接触メカニズム

半径の弾性球${\displaystyle R}$弾性半空間を凹ませると、全体の変形は${\displaystyle d}$半径の接触面積が生じる

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

加えられた力${\displaystyle F}$変位に関連している${\displaystyle d}$[ ^{4 ]​}

${\displaystyle F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{\frac {1}{2}}d^{\frac {3}{2}}}$

どこ

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

そして${\displaystyle E_{1}}$、${\displaystyle E_{2}}$弾性係数と$\displaystyle \nu _{1}}$、$\displaystyle \nu _{2}}$各物体に関連付けられたポアソン比。

円の中心からの距離の関数としての接触領域における法線圧力の分布は^{[ 1 ]である。}

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

どこ${\displaystyle p_{0}}$最大接触圧力は次式で与えられる。

${\displaystyle p_{0}={\frac {3F}{2\pi a^{2}}}={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {6F{E^{*}}^{2}}{R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

円の半径は、加えられた荷重に関係している。${\displaystyle F}$方程式により

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3FR}{4E^{*}}}}$

総変形量${\displaystyle d}$最大接触圧力との関係は

$d={\frac {a^{2}}{R}}=\left({\frac {9F^{2}}{16{E^{*}}^{2}R}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

最大せん断応力は内部で発生する。${\displaystyle z\約 0.49a}$のために${\displaystyle \nu =0.33}$。

半径の異なる 2 つの球の接触の場合${\displaystyle R_{1}}$そして${\displaystyle R_{2}}$接触領域は半径の円である${\displaystyle a}$有効半径を除いて、方程式は半平面に接触する球の場合と同じです。${\displaystyle R}$^{[ 4 ]}と定義される

$\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

これは半径の球体同士の接触に相当する。${\displaystyle R}$そして飛行機。

剛体円筒が弾性半空間に押し込まれると、^{[ 17 ]で説明される圧力分布が生じる。}

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

どこ${\displaystyle R}$は円筒の半径であり、

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{R}}}$

圧痕深さと垂直力の関係は次のように表される。

${\displaystyle F=2RE^{*}d}$

ヤング率の弾性半空間の圧痕の場合${\displaystyle E}$剛性の円錐形圧子を使用して、接触領域の深さ${\displaystyle \epsilon }$接触半径${\displaystyle a}$^{[ 17 ]}によって関連付けられている

${\displaystyle \epsilon =a\tan(\theta )}$

と${\displaystyle \theta }$円錐の平面と側面との間の角度として定義される。全圧痕深さ${\displaystyle d}$次のように与えられます。

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}\epsilon }$

合計力は

${\displaystyle F={\frac {\pi E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}a^{2}\tan(\theta )={\frac {2E}{\pi \left(1-\nu ^{2}\right)}}{\frac {d^{2}}{\tan(\theta )}}}$

圧力分布は次のように表される。

${\displaystyle p\left(r\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\ln \left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\cosh ^{-1}\left({\frac {a}{r}}\right)}$

応力は円錐の先端で対数的な特異点を持つ。

平行軸を持つ2つの円筒が接触している場合、力は円筒の長さLと圧痕深さdに比例する: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle F\approx {\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld}$

この関係式には曲率半径は全く含まれていません。接触半径は通常の関係式で表されます。

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

と

$\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

2つの球体が接触している場合と同様です。最大圧力は

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

ベアリングの場合、接触は多くの場合、凸面（雄シリンダーまたは球）と凹面（雌シリンダーまたは球：穴または半球状カップ）との間の接触です。

次元削減法(MDR) では、いくつかの接触問題を解くことができます。この方法では、元の 3 次元システムを、物体と線形弾性または粘弾性の基礎との接触に置き換えます (図を参照)。物体の形状を変更し、基礎の要素を MDR の規則に従って定義すると、1 次元システムの特性は元の 3 次元システムの特性と完全に一致します。^{[ 19 ] [ 20 ]} MDR は、Ludwig Föppl (1941) と Gerhard Schubert (1942)によって最初に得られた軸対称接触問題の解に基づいています^{[ 21 ]}

しかし、正確な解析結果を得るためには、接触問題が軸対称であり、接触面がコンパクトであることが必要である。

ヘルツ接触問題の解を求める際には、以下の仮定が置かれる。

• ひずみは小さく、弾性限界内である。
• 表面は連続的で非適合である（つまり、接触面積は接触する物体の特性寸法よりもはるかに小さい）。
• それぞれの物体は、弾性のある半空間とみなすことができる。
• 表面は摩擦がない。

これらの仮定の一部または全部が破られると、さらに複雑な問題が生じ、そのような接触問題は通常、非ヘルツ接触と呼ばれます。

非接着接触問題の解析解法は、接触領域の形状に基づいて 2 つのタイプに分類できます。^{[ 22 ]} 適合接触とは、変形が発生する前に 2 つの物体が複数の点で接触している接触です (つまり、単に「ぴったりと合う」接触です)。非適合接触とは、物体の形状が十分に異なっているため、無荷重では、1 点 (または場合によっては線に沿って) でのみ接触している接触です。非適合の場合、接触領域は物体のサイズに比べて小さく、応力はこの領域に高度に集中します。このような接触は集中接触と呼ばれ、そうでない場合は多様接触と呼ばれます。

線形弾性論における一般的なアプローチは、接触領域に作用する点荷重に対応する複数の解を重ね合わせることです。例えば、半平面への荷重の場合、フラマン解が出発点としてよく用いられ、その後、接触領域の様々な形状に一般化されます。接触する2つの物体間の力とモーメントのバランスは、解に対する追加の制約条件として作用します。

（2次元）半平面上の点接触

接触問題を解くための出発点は、右図に示す等方性、均質性、線形弾性の半平面に作用する「点荷重」の影響を理解することです。この問題は、平面応力または平面ひずみのいずれかになります。これは、牽引境界条件を満たす線形弾性の境界値問題です。

${\displaystyle \sigma _{xz}(x,0)=0~;~~\sigma _{z}(x,z)=-P\delta (x,z)}$

どこ${\displaystyle \delta (x,z)}$はディラックのデルタ関数です。境界条件は、表面にせん断応力がなく、(0, 0)に特異な垂直力Pが作用することを示しています。これらの条件を弾性の支配方程式に適用すると、次の結果が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {x^{2}z}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{zz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {z^{3}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {xz^{2}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

ある時点で、${\displaystyle (x,y)}$半平面内において、図中の円は最大せん断応力が一定となる面を示している。この応力場から、ひずみ成分、ひいてはすべての物質点の変位を求めることができる。

接触問題を解くために数値解法を用いる場合、適合接触と非適合接触の区別は不要である。これらの方法は、基礎となる方程式の一般的な定式化のみに基づいているため、解法プロセスにおいてさらなる仮定を必要としない。^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}物体の変形と運動を記述する標準方程式に加えて、2つの追加の不等式を定式化することができる。1つ目は、貫通が発生しないという仮定によって、物体の運動と変形を単純に制限するものである。したがって、ギャップは${\displaystyle h}$2つの物体間の値は正またはゼロのみである

${\displaystyle h\geq 0}$

どこ${\displaystyle h=0}$接触を表す。接触力学における2番目の仮定は、接触領域内で張力が発生しないという事実に関係している（接触している物体は付着力なしで持ち上げることができる）。これにより、接触界面で応力が満たさなければならない不等式が導かれる。これは、垂直応力に対して定式化される。${\displaystyle \sigma _{n}=\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} }$。

表面同士が接触している箇所では、隙間はゼロである。${\displaystyle h=0}$そして、そこでは法線応力はゼロとは異なり、${\displaystyle \sigma _{n}<0}$表面が接触していない場所では、垂直応力はゼロになります。${\displaystyle \sigma _{n}=0}$ギャップは正の値である。つまり、${\displaystyle h>0}$この種の相補性定式化は、いわゆるクーン・タッカー形式で表現できます。

${\displaystyle h\geq 0\,,\quad \sigma _{n}\leq 0\,,\quad \sigma _{n}\,h=0\,.}$

これらの条件は一般的に有効です。ギャップの数学的定式化は、固体の基礎理論の運動学（例えば、2次元または3次元の線形または非線形固体、梁モデルまたはシェルモデル）に依存します。法線応力を再述することで${\displaystyle \sigma _{n}}$接触圧力に関して言えば、${\displaystyle p}$; つまり、${\displaystyle p=-\sigma _{n}}$クーン・タッカー問題は、標準的な相補性形式で次のように言い換えることができる。$${\displaystyle h\geq 0\,,\quad p\geq 0\,,\quad p\,h=0\,.}$$線形弾性の場合、ギャップは次のように定式化できます。$${\displaystyle {h}=h_{0}+{g}+u,}$$どこ${\displaystyle h_{0}}$剛体分離とは、${\displaystyle g}$接触部の形状/地形（円筒形と粗さ）と${\displaystyle u}$は弾性変形/たわみです。接触する物体が線形弾性半空間として近似される場合、ブシネスク-セルッティ積分方程式の解を適用して変形を表現できます（${\displaystyle u}$接触圧力の関数として（${\displaystyle p}$); つまり、$${\displaystyle u=\int _{\infty }^{\infty }K(x-s)p(s)ds,}$$どこ$${\displaystyle K(x-s)={\frac {2}{\pi E^{*}}}\ln |x-s|}$$弾性半空間の線荷重の場合、$${\displaystyle K(x-s)={\frac {1}{\pi E^{*}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(x_{1}-s_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-s_{2}\right)^{2}}}}}$$弾性半空間の点荷重の場合。^{[ 1 ]}

離散化後、線形弾性接触力学の問題は、標準的な線形相補性問題（LCP）の形式で定式化できる。^{[ 28 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {h} &=\mathbf {h} _{0}+\mathbf {g} +\mathbf {Cp} ,\\\mathbf {h} \cdot \mathbf {p} &=0,\,\,\,\mathbf {p} \geq 0,\,\,\,\mathbf {h} \geq 0,\\\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \mathbf {C} }$これは、接触圧力と変形を関連付ける影響係数と呼ばれる要素を持つ行列です。上記で示したCM問題の厳密なLCP定式化により、レムケのピボットアルゴリズムなどの確立された数値解法を直接適用できます。レムケアルゴリズムの利点は、有限回の反復で数値的に正確な解を見つけることができることです。Almqvistらが提示したMATLAB実装は、この問題を数値的に解くために使用できる例の1つです。さらに、Almqvistらは、2D線形弾性接触力学問題のLCP解のサンプルコードもMATLABファイル交換で公開しています。

1966年、グリーンウッドとウィリアムソン（GW）^{[ 31 ]}は、粗面の弾性接触力学の理論を提唱しました。この理論は、今日では摩擦学（摩擦、接着、熱伝導、電気伝導、摩耗など）における多くの理論の基礎となっています。彼らは、滑らかな剛体平面と、同じ半径Rの丸い先端突起で覆われた、名目上は平坦な変形可能な粗面との接触を考察しました。彼らの理論では、各突起の変形は隣接する突起の変形とは独立しており、ヘルツモデルで記述されると仮定しています。突起の高さはランダムに分布します。突起の高さが${\displaystyle z}$そして${\displaystyle z+dz}$は ${\displaystyle \phi (z)dz}$著者らは接触点の数nと総接触面積を計算した。${\displaystyle A_{r}}$そして、一般的な場合の総荷重 P は、基本形式と標準化変数を使用した形式の 2 つの形式で示されました。粗い表面を N 個の突起が覆っていると仮定すると、予想される接触数は次のようになります。

${\displaystyle n=N\int _{d}^{\infty }\phi (z)dz}$

予想される総接触面積は、次の式から計算できます。

${\displaystyle A_{a}=N\pi R\int _{d}^{\infty }(z-d)\phi (z)dz}$

そして期待される総力は次のように与えられる。

${\displaystyle P={\frac {4}{3}}NE_{r}{\sqrt {R}}\int _{d}^{\infty }(z-d)^{\frac {3}{2}}\phi (z)dz}$

どこ：

Rは微細突起の曲率半径、

zはプロファイルラインから測定した微細突起の高さです。

d、表面を閉じる、

${\displaystyle E_{r}=\left({\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}\right)^{-1}}$複合ヤング弾性係数、

${\displaystyle E_{i}}$表面の弾性係数、

${\displaystyle \nu _{i}}$、ポアソン表面係数。

グリーンウッドとウィリアムソンは標準化された分離を導入した${\displaystyle h=d/\sigma }$および標準化された身長分布${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$標準偏差が1に等しいもの。以下に、標準化された形式の式を示します。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(h)&=\int _{h}^{\infty }(s-h)^{n}\phi ^{*}(s)ds\\n&=\eta A_{n}F_{0}(h)\\A_{a}&=\pi \eta AR\sigma F_{1}(h)\\P&={\frac {4}{3}}\eta AE_{r}{\sqrt {R}}\sigma ^{\frac {3}{2}}F_{\frac {3}{2}}(h)\end{aligned}}}$

どこ：

dは分離距離です。

${\displaystyle A}$は公称接触面積です。

${\displaystyle \eta }$は表面の凹凸密度であり、

${\displaystyle E^{*}}$は有効ヤング率です。

${\displaystyle A}$そして${\displaystyle P}$決定できるのは${\displaystyle F_{n}(h)}$与えられた表面に対して、表面粗さの畳み込みを用いて各項が計算される。${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$[ ^{34 ]いくつかの研究では、}提案された曲線フィッティングに従って、${\displaystyle F_{n}(h)}$^{Arcoumanis ら[ 35 ]}や Jedynak ^{[ 36 ]}らが提示した曲線近似によるガウス表面高さ分布を仮定する。エンジニアリング表面はガウス表面高さ分布を示さないことが繰り返し観察されている。例えば Peklenik ^{[ 37 ]}や Leighton ら^{[ 38 ]}は、交差ハッチングされた IC エンジンシリンダーライナー表面の近似と、それを決定するプロセスを提示した。${\displaystyle F_{n}(h)}$測定されたあらゆる表面の用語。Leighton ら^{[ 38 ]}は、ガウスフィットデータはエンジニアリングされた表面のモデリングには正確ではないことを示し、さらに^{[ 39 ]}表面の初期走行により、表面のトポグラフィー、耐荷重能力、摩擦が大きく変化する緩やかな遷移が生じることを実証しました。

最近、正確な近似値は${\displaystyle A_{r}}$そして${\displaystyle P}$これらはジェディナクによって発表された。^{[ 36 ]}これらは、積分の近似値である次の有理式で与えられる。${\displaystyle F_{n}(h)}$これらは、ガウス分布の凹凸に対して計算されますが、これは工学的な表面では非現実的であることが示されていますが、摩擦、耐荷重能力、または実際の接触面積の結果が解析にとって重要でない場合は、これを仮定することができます。^{[ 38 ]}

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

のために${\displaystyle F_{1}(h)}$係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.398942280401,0.159773702775,0.0389687688311,0.00364356495452]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=\left[1.653807476138,1.170419428529,0.448892964428,0.0951971709160,0.00931642803836,-6.383774657279\times 10^{-6}\right]\end{aligned}}}$

最大相対誤差は${\displaystyle 9.93\times 10^{-8}\%}$。

のために${\displaystyle F_{\frac {3}{2}}(h)}$係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.430019993662,0.101979509447,0.0229040629580,0.000688602924]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.671117125984,1.199586555505,0.46936532151,0.102632881122,0.010686348714,0.0000517200271]\end{aligned}}}$

最大相対誤差は${\displaystyle 1.91\times 10^{-7}\%}$論文^{[ 36 ]}には、以下の正確な式も記載されている。${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(h)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}h^{2}\right)-{\frac {1}{2}}h\,\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)\\F_{\frac {3}{2}}(h)&={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right){\sqrt {h}}\left(\left(h^{2}+1\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-h^{2}K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

ここで、erfc(z)は相補誤差関数を意味し、${\displaystyle K_{\nu }(z)}$これは第二種変形ベッセル関数である。

2つの表面の凹凸がガウス分布の高さを持ち、ピークが球形であると仮定できる状況では、^{[ 31 ]}平均接触圧力は降伏を引き起こすのに十分であり、${\displaystyle p_{\text{av}}=1.1\sigma _{y}\approx 0.39\sigma _{0}}$どこ${\displaystyle \sigma _{y}}$は一軸降伏応力であり、${\displaystyle \sigma _{0}}$は圧痕硬度である。^{[ 1 ]} グリーンウッドとウィリアムソン^{[ 31 ]}は無次元パラメータを定義した。${\displaystyle \Psi }$これは塑性指数と呼ばれ、接触が弾性的か塑性的かを判断するために使用できる。

グリーンウッド・ウィリアムソンモデルでは、表面粗さの標準偏差と突起ピークの曲率という、統計的に依存する2つの量の知識が必要です。塑性指数の別の定義はミキッチによって与えられています。^{[ 32 ]} 降伏は、圧力が一軸降伏応力よりも大きい場合に発生します。降伏応力は圧痕硬度に比例するため、${\displaystyle \sigma _{0}}$ミキッチは弾塑性接触の塑性指数を次のように定義した。

${\displaystyle \Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>{\frac {2}{3}}~.}$

この定義では${\displaystyle \Psi }$これは、完全な塑性状態における微細な粗さを表し、表面測定値から計算できる統計量であるrms勾配のみが必要です。${\displaystyle \Psi <{\frac {2}{3}}}$接触時には表面は弾性的に振る舞う。

グリーンウッド・ウィリアムソンモデルとミキッチモデルの両方において、荷重は変形面積に比例すると仮定されています。したがって、システムが塑性的に振る舞うか弾性的に振る舞うかは、加えられた垂直力とは無関係です。^{[ 1 ]}

ジョン・A・グリーンウッドとジョン・H・トリップ（GT）によって提案されたモデル^{[ 40 ]}は、 GWモデルを2つの粗面間の接触に拡張したものです。GTモデルは、弾性流体力学解析の分野で広く使用されています。

GTモデルで最も頻繁に引用される方程式は、突起接触面積に関するものである。

${\displaystyle A_{a}=\pi ^{2}(\eta \beta \sigma )^{2}AF_{2}(\lambda ),}$

突起によって支えられる荷重

${\displaystyle P={\frac {8{\sqrt {2}}}{15}}\pi (\eta \beta \sigma )^{2}{\sqrt {\frac {\sigma }{\beta }}}E'AF_{\frac {5}{2}}(\lambda ),}$

どこ：

${\displaystyle \eta \beta \sigma }$粗さパラメータ、

${\displaystyle A}$公称接触面積、

${\displaystyle \lambda }$、ストライベック油膜パラメータは、ストライベックによって最初に定義された[引用文献]。${\displaystyle \lambda =h/\sigma }$、

${\displaystyle E'}$有効弾性率、

${\displaystyle F_{2},F_{\frac {5}{2}}(\lambda )}$、凹凸のガウス分布を仮定して適合させるために導入された統計関数。

マシュー・レイトンら^{[ 38 ]}は、クロスハッチングされたICエンジンシリンダーライナー表面の適合と、それを決定するプロセスを提示した。${\displaystyle F_{n}(h)}$測定されたあらゆる表面の用語。Leighton ら^{[ 38 ]}は、ガウスフィットデータはエンジニアリングされた表面のモデリングには正確ではないことを示し、さらに^{[ 39 ]}表面の初期走行により、表面のトポグラフィー、耐荷重能力、摩擦が大きく変化する緩やかな遷移が生じることを実証しました。

正確な解決策${\displaystyle A_{a}}$そして${\displaystyle P}$これらは最初にジェディナクによって提示された。^{[ 36 ]}これらは次のように表現される。${\displaystyle F_{n}}$以下のように計算されます。これらは、ガウス分布の凹凸に対して計算されます。ガウス分布は、工学的な表面では非現実的であることが示されていますが、摩擦、耐荷重能力、または実際の接触面積の結果が解析にとって重要でない場合は、仮定することができます。^{[ 38 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2}&={\frac {1}{2}}\left(h^{2}+1\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {h}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)\\F_{\frac {5}{2}}&={\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h^{\frac {3}{2}}\left(\left(2h^{2}+3\right)K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-\left(2h^{2}+5\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

ここで、erfc(z)は相補誤差関数を意味し、${\displaystyle K_{\nu }(z)}$これは第二種変形ベッセル関数である。

論文^{[ 36 ]}では、既存の近似法の包括的なレビューを見つけることができます。${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$新しい提案では、最も正確な近似値が得られます。${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$そして${\displaystyle F_{2}}$これらは文献に報告されている。これらは、積分の非常に正確な近似値である以下の有理式で与えられる。${\displaystyle F_{n}(h)}$これらは、凹凸のガウス分布に基づいて計算されます。

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

のために${\displaystyle F_{2}(h)}$係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.5,0.182536384941,0.039812283118,0.003684879001]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.960841785003,1.708677456715,0.856592986083,0.264996791567,0.049257843893,0.004640740133]\end{aligned}}}$

最大相対誤差は${\displaystyle 1.68\times 10^{-7}\%}$。

のために${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}(h)}$係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.616634218997,0.108855827811,0.023453835635,0.000449332509]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.919948267476,1.635304362591,0.799392556572,0.240278859212,0.043178653945,0.003863334276]\end{aligned}}}$

最大相対誤差は${\displaystyle 4.98\times 10^{-8}\%}$。

距離が離れた2つの原子面間の表面力は${\displaystyle z}$互いの差は、レナード・ジョーンズポテンシャルから導き出すことができる。この仮定の下で

${\displaystyle F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}}\left[\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-9}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-3}\right]}$

どこ${\displaystyle F}$は力（圧縮が正）であり、${\displaystyle 2\gamma }$は、単位面積あたりの両表面の総表面エネルギーであり、${\displaystyle z_{0}}$これは、2つの原子面間の平衡距離です。

ブラッドリーモデルは、レナード・ジョーンズポテンシャルを適用して、2つの剛体球間の付着力を求めました。球間の合計力は次のようになります。

${\displaystyle F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-2}\right]~;~~{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

どこ${\displaystyle R_{1},R_{2}}$これらは2つの球の半径です。

引き剥がす力が一定の値に達すると、2つの球体は完全に分離する。${\displaystyle z=z_{0}}$その時点で

${\displaystyle F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.}$

ヘルツ接触における接着効果を組み込むために、ジョンソン、ケンドール、ロバーツ^{[ 5 ]は}、蓄積された弾性エネルギーと表面エネルギーの損失のバランスを用いて、接着接触のJKR理論を定式化した。JKRモデルは、接触領域内部における接触圧力と接着効果のみを考慮する。JKRモデルにおける接触領域の圧力分布の一般解は次のようになる。

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+p_{0}'\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

元のヘルツ理論では、次の項が含まれていることに注意してください。${\displaystyle p_{0}'}$接触ゾーンでは張力を維持できないという理由で無視された。2つの球体の接触の場合

${\displaystyle p_{0}={\frac {2aE^{*}}{\pi R}};\quad p_{0}'=-\left({\frac {4\gamma E^{*}}{\pi a}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

どこ${\displaystyle a\,}$は接触領域の半径であり、${\displaystyle F}$は加えられた力です。${\displaystyle 2\gamma }$は、接触面積あたりの 両表面の総表面エネルギーです。${\displaystyle R_{i},\,E_{i},\,\nu _{i},~~i=1,2}$は、2 つの球の半径、ヤング率、ポアソン比であり、

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}};\quad {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

2つの球体間の接近距離は次のように表される。

${\displaystyle d={\frac {\pi a}{2E^{*}}}\left(p_{0}+2p_{0}'\right)={\frac {a^{2}}{R}}}$

2つの球の接触面積に関するヘルツの方程式は、表面エネルギーを考慮するように修正され、次の形式をとる。

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

表面エネルギーがゼロの場合、${\displaystyle \gamma =0}$2つの球間の接触に関するヘルツの式が再現される。印加荷重がゼロの場合、接触半径は

${\displaystyle a^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}}$

球体が分離される引張荷重（すなわち、${\displaystyle a=0}$）は

${\displaystyle F_{\text{c}}=-3\gamma \pi R\,}$

この力は引き剥がし力とも呼ばれます。この力は2つの球の弾性率に依存しないことに注意してください。ただし、値には別の解があります。${\displaystyle a}$この負荷において、ここが重要な接触領域です。${\displaystyle a_{\text{c}}}$によって与えられた

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{4E^{*}}}}$

接着仕事を次のように定義すると

${\displaystyle \Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}}$

どこ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$は、2 つの表面の接着エネルギーであり、${\displaystyle \gamma _{12}}$は相互作用項であり、JKR接触半径は次のように表すことができます。

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \gamma \pi RF+(3\Delta \gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

分離時の引張荷重は

${\displaystyle F=-{\frac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,}$

臨界接触半径は次式で与えられる。

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{8E^{*}}}}$

臨界浸透深度は

${\displaystyle d_{\text{c}}={\frac {a_{c}^{2}}{R}}=\left(R^{\frac {1}{2}}{\frac {9\Delta \gamma \pi }{4E^{*}}}\right)^{\frac {2}{3}}}$

デリャーギン・ミュラー・トポロフ（DMT）モデル^{[ 7 ] [ 42 ]}は、接着接触の代替モデルであり、接触プロファイルはヘルツ接触と同じままであるが、接触領域の外側に追加の引力相互作用があると仮定している。

DMT理論における2つの球体の接触半径は

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+4\gamma \pi R\right)}$

そして引き剥がし力は

${\displaystyle F_{c}=-4\gamma \pi R\,}$

剥離力が達成されると、接触面積はゼロになり、接触領域の端における接触応力に特異点は生じない。

接着力の観点から${\displaystyle \Delta \gamma }$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+2\Delta \gamma \pi R\right)}$

そして

${\displaystyle F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,}$

1977年、Tabor ^{[ 43 ]}は、JKR理論とDMT理論の間の明らかな矛盾は、2つの理論がTaborパラメータ(${\displaystyle \mu }$) と定義される

${\displaystyle \mu$ :={\frac {d_{c}}{z_{0}}}\approx \left[{\frac {R(\Delta \gamma )^{2}}{{E^{*}}^{2}z_{0}^{3}}}\right]^{\​​frac {1}{3}}}

どこ${\displaystyle z_{0}}$は、接触している 2 つの表面間の平衡距離です。JKR 理論は、次のような大きな柔軟な球体に適用されます。${\displaystyle \mu }$は大きい。DMT理論は、の値が小さい、小さくて硬い球体に適用されます。${\displaystyle \mu }$。

その後、Derjaguinと共同研究者^{[ 44 ]}は、Bradleyの表面力法則を弾性半空間に適用することで、Taborパラメータが増加するにつれて、引き剥がし力がBradley値から減少することを確認した。${\displaystyle 2\pi R\Delta \gamma }$JKR値へ${\displaystyle (3/2)\pi R\Delta \gamma }$^{グリーンウッド[ 45 ]}は後にさらに詳細な計算を行い、ジャンプオン効果を説明するS字型の荷重/アプローチ曲線を明らかにした。フェン^{[ 46 ]}は、より効率的な計算方法と追加の結果を示した。

タボールのアイデアをさらに改良したのはモーギス^{[ 9 ]}で、表面力をダグデール凝集ゾーン近似で表し、接着仕事は次のように与えられるとした。

${\displaystyle \Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}}$

どこ${\displaystyle \sigma _{0}}$レナード・ジョーンズポテンシャルによって予測される最大力は、${\displaystyle h_{0}}$これは、ダグデール曲線とレナード・ジョーンズ曲線の下の面積を一致させることで得られる最大分離距離です（隣の図を参照）。これは、引力が一定であることを意味します。${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+h_{0}}$圧縮によるそれ以上の浸透は起こらない。半径の領域で完全な接触が発生する。${\displaystyle a}$および接着力の大きさ${\displaystyle \sigma _{0}}$半径の領域に広がる${\displaystyle c>a}$その地域で${\displaystyle a<r<c}$2つの表面は距離だけ離れている${\displaystyle h(r)}$と${\displaystyle h(a)=0}$そして${\displaystyle h(c)=h_{0}}$比率${\displaystyle m}$は次のように定義される。

${\displaystyle m:={\frac {c}{a}}}$。

Maugis–Dugdale理論^{[ 47 ]}では、表面牽引力分布は2つの部分に分けられます。1つはHertz接触圧力によるもので、もう1つはDugdale接着応力によるものです。Hertz接触は、以下の領域で想定されます。${\displaystyle -a<r<a}$ヘルツ圧力による表面牽引力への寄与は次式で与えられる。

${\displaystyle p^{H}(r)=\left({\frac {3F^{H}}{2\pi a^{2}}}\right)\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

ヘルツ接触力${\displaystyle F^{H}}$は

${\displaystyle F^{H}={\frac {4E^{*}a^{3}}{3R}}}$

弾性圧縮による貫通は

${\displaystyle d^{H}={\frac {a^{2}}{R}}}$

垂直変位${\displaystyle r=c}$は

${\displaystyle u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}}\left[a^{2}\left(2-m^{2}\right)\sin ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+a^{2}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

そして2つの表面間の分離は${\displaystyle r=c}$は

${\displaystyle h^{H}(c)={\frac {c^{2}}{2R}}-d^{H}+u^{H}(c)}$

接着ダグデール応力による表面牽引力分布は

${\displaystyle p^{D}(r)={\begin{cases}-{\frac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\frac {2-m^{2}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\frac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad {\text{for}}\quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad {\text{for}}\quad a\leq r\leq c\end{cases}}}$

総接着力は次のように表される。

${\displaystyle F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\left[\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+{\frac {1}{m^{2}}}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

ダグデール接着による圧縮は

${\displaystyle d^{D}=-\left({\frac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}}\right){\sqrt {m^{2}-1}}}$

そしてギャップは${\displaystyle r=c}$は

${\displaystyle h^{D}(c)=\left({\frac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}\right)\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+1-m\right]}$

接触面にかかる正味の牽引力は次のように表される。${\displaystyle p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)}$そして正味の接触力は${\displaystyle F=F^{H}+F^{D}}$。 いつ${\displaystyle h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}}$粘着力がゼロになる。

無次元化された値${\displaystyle a,c,F,d}$この段階で導入されるものは、

${\displaystyle {\bar {a}}=\alpha a~;~~{\bar {c}}:=\alpha c~;~~{\bar {d}}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha$ :=\left({\frac {4E^{*}}{3\pi \Delta \gamma R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}~;~~{\bar {A}}:=\pi c^{2}~;~~{\bar {F}}={\frac {F}{\pi \Delta \gamma R}}}

さらに、モーギスはパラメータを提案した。${\displaystyle \lambda }$これはタボールパラメータに相当する。${\displaystyle \mu }$このパラメータは次のように定義されます。

${\displaystyle \lambda$ :=\sigma _{0}\left({\frac {9R}{2\pi \Delta \gamma {E^{*}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.16\mu }

ステップ状の凝集応力${\displaystyle \sigma _{0}}$レナード・ジョーンズポテンシャルの理論的な応力に等しい

${\displaystyle \sigma _{\text{th}}={\frac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt {3}}z_{0}}}}$