ハンドル分解

数学において、m次元多様体Mのハンドル分解は、 $${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$$ それぞれ${\displaystyle M_{i}}$から得られる${\displaystyle M_{i-1}}$添付することによって${\displaystyle i}$-ハンドル。ハンドル分解は多様体にとって、位相空間におけるCW 分解に相当する。多くの点で、ハンドル分解の目的は、CW 複体に類似した言語を持ち、滑らかな多様体の世界に適合させることである。したがって、i-ハンドルはi-セルの滑らかな類似物である。多様体のハンドル分解は、モース理論を通じて自然に生じる。ハンドル構造の変更は、サーフ理論と密接に関連している。

n次元球面の標準的なCW 分解を考えます。これは 1 つのゼロセルと 1 つのn次元セルを持ちます。滑らかな多様体の観点から見ると、これは球面の退化分解です。滑らかな構造を見る自然な方法はありません。${\displaystyle S^{n}}$この分解の観点から見ると、特に0セル付近の滑らかな構造は特性マップの挙動に依存している。$\displaystyle \chi :D^{n}\to S^{n}}$近隣の${\displaystyle S^{n-1}\subset D^{n}}$。

CW分解の問題点は、セルのアタッチマップが多様体間の滑らかなマップの世界に存在しないことである。この欠陥を修正するための重要な洞察は、管状近傍定理である。${\displaystyle m}$-多様体M、その閉じた管状近傍${\displaystyle N_{p}}$は微分同相である${\displaystyle D^{m}}$したがって、 M を互いに素な和集合に分解した。${\displaystyle N_{p}}$そして${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$共通の境界に沿って接着する。ここで重要なのは、接着写像が微分同相写像であるということである。同様に、滑らかな埋め込み弧を${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$その管状近傍は、${\displaystyle I\times D^{m-1}}$これにより、次のように書くことができます。${\displaystyle M}$3つの多様体の境界の一部に沿って貼り合わせたものとして：

（１）${\displaystyle D^{m}}$、

（２）${\displaystyle I\times D^{m-1}}$、 そして

（３）弧の開いた管状近傍の補集合${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$。

すべての接着マップが滑らかなマップであることに注目してください。特に接着するときは${\displaystyle I\times D^{m-1}}$に${\displaystyle D^{m}}$同値関係は埋め込みによって生成される$\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1}}$で$\displaystyle \partial D^{m}}$これは管状近傍定理により滑らかである。

ハンドル分解はスティーブン・スメールの発明である。^{[ 1 ]} 彼のオリジナルの定式化では、m多様体Mにjハンドルを付けるプロセスは、滑らかな埋め込みがあることを前提としている。${\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{mj}\to \partial M}$。 させて${\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{mj}}$多様体${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$(言葉で言うと、M union a j -handle along f ) は、${\displaystyle M}$そして${\displaystyle H^{j}}$特定により$${\displaystyle S^{j-1}\times D^{mj}}$$そのイメージは${\displaystyle \partial M}$つまり、 $${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim }$$ 同値関係${\displaystyle \sim }$によって生成されます${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$すべての人々のために${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{mj}\subset D^{j}\times D^{mj}}$。

多様体Nは、 Mにjハンドルを付加することによって得られる、とは、 Mと有限個のjハンドルとの和集合がNと微分同相であることを意味する。ハンドル分解の定義は、序論で述べたとおりである。したがって、多様体が0ハンドルのみを持つハンドル分解を持つのは、それが球の非交和集合と微分同相である場合である。2 種類のハンドル (すなわち、固定されたjに対する0 ハンドルとjハンドル) のみを含む連結多様体をハンドルボディと呼ぶ。

M の和集合を形成する際にjハンドル${\displaystyle H^{j}}$$${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim }$$

${\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M}$付着球として知られています。

${\displaystyle f}$これは、その法線束を自明化するため、付着球の枠付けと呼ばれることもあります。

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{mj-1}\subset D^{j}\times D^{mj}=H^{j}}$ハンドルのベルト球は${\displaystyle H^{j}}$で${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$。

ディスクにg kハンドルを取り付けることによって得られる多様体${\displaystyle D^{m}}$は種数gの(m,k) -ハンドルボディです。

コボルディズムのハンドル表現は、コボルディズムWで構成され、$\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$そして上昇する組合 $${\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W}$$ ここで、Mはm次元、Wはm+1次元であり、${\displaystyle W_{-1}}$は微分同相である${\displaystyle M_{0}\times [0,1]}$そして${\displaystyle W_{i}}$から得られる${\displaystyle W_{i-1}}$iハンドルの付加によって実現される。ハンドル分解は多様体にとって位相空間におけるセル分解に相当するが、コボルディズムのハンドル表示は境界を持つ多様体にとって空間のペアにおける相対セル分解に相当する。

モース関数が与えられた場合${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$コンパクトな境界のない多様体M上で、臨界点が${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M}$fを満たす${\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})}$提供 $${\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k},}$$ そしてすべてのjについて、${\displaystyle f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]}$は微分同相である${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}}$ここで、I ( j )は臨界点のインデックスである。${\displaystyle p_{j}}$添え字I(j)は接空間の最大部分空間の次元を表します。${\displaystyle T_{p_{j}}M}$ここで、ヘッセ行列は負定値行列である。

インデックスが以下の条件を満たす場合${\displaystyle I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)}$これはM のハンドル分解であり、さらに、すべての多様体はそのようなモース関数を持つため、ハンドル分解を持ちます。同様に、コボルディズムが与えられた場合${\displaystyle W}$と$\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$そして関数${\displaystyle f:W\to \mathbb {R} }$内部ではモース符号で境界では定数であり、増加指数特性を満たす場合、コボルディズムWの誘導ハンドル表示が存在する。

fがM上のモース関数である場合、-fもモース関数です。対応するハンドル分解/表現は双対分解と呼ばれます。

• 閉じた向き付け可能な3次元多様体のヒーガード分割とは、3次元多様体を、共通の境界（ヒーガード分割面と呼ばれる）に沿った2つの(3,1)ハンドル体の和集合に分解することである。ヒーガード分割は、3次元多様体に対していくつかの自然な方法で生じる。3次元多様体のハンドル分解が与えられた場合、 0ハンドルと1ハンドルの和集合は(3,1)ハンドル体であり、3ハンドルと2ハンドルの和集合も(3,1)ハンドル体である（双対分解の観点から）。したがって、ヒーガード分割となる。3次元多様体が三角形分割Tを持つ場合、誘導ヒーガード分割が存在し、最初の(3,1)ハンドル体は1スケルトンの正則近傍となる。$\displaystyle T^{1}}$、そしてもう一方の(3,1)ハンドルボディは、双対1スケルトンの正則近傍である。
• 2つのハンドルを連続して取り付ける場合${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}}$取り付け順序を切り替えることが可能です。${\displaystyle j\leq i}$すなわち、この多様体は、次の形式の多様体と微分同相である。${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}}$適切な地図を添付するため。
• 境界${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$は微分同相である${\displaystyle \partial M}$枠で囲まれた球体に沿って急上昇した${\displaystyle f}$これは、手術、ハンドル、およびモールス信号機能間の主要なリンクです。
• その結果、m次元多様体M がm+1次元多様体Wの境界となるのは、 M が以下の条件を満たす場合に限る。${\displaystyle S^{m}}$額縁に入ったリンクのコレクションに対する手術によって${\displaystyle S^{m}}$例えば、ルネ・トムのコボルディズムに関する研究により、すべての3多様体は4多様体を境界とすることが知られています (同様に、向きが付けられスピンを持つ3多様体は、それぞれ向きが付けられスピンを持つ4多様体を境界とします)。したがって、すべての 3 多様体は、 3球面内の枠付きリンクに対する手術によって得ることができます。向きが付けられている場合、この枠付きリンクを円の非交和の枠付き埋め込みに縮小するのが一般的です。
• H-コボルディズム定理は、滑らかな多様体のハンドル分解を単純化することによって証明される。

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