しかし、この同値性は、可算選択公理（通常「ZF 」と表記される）を用いないツェルメロ＝フレンケル集合論の公理では証明できない。同値性を証明するために可算選択公理の完全な強度は必要なく、実際、この2つの定義の同値性は、可算選択公理（CC）よりも厳密に弱い。（下記の参考文献を参照。）
集合Aがデデキント無限であるとは、それが以下のいずれかの同値な条件 ( ZF上) を満たす場合をいう。
以下のいずれかの同値な（ZF上の）条件を満たす場合、それは双対的にデデキント無限である。
以下のいずれかの同値な（ZF上の）条件を満たす場合、それは弱デデキント無限である。
また、ZF上の以下のいずれかの同値条件を満たす場合、それは無限である。
すると、ZF は次の含意を証明する: デデキント無限 ⇒ 双対的にデデキント無限 ⇒ 弱くデデキント無限 ⇒ 無限。
無限デデキント有限集合を持つZFのモデルが存在する。Aをそのような集合とし、BをAからの有限単射列の集合とする。Aは無限集合であるため、 Bから自身への関数「最後の要素を削除する」は全射であるが単射ではない。したがって、 Bは双対的にデデキント無限集合である。しかし、Aはデデキント有限集合であるため、 Bもデデキント有限集合である（Bが可算無限部分集合を持つ場合、 Bの要素が単射列であるという事実を利用して、 Aの可算無限部分集合を示すことができる）。
集合が付加的な構造を持つ場合、 ZF上では、2 種類の無限性が同値であることが証明されることがある。例えば、ZF は、整列集合がデデキント無限であるのは、それが無限集合である場合に限ることを証明している。
この用語は、最初に明確に定義を導入したドイツの数学者リヒャルト・デデキントにちなんで名付けられました。注目すべきは、この定義が自然数の定義に依拠しない「無限」の最初の定義であったことです（ポアンカレに従って、数の概念を集合の概念よりも前に位置づける場合を除きます）。ベルナルド・ボルツァーノはそのような定義を知っていましたが、1819年にプラハ大学から政治的に追放されたため、ごく限られた雑誌以外には発表することができませんでした。さらに、ボルツァーノの定義は、無限集合そのものの定義というよりは、2つの無限集合の間に成り立つ関係をより正確に表していました。
長い間、多くの数学者は無限集合とデデキント無限集合の概念に区別があるかもしれないという考えすら抱いていなかった。実際、この区別が真に認識されたのは、エルンスト・ツェルメロがACを明示的に定式化した後であった。無限デデキント有限集合の存在は、1912年にバートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって研究された。これらの集合は当初、中間基数またはデデキント基数と呼ばれていた。
選択公理が数学界で広く受け入れられるようになったことで、無限集合やデデキント無限集合に関する問題は、多くの数学者にとって以前ほど重要なものではなくなりました。しかし、デデキント無限集合の研究は、有限と無限の境界を明確にしようとする試みにおいて重要な役割を果たし、また選択公理の歴史においても重要な役割を果たしました。
すべての無限整列集合はデデキント無限であり、ACはすべての集合が整列可能であることを示す整列定理と同値であるため、一般ACは明らかにすべての無限集合がデデキント無限であることを示唆する。しかし、この2つの定義の同値性は、ACの完全な強さに比べるとはるかに弱い。
特に、可算無限部分集合を持たない無限集合が存在するZFモデルが存在する。したがって、このモデルでは、無限かつデデキント有限な集合が存在する。以上のことから、このような集合はこのモデルでは整列可能ではない。
可算選択公理（すなわち、AC ω）を仮定すると、すべての無限集合はデデキント無限集合であるという結論が導かれる。しかし、これら2つの定義の同値性は、実際にはAC ωよりも厳密に弱い。具体的には、すべての無限集合がデデキント無限集合であるにもかかわらず、AC ωが成り立たないZFのモデルが存在する（ ZFの無矛盾性を仮定した場合）。
すべてのデデキント無限集合が無限集合であることは、ZF では容易に証明できます。すべての有限集合は定義によりある有限順序数nとの全単射を持ち、nに関する帰納法によってこれがデデキント無限集合ではないことを証明できます。
可算選択公理を用いることで、その逆、すなわちすべての無限集合Xはデデキント無限集合であることを以下のように証明できる。
まず、自然数（つまり有限順序数）上の関数f : N → Power(Power( X ))を定義します。これにより、すべての自然数nに対して、f ( n ) は、サイズnのXの有限部分集合の集合（つまり、有限順序数nと全単射を持つ部分集合）となります。f ( n )は決して空集合ではありません。そうでなければ、X は有限集合になってしまうからです（ nに関する帰納法で証明できます）。
fの像は可算集合{ f ( n ) | n ∈ N } であり、その要素はそれぞれ無限集合 (場合によっては非可算集合) です。可算選択公理を用いると、これらの集合からそれぞれ 1 つの要素を選択でき、この要素はXの有限部分集合となります。より正確には、可算選択公理によれば、すべての自然数 n に対して g ( n ) が f ( n ) の要素であり、したがってサイズ n の X の有限部分集合となるような(可算)集合G = { g ( n ) | n ∈ N }が存在します。
ここで、 U をG の要素の和集合と定義します。U は X の無限可算部分集合であり、自然数から U への全単射 h : N → Uは容易に定義できます。 ここで、Uに含まれないすべての要素をそれ自身に写像し、すべての自然数に対して h ( n ) を h ( n + 1 ) に写像する全単射B : X → X \ h ( 0 )を定義 します。したがって、Xはデデキント無限集合であり、証明は完了です。
圏論的に表現すると、集合Aは、集合の圏において、すべての単射f : A → Aが同型である場合にデデキント有限である。フォン・ノイマン正則環Rは、(左または右) R加群の圏において、Rにおいてxy = 1ならばyx = 1である場合に限り、同様の性質を持つ。より一般的には、デデキント有限環とは、後者の条件を満たす任意の環である。ただし、その基礎となる集合がデデキント無限であっても、環がデデキント有限である場合があることに注意が必要である。例えば、整数 などである。
