ストレッチ係数

埋め込みの伸縮係数（すなわち、ビリプシッツ定数）は、埋め込みが距離を歪める係数を測定します。1 つの計量空間S が、計量写像、つまりすべての点のペア間の距離を保存または縮小する連続した 1 対 1 関数fによって別の計量空間Tに埋め込まれているとします。この場合、埋め込みによって、 S内の点のペア間の距離について 2 つの異なる概念が生じます。S内の任意の点のペア( x、y )には、 S内のxからyへの距離である固有の距離と、 T内のf ( x )からf ( y )への距離であるより小さな外在距離の両方があります。ペアの伸縮係数は、これら 2 つの距離の比、d ( f ( x ), f ( y ))/ d ( x、y )です。マッピング全体の伸縮係数は、すべての点のペアの伸縮係数の最大値です。ストレッチ係数は、マッピングの 歪み^[議論の余地あり^–議論]または膨張とも呼ばれます。

ストレッチ係数は、ユークリッド平面上の点の集合間のユークリッド距離を近似する重み付きグラフである幾何学的スパナの理論において重要である。この場合、埋め込まれた計量S は有限計量空間であり、その距離はグラフ内の最短経路長であり、 Sが埋め込まれている計量T はユークリッド平面である。グラフとその埋め込みが固定されているが、グラフのエッジの重みが変化する可能性がある場合、重みがエッジのエンドポイント間のユークリッド距離と正確に等しいときにストレッチ係数が最小化される。この分野の研究は、与えられた点集合に対して低いストレッチ係数を持つスパースグラフを見つけることに焦点が当てられてきた。 ^[1]

ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題は、ユークリッド空間内のn点を持つ任意の有限集合は、定数ε > 0に対して、歪み1 + εで次元O (log  n )のユークリッド空間に埋め込むことができることを主張しています。ここで、 O表記の定数因子はεの選択に依存します 。^{[2]この結果、および歪みの少ないメトリック埋め込みを構築する関連方法は、}近似アルゴリズムの理論において重要です。この分野の主要な未解決問題はGNRS 予想であり、これが正しい場合、空間への制限付きストレッチ埋め込みを持つグラフの族はすべてマイナークローズドグラフ族であると 特徴付けられます。${\displaystyle \ell_{1}}$

結び目理論では、結び目の歪みは結び目不変量であり、ユークリッド空間における空間曲線としての結び目の埋め込みの最小伸張係数である。学部生研究者のジョン・パードンは、トーラス結び目の歪みに上限がないことを示し、ミハイル・グロモフによって最初に提起された問題を解決した研究により、 2012年のモルガン賞を受賞した。^{[3] [4]}

ユークリッド平面上の曲線の各点が曲線に垂直に、速度が局所曲率に比例する曲線短縮フローの研究では、Huisken (1998) は、任意の単純な閉じた滑らかな曲線 (弧の長さで測定された固有距離を持つ) の伸張係数が単調に変化することを証明しました。より具体的には、伸張係数の局所的最大値を形成する各ペア( x、y )で、曲線が円の場合を除いて、伸張係数は厳密に減少しています。この特性は後に、ゲージ・ハミルトン・グレイソン定理の証明を簡略化するために使用されました。ゲージ・ハミルトン・グレイソン定理によれば、すべての単純な閉じた滑らかな曲線は、点に崩壊するまでは単純で滑らかなままであり、点に崩壊する前に円に形状が収束します。^{[5] [6]}