局所的な平坦性

数学の一分野である位相幾何学において、局所平坦性は位相的部分多様体に課される滑らかさの条件である。位相的多様体のカテゴリにおいて、局所平坦部分多様体は、滑らかな多様体のカテゴリにおける埋め込み部分多様体と同様の役割を果たす。局所平坦性の違反は、材料加工や機械工学に応用される、尾根ネットワークやしわくちゃの構造を記述する。

d次元多様体N がn次元多様体M (ただしd < n )に埋め込まれているとします。N がxで局所的に平坦であるとは、 xの近傍が存在し、位相ペアがペア に同相で、が標準的に含まれる場合をいいます。つまり、の像がと一致する同相写像が存在するということです。図式的に言えば、次の正方形は と可換である必要があります。 ${\displaystyle x\in N,}$${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle (U,U\cap N)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U\cap N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

N があらゆる点で局所的に平坦である場合、NはM において局所的に平坦であるといいます。同様に、 N のあらゆる x に Mにおいて局所的に平坦な像を持つ近傍Uがある場合、そのマップは埋め込みでなくても局所的に平坦であるといいます。 ${\displaystyle \chi \colon N\to M}$${\displaystyle \chi (U)}$

上記の定義は、M が境界を持つ場合、x はMの境界点ではないことを前提としています。xがMの境界上の点である場合、定義は次のように変更されます。は標準半空間であり、 はその境界の標準部分空間として含まれる場合、位相ペアがペア に同相であるようなxの近傍が存在する場合、 NはMの境界点xで局所的に平坦であると言います。 ${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle (U,U\cap N)}$${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{n},\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

埋め込みの局所的平坦性は、すべての埋め込みで共有されるわけではない強い特性を意味します。Brown (1962) は、d = n − 1 の場合、Nはカラー化されることを証明しました。つまり、 N × [0,1]に同相な近傍を持ち、 N自体はN × 1/2 ( NがMの内部にある場合) またはN × 0 ( N がMの境界にある場合) に対応します。

• ユークリッド空間
• すっきりしたサブ多様体

• Brown, Morton (1962)、「位相多様体の局所的に平坦な埋め込み」。Annals of Mathematics、第2シリーズ、第75巻 (1962)、pp. 331–341。
• Mazur, Barry. 球面の埋め込みについて。アメリカ数学会誌、第65巻（1959年）、第2号、pp.59-65。http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034。