不連続線形マップ

数学において、線形写像は、線形空間の代数構造を保持する「単純な」関数の重要なクラスを形成し、より一般的な関数の近似としてよく使用されます（線形近似を参照）。関係する空間が位相空間（つまり、位相ベクトル空間）でもある場合、すべての線形写像が連続であるかどうかを問うことは理にかなっています。無限次元位相ベクトル空間（例えば、無限次元ノルム空間）上で定義された写像については、一般的に答えはいいえであることがわかります。不連続な線形写像が存在するのです。定義域が完備である場合は、より複雑になります。そのような写像が存在することは証明できますが、証明は選択公理に依存しており、明示的な例は提供されていません。

XとYを2つのノルム空間とし、${\displaystyle f:X\to Y}$XからYへの線形写像。Xが有限次元の場合、基底を選択する。${\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right)}$Xは単位ベクトルとみなすことができる。すると、 $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i}),}$$ したがって、三角不等式により、 $${\displaystyle \|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.}$$ 賃貸 $${\displaystyle M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\},}$$ そして、 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|}$$有限次元空間上の任意の2つのノルムは等価であるという事実から導かれる、 あるC > 0に対して、次のことが分かる。 $$\displaystyle \|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|.}$$ したがって、${\displaystyle f}$は有界線形作用素であり、したがって連続です。実際、これを確認するには、fが線形であることに注目するだけで十分です。したがって${\displaystyle \|f(x)-f(x')\|=\|f(xx')\|\leq K\|xx'\|}$ある普遍定数Kに対して。したがって、任意の${\displaystyle \epsilon >0,}$ 私たちは選ぶことができます${\displaystyle \delta \leq \epsilon /K}$となることによって${\displaystyle f(B(x,\delta ))\subseteq B(f(x),\epsilon )}$（${\displaystyle B(x,\delta )}$そして ${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$周囲の正規化されたボールは${\displaystyle x}$そして${\displaystyle f(x)}$）これにより、連続性がもたらされる。

Xが無限次元の場合、上限M が存在するという保証がないため、この証明は失敗します。Y が零空間 {0} の場合、XとYの間の写像は零写像のみであり、これは自明に連続です。その他のすべての場合、つまりXが無限次元でY が零空間でない場合は、 XからYへの不連続写像を見つけることができます。

不連続線形写像の例は、完備でない空間では簡単に構築できます。任意のコーシー列では${\displaystyle e_{i}}$線形独立なベクトルの極限を持たない線形演算子が存在する${\displaystyle T}$量${\displaystyle \|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|}$際限なく増大する。ある意味では、空間に「穴」があるため、線形演算子は連続ではない。

例えば、空間を考えてみましょう${\displaystyle X}$区間 [0, 1] 上の実数値の滑らかな関数で、一様ノルムを持つもの、すなわち、 $${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|.}$$点における導関数 マップは、次のように表される。 $${\displaystyle T(f)=f'(0)\,}$$ 定義済み${\displaystyle X}$そして実数値の場合、線形ではあるが連続ではない。実際、数列を考えてみよう。 $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}}$$ のために${\displaystyle n\geq 1}$この数列は、常にゼロとなる関数に一様に収束するが、 $${\displaystyle T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to​​ \infty }$$

として${\displaystyle n\to \infty }$の代わりに${\displaystyle T(f_{n})\to T(0)=0}$連続写像の場合と同様である。${\displaystyle T}$は実数値であり、したがって実際には線形汎関数である。${\displaystyle X}$（代数的双対空間の要素）${\displaystyle X^{*}}$) 線形マップ${\displaystyle X\to X}$各関数にその導関数を割り当てると、同様に不連続になります。導関数演算子は連続ではありませんが、閉じていることに注意してください。

ここで定義域が完全ではないという事実は重要である。完全空間上の不連続演算子を扱うには、もう少し多くの作業が必要となる。

有理数上のベクトル空間としての実数の代数的基底は、ハーメル基底として知られています（ただし、一部の著者はこの用語をより広い意味で、任意のベクトル空間の代数的基底という意味で使用しています）。任意の2つの非可換数、例えば1と${\displaystyle \pi }$は線形独立である。それらを含むハーメル基底を見つけて、写像を定義することができる。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$となることによって${\displaystyle f(\pi )=0,}$f は残りのハーメル基底の恒等式として機能し、すべての${\displaystyle \mathbb {R} }$線形性により。{ r _n } _{n を、}収束する任意の有理数列とする。${\displaystyle \pi }$すると lim _n f ( r _n ) = π となるが、${\displaystyle f(\pi )=0.}$ 構成上、fは線形である${\displaystyle \mathbb {Q} }$（それ以上ではない）${\displaystyle \mathbb {R} }$）であるが、連続ではない。fは可測でもないことに注意。加法的な実関数は、可測である場合に限り線形であるため、そのような関数ごとにヴィタリ集合が存在する。fの構成は選択公理に基づいている。

この例は、任意の無限次元ノルム空間（ただし、終域が自明でない場合）における不連続線形写像の存在に関する一般的な定理へと拡張することができる。

不連続線形写像は、空間が完備であっても、より一般的に存在することが証明できる。XとY を体K 上のノルム空間とする。${\displaystyle K=\mathbb {R} }$または${\displaystyle K=\mathbb {C} .}$Xは無限次元であり、Yは零空間ではないと仮定します。XからKへの不連続線形写像fを見つけます。これにより、次の式で与えられるXからYへの不連続線形写像gの存在が導かれます。${\displaystyle g(x)=f(x)y_{0}}$どこ${\displaystyle y_{0}}$は、 Y内の任意の非ゼロベクトルです。

Xが無限次元の場合、連続でない線形汎関数の存在を示すことは、有界でないf を構成することに相当します。そのためには、数列( e _n ) _n ( を考えます。${\displaystyle n\geq 1}$）X内の線形独立なベクトルを正規化します。次に、 $${\displaystyle T(e_{n})=n\|e_{n}\|\,}$$ 各${\displaystyle n=1,2,\ldots }$この線形独立なベクトル列を、基底内の他のベクトルにおけるTをゼロと定義することで、 Xのベクトル空間基底に完成させます。このように定義されたTは、 X上の線形写像に一意に拡張されますが、明らかに有界ではないため、連続ではありません。

線形独立なベクトルの集合は基底に展開できるという事実を用いることで、暗黙のうちに選択公理を用いたことに注目してください。これは前の節の具体的な例では必要ありませんでした。

前述のように、選択公理（AC）は、不連続線形写像の一般的な存在定理で用いられます。実際には、完全定義域を持つ不連続線形写像の構成的な例はありません（例えば、バナッハ空間など）。しかし、実務に携わる数学者が通常行う解析学では、選択公理は常に用いられます（これはZFC集合論の公理です）。したがって、解析学者にとっては、すべての無限次元位相ベクトル空間は不連続線形写像を持つことになります。

一方、1970年にロバート・M・ソロベイは、実数のすべての集合が可測である集合論のモデルを示した。 ^{[ 1 ]} これは、不連続な線形実関数が存在しないことを意味する。明らかに、このモデルではACは成り立たない。

ソロベイの結果は、すべての無限次元ベクトル空間が不連続な線形写像を許容すると仮定する必要がないことを示しており、より構成主義的な観点を採用する解析学派が存在する。例えば、HG ガルニールは、いわゆる「夢の空間」（ノルム空間へのすべての線形写像が連続である位相ベクトル空間）を探求する中で、ガルニール・ライト閉グラフ定理を証明するための公理として ZF + DC + BP（依存選択は弱化形式であり、ベール特性は強 AC の否定である）を採用するに至った。この定理は、とりわけ、F 空間から TVS への任意の線形写像は連続であると述べている。構成主義の極限まで進むと、すべての関数が連続であると述べるCeitin の定理がある（これは、表現可能な関数のみが関数とみなされる構成主義の用語で理解されるべきである）。^{[ 2 ]} このような立場は、現役の数学者のごく少数派によってのみ保持されている。

結論として、不連続線形写像の存在はACに依存する。ACを用いない集合論では、完備空間上には不連続線形写像は存在しない。特に、微分などの具体的な構成法では、完備空間上のあらゆる場所で不連続線形写像を定義することはできない。

自然界に存在する多くの線形不連続作用素は閉作用素であり、閉作用素は連続作用素のいくつかの特徴を共有する作用素のクラスである。与えられた空間上のどの線形作用素が閉作用素であるかを問うことは理にかなっている。閉グラフ定理は、完全領域上の至るところで定義された閉作用素は連続であると主張しているため、不連続閉作用素を得るには、至るところで定義されていない作用素を許容する必要がある。

より具体的に言うと、${\displaystyle T}$から地図になる${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$ドメイン付き${\displaystyle \operatorname {Dom} (T),}$書かれた${\displaystyle T:\operatorname {Dom} (T)\subseteq X\to Y.}$X を閉包に置き換えても、失うものはほとんどありません。${\displaystyle \operatorname {Dom} (T).}$つまり、至るところで定義されていない演算子を研究する場合、一般性を損なうことなく、密に定義された演算子にのみ注目を限定することができる。

グラフが${\displaystyle \Gamma (T)}$の${\displaystyle T}$閉鎖中${\displaystyle X\times Y,}$T を閉じていると呼ぶ。そうでない場合は、その閉包を考える。${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$で${\displaystyle X\times Y.}$ もし${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$それ自体が何らかの演算子のグラフである${\displaystyle {\overline {T}},}$${\displaystyle T}$は閉じられると呼ばれ、${\displaystyle {\overline {T}}}$閉鎖と呼ばれる${\displaystyle T.}$

したがって、至るところで定義されていない線形作用素について自然に問われるのは、それらが閉包可能かどうかという点である。答えは「必ずしもそうではない」である。実際、すべての無限次元ノルム空間は、閉包不可能な線形作用素を許容する。上で考察した不連続作用素の場合と同様に、証明には選択公理が必要となるため、一般には非構成的である。ただし、Xが完全でない場合は、構成可能な例が存在する。

実際、グラフがすべての閉包を持つ線形演算子の例さえあります。${\displaystyle X\times Y.}$ このような演算子は閉じることができません。Xを[0,1] から までの多項式関数 の空間とします。${\displaystyle \mathbb {R} }$Yは[2,3] からまでの多項式関数の空間です${\displaystyle \mathbb {R} }$これらはそれぞれC ([0,1]) とC ([2,3]) の部分空間であり、したがってノルム空間である。 [0,1] 上の多項式関数x ↦ p ( x ) を [2,3] 上の同じ関数に変換する演算子Tを定義する。ストーン・ワイエルシュトラスの定理の結果として、この演算子のグラフは に密である。${\displaystyle X\times Y,}$これは一種の最大不連続線形写像（至るところで連続でない関数）を提供する。このような構成可能な写像が存在する場合には必ずそうであるように、ここではXは完全ではないことに注意されたい。

位相ベクトル空間の双対空間は、その空間から基礎となる体への連続線形写像の集合である。したがって、無限次元ノルム空間において一部の線形写像が連続性を欠くということは、これらの空間においては、代数双対空間と連続双対空間（真部分集合）を区別する必要があることを意味する。これは、有限次元空間に比べて無限次元空間の解析にはより一層の注意が必要であることを示している。

ノルム空間上の不連続線形写像の存在に関する議論は、すべての距離化可能な位相ベクトル空間、特にすべてのフレシェ空間に一般化できますが、すべての汎関数が連続であるような無限次元の局所凸位相ベクトル空間が存在します。^{[ 3 ]}一方、すべての局所凸空間に適用されるハーン・バナッハの定理は、多くの連続線形汎関数の存在、したがって大きな双対空間の存在を保証します。実際、すべての凸集合に対して、ミンコフスキーゲージは連続線形汎関数を対応付けます。結論として、凸集合が少ない空間は汎関数が少なく、最悪の場合、空間にはゼロ汎関数以外の汎関数がまったくない可能性があります。これは、${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,dx)}$スペース${\displaystyle 0<p<1,}$これから、これらの空間は非凸であることがわかる。ここで示されているのは実数直線上のルベーグ測度であることに注意されたい。他にもある。${\displaystyle L^{p}}$スペース${\displaystyle 0<p<1}$それらは非自明な双対空間を持つ。

別の例としては、準ノルムが次のようになる 単位区間上の実数値可測関数の空間がある。$${\displaystyle \|f\|=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx.}$$ この非局所凸空間は、自明な双対空間を持つ。

さらに一般的な空間についても考えることができる。例えば、完全分離可能距離群間の準同型写像の存在は、非構成的な方法でも示すことができる。

• 最適な局所凸トポロジー– 凸集合によって生成されるトポロジーを持つ空間 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 劣線形関数– 線形代数における関数の種類 

• Constantin Costara、Dumitru Popa、「機能分析の演習」、Springer、2003。ISBN 1-4020-1560-7。
• シェクター、エリック、『解析学とその基礎ハンドブック』、アカデミック・プレス、1997年。ISBN 0-12-622760-8。