持続的な相同性

トポロジカルデータ解析において、パーシステントホモロジーは、異なる空間解像度で空間のトポロジカル特徴を計算する手法である。よりパーシステントな特徴は、広範囲の空間スケールで検出され、サンプリング、ノイズ、または特定のパラメータの選択によるアーティファクトではなく、基となる空間の真の特徴を表している可能性が高いと考えられる。^{[ 1 ]}

空間のパーシステントホモロジーを見つけるには、まずその空間を単体複体として表現する必要があります。基底空間上の距離関数は単体複体のフィルター処理に対応し、それは増加部分集合の入れ子になったシーケンスです。これを行う一般的な方法の 1 つは、点群までの距離のサブレベルフィルター処理、または同等に、点群上のオフセットフィルター処理を行い、その神経を取って、 Čechフィルター処理として知られる単体フィルター処理を得ることです。^{[ 2 ]}同様の構成では、Vietoris–Rips フィルター処理として知られるVietoris–Rips 複体の入れ子になったシーケンスを使用します。^{[ 3 ]}

形式的には、単体複体上の実数値関数を考える。${\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} }$これは増加する顔の列に対して非減少なので、${\displaystyle f(\sigma )\leq f(\tau )}$いつでも${\displaystyle \sigma }$の顔です$\displaystyle \tau }$で${\displaystyle K}$。そして、すべての${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$サブレベルセット${\displaystyle K_{a}=f^{-1}((-\infty ,a])}$はKの部分複体であり、 の値の順序は${\displaystyle f}$単体について${\displaystyle K}$（実際には常に有限である）は、濾過を定義するサブレベル複体上に順序付けを誘導する

${\displaystyle \emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K}$

いつ${\displaystyle 0\leq i\leq j\leq n}$包含​${\displaystyle K_{i}\hookrightarrow K_{j}}$準同型を誘導する${\displaystyle f_{p}^{i,j}:H_{p}(K_{i})\rightarrow H_{p}(K_{j})}$各次元の単体ホモロジー群について${\displaystyle p}$.${\displaystyle p^{\text{th}}}$永続ホモロジー群はこれらの準同型の像であり、${\displaystyle p^{\text{th}}}$持続ベッティ数${\displaystyle \beta _{p}^{i,j}}$これらのグループのランクです。^{[ 4 ]}持続ベッティ数${\displaystyle p=0}$サイズ関数と一致する。これは、持続ホモロジーの前身である。^{[ 5 ]}

フィールド上の任意のフィルタリングされた複素数${\displaystyle F}$フィルタリングを保持する線形変換によって、いわゆる正準形式、すなわち2種類のフィルタリングされた複体の正準的に定義された直和に変換することができる。1次元複体（微分が自明）$d(e_{t_{i}})=0$ 自明な相同性を持つ二次元複合体${\displaystyle d(e_{s_{j}+r_{j}})=e_{r_{j}}}$[ ^{6 ]​}

半順序集合上の永続化モジュール${\displaystyle P}$ベクトル空間の集合である${\displaystyle U_{t}}$インデックス${\displaystyle P}$線形マップを使用して$\displaystyle u_{t}^{s}:U_{s}\to U_{t}}$いつでも$s ≤ t$、 と$u_t^t$同一性に等しく、$\displaystyle u_{t}^{s}\circ u_{s}^{r}=u_{t}^{r}}$のために${\displaystyle r\leq s\leq t}$同等に、これをからへのファンクターと考えることもできます。${\displaystyle P}$ベクトル空間のカテゴリ（または${\displaystyle R}$-モジュール）。フィールド上の永続化モジュールの分類があります。${\displaystyle F}$インデックス${\displaystyle \mathbb {N} }$: $${\displaystyle U\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).}$$ 乗算${\displaystyle x}$これは、パーシステンスモジュールで1ステップ進むことに相当する。直感的には、右側の自由部分は、フィルタリングレベルに現れる相同性生成子に相当する。$t_i$そして決して消えることはなく、ねじれ部分は濾過レベルで現れるものに対応する。$\displaystyle r_j}}$そして最後に$sj$ろ過の段階（または同等に、ろ過レベルで消失する）$\displaystyle s_{j}+r_{j}}$). ^{[ 7 ] [ 6 ]}

これら2つの定理はそれぞれ、フィルタ付き単体複体のパーシステントホモロジーをパーシステンスバーコードまたはパーシステンス図で一意に表現することを可能にする。バーコードは、各パーシステントジェネレータを、それが現れる最初のフィルタレベルから始まり、それが消えるフィルタレベルで終わる水平線で表す。一方、パーシステンス図は、各ジェネレータについて、x座標が誕生時間、y座標が死滅時間である点をプロットする。同様に、同じデータはバラニコフの標準形^{[ 6 ]}によっても表現される。この標準形では、各ジェネレータは、誕生値と死滅値をそれぞれ別の線上にプロットした線分で表される。 ${\displaystyle p}$。

パーシステントホモロジーは厳密な意味で安定しており、ノイズに対するロバスト性を提供する。ボトルネック距離は、パーシステンスダイアグラムの空間における自然な距離であり、次式で与えられる。$${\displaystyle W_{\infty }(X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{\infty },}$$どこ${\displaystyle \varphi }$全単射の範囲をカバーします。入力フィルタリングの小さな摂動は、ボトルネック距離におけるその持続図の小さな摂動につながります。具体的には、空間上のフィルタリングを考えてみましょう。${\displaystyle X}$連続な穏やか関数のサブレベル集合によって決定される単体複体と同相である${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$地図${\displaystyle D}$取っている${\displaystyle f}$その持続図へ${\displaystyle k}$th ホモロジーはに関して1-リプシッツである${\displaystyle \sup }$-関数のメトリックとパーシステンス図のボトルネック距離。つまり、$${\displaystyle W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert fg\rVert _{\infty }}$$[ ^{8 ]​}

主要なアルゴリズムは、フィルタリングされた複体を上三角行列によって標準形に変換することに基づいており、最悪の場合、単体の数に対して3乗の計算量で実行されます。^{[ 6 ]}持続ホモロジーを計算する既知の最速のアルゴリズムは、行列乗算の時間で実行されます。^{[ 9 ]}

単体の数は計算時間に大きく影響するため、単体の数が少ないフィルタリングされた単体複体を見つけることは活発な研究分野です。持続ホモロジーを近似するために、フィルタリングされた単体複体の単体の数を減らすためのいくつかのアプローチが提案されています。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

有限濾過の持続期間を計算するための様々なソフトウェアパッケージが存在する。^{[ 14 ]}

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