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数理論理学において、公理スキーマ（複数形：公理スキーマまたは公理スキーマ群）は公理の概念を一般化します。
正式な定義
公理スキーマは、公理システムのメタ言語における式であり、1 つ以上のスキーマ変数が出現する。メタ言語的構成であるこれらの変数は、システムの任意の項または部分式を表し、特定の条件を満たすために必要である場合とそうでない場合がある。多くの場合、そのような条件では、特定の変数が自由であるか、特定の変数が部分式または項に出現しないことが求められる[要出典]。
例
公理スキーマのよく知られた 2 つの例は次のとおりです。
チェスワフ・リル＝ナルジェフスキはペアノ算術は有限に公理化できないことを証明し、リチャード・モンタギューはZFCは有限に公理化できないことを証明した。[1] [2]したがって、これらの理論から公理の図式を排除することはできない。これは、数学、哲学、言語学などの他の多くの公理理論にも当てはまる。
有限公理化
スキーマ変数の代わりに挿入できる可能な部分式または項の数は無限であるため、公理スキーマは無限のクラスまたは公理の集合を表します。この集合は、多くの場合、再帰的に定義できます。スキーマなしで公理化できる理論は、有限に公理化可能であると言われます。
有限公理化された理論
ZFCのすべての定理はフォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論の定理でもありますが、後者は有限に公理化できます。集合論New Foundations は、層化の概念を通じて有限に公理化できます。
高階論理では
第一階述語論理における図式的変数は、第二階述語論理では簡単に除去できます。これは、図式的変数が理論の個体に対する任意の特性または関係のプレースホルダーであることが多いためです。これは、前述の帰納法と置換法の図式の場合に当てはまります。高階述語論理では、量化された変数がすべての可能な特性または関係に及ぶことができます。
参照
注記
- ^ リル・ナルゼフスキー 1952年。
- ^ モンタギュー 1961年。
参考文献
- コーコラン、ジョン(2006)、「スキーマタ: 論理学の歴史におけるスキーマの概念」(PDF)、Bulletin of Symbolic Logic、12 (2): 219–240、doi :10.2178/bsl/1146620060、S2CID 6909703。
- コーコラン、ジョン (2016)。「スキーマ」。ザルタ、エドワード N. (編)。スタンフォード哲学百科事典。
- メンデルソン、エリオット（1997）、数学論理学入門（第4版）、チャップマン＆ホール、ISBN 0-412-80830-7。
- モンタギュー、リチャード (1961)、「意味的閉包と非有限公理化可能性 I」、サミュエル R. バス (編)、無限論的方法: 数学の基礎に関するシンポジウムの議事録、ペルガモン プレス、pp. 45–69。
- ポッター、マイケル（2004）、集合論とその哲学、オックスフォード大学出版局、ISBN 9780199269730。
- Ryll-Nardzewski、Czesław (1952)、「初等算術における帰納法公理の役割」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、39 : 239–263、doi :10.4064/fm-39-1-239-263。