位相的性質

位相幾何学および関連する数学の分野において、位相的性質または位相的不変量とは、同相写像に対して不変である位相空間の性質のことである。あるいは、位相的性質とは、同相写像に対して閉じている位相空間の適切なクラスである。つまり、空間X がその性質を持つときはいつでも、 Xに同相なすべての空間がその性質を持つ場合、空間の性質は位相的性質である。非公式には、位相的性質とは、開集合を使用して表現できる空間の性質のことである。

位相幾何学における一般的な問題は、2 つの位相空間が同相であるかどうかを判断することです。2 つの空間が同相でないことを証明するには、それらの空間に共有されていない位相特性を見つけるだけで十分です。

プロパティとは次のようなものです。 ${\displaystyle P}$

• 遺伝的とは、任意の位相空間と部分集合に対して、部分空間が性質${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$${\displaystyle P.}$
• 弱遺伝とは、任意の位相空間と閉部分集合に対して、部分空間が性質${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$${\displaystyle P.}$

• 空間の 基数。${\displaystyle \vert X\vert }$${\displaystyle X}$
• 空間の位相（開いた部分集合の集合）の濃度。${\displaystyle \vert \tau (X)\vert }$${\displaystyle X}$
• 重み 、空間の位相の基底の最小濃度。${\displaystyle w(X)}$${\displaystyle X}$
• 密度 、その閉包が である部分集合の最小濃度。${\displaystyle d(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

これらの用語の一部は、古い数学文献では異なる定義がされています。分離公理の歴史を参照してください。

• T ₀またはコルモゴロフ。空間内の異なる点xとyのすべてのペアに対して、 xを含むがy を含まない開集合、または y を含むがx を含まない開集合が少なくとも存在する場合、その空間はコルモゴロフです。
• T ₁またはフレシェ。空間内の異なる点xとyのすべてのペアに対して、 x を含みy を含まない開集合が存在する場合、その空間はフレシェです。( T ₀と比較してください。ここでは、どの点が開集合に含まれるかを指定できます。) 同様に、すべての単集合が閉じている場合、その空間は T _{1です。T 1}空間は常に T ₀です。
• 厳密でない。すべての既約閉集合C が一意なジェネリック点p を持つ場合、空間は厳密でない。言い換えると、C が2 つの小さな空でない閉部分集合の (おそらく非分離の) 和集合でない場合、 { p }の閉包がC に等しいp が存在し、p はこの特性を持つ唯一の点である。
• T ₂またはハウスドルフ。異なる 2 つの点の近傍が互いに素である場合、その空間はハウスドルフです。T ₂空間は常に T ₁です。
• T _2½またはUrysohn 。異なる 2 点ごとに互いに交わらない閉近傍がある場合、その空間はUrysohnです。T _2½空間は常に T ₂です。
• 完全に T ₂または完全にハウスドルフ。2つの異なる点が関数によって分離されている場合、空間は完全に T ₂です。すべての完全にハウスドルフな空間はウリゾーンです。
• 正則。空間が正則であるとは、C が閉集合であり、p がCにない点である場合に、Cとp が互いに交わらない近傍を持つことを意味する。
• T ₃または正則ハウスドルフ。空間が正則 T _{0空間である場合、その空間は}正則ハウスドルフです。(正則空間がハウスドルフであるのは、それが T ₀である場合のみであるため、用語は一貫しています。)
• 完全に正則。空間が完全に正則であるとは、 C が閉集合であり、p がCにない点である場合に、Cと { p } が関数によって分離されることです。
• T _3½、ティコノフ、完全に正則なハウスドルフ、または完全に T ₃。ティコノフ空間は完全に正則な T _{0空間です。(完全に正則な空間がハウスドルフであるのは、それが T 0}である場合のみであるため、用語は一貫しています。) ティコノフ空間は常に正則なハウスドルフです。
• 正規空間とは、互いに交わらない 2 つの閉集合の近傍が互いに交わらない空間のことです。正規空間は、単位元による分割を許容します。
• T ₄または正規ハウスドルフ。正規空間は、T ₁のときのみハウスドルフです。正規ハウスドルフ空間は常にチコノフです。
• 完全に正規。任意の 2 つの分離した集合が互いに素な近傍を持つ場合、その空間は完全に正規です。
• T ₅または完全に正規なハウスドルフ。完全に正規な空間は、T ₁である場合にのみハウスドルフです。完全に正規なハウスドルフ空間は常に正規なハウスドルフです。
• 完全に正規。任意の 2 つの互いに交わらない閉集合が関数によって正確に分離されている場合、その空間は完全に正規です。 完全に正規な空間は、完全に正規でなければなりません。
• T ₆または完全に正規なハウスドルフ、あるいは完全に T ₄。空間が完全に正規であり、かつ T ₁である場合、その空間は完全に正規なハウスドルフです。完全に正規なハウスドルフ空間は、完全に正規なハウスドルフでもある必要があります。
• 離散空間。空間のすべての点が完全に孤立している場合、つまり、いずれかの部分集合が開いている場合、その空間は離散的です。
• 孤立点の数。位相空間の孤立点の数。

• 分離可能。可算な稠密部分集合を持つ場合、空間は分離可能です。
• 第一可算。すべての点が可算な局所基数を持つ場合、空間は第一可算です。
• 2 番目に可算。空間は、その位相に可算な基底がある場合に2 番目に可算です。2 番目に可算な空間は常に分離可能、1 番目に可算、かつ Lindelöf です。
• リンデレーフ。すべての開被覆に可算な部分被覆がある場合、その空間はリンデレーフである。
• σコンパクト。空間がσ コンパクトであるとは、可算個数のコンパクト部分 空間の和集合であることを意味します。

• 連結。空間は、互いに素な空でない開集合のペアの和集合でない場合、連結である。同様に、唯一の閉開集合が空集合とそれ自身である場合、空間は連結である。
• 局所的に連結。すべての点が連結集合からなる局所基底を持つ場合、空間は局所的に連結している。
• 完全に不連続。空間が 1 つ以上の点と接続された部分集合を持たない場合、その空間は完全に不連続です。
• パス連結。空間Xがパス連結であるとは、 X内の任意の 2 点x、yに対して、 xからyへのパスp 、つまり、 p (0) = xかつp (1) = yとなる連続写像p : [0,1] →  Xが存在する場合である。パス連結空間は常に連結である。
• 局所的にパス連結。空間が局所的にパス連結であるとは、すべての点がパス連結集合からなる局所基底を持つ場合です。局所的にパス連結な空間は、パス連結である場合にのみ連結です。
• 弧連結。空間Xが弧連結であるとは、 X内の任意の 2 点x、yに対して、 xからyへの弧f、つまり、およびを伴う単射連続写像が存在することである。弧連結な空間はパス連結である。${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$${\displaystyle p(0)=x}$${\displaystyle p(1)=y}$
• 単連結。空間Xが単連結であるとは、それが経路連結であり、すべての連続写像が定数写像に同型である場合です。${\displaystyle f\colon S^{1}\to X}$
• 局所的に単連結。空間Xが局所的に単連結であるとは、 X内のすべての点xに、単連結な近傍の局所基底U が存在する場合です。
• 半局所的に単連結。空間Xが半局所的に単連結であるとは、すべての点が近傍Uの局所基底を持ち、UのすべてのループがXで縮約可能である場合です。半局所的単純連結性は局所的単純連結性よりも厳密に弱い条件であり、普遍被覆の存在に必要な条件です。
• 収縮可能。空間Xが収縮可能であるのは、 X上の恒等写像が定数写像に同型である場合です。収縮可能な空間は常に単連結です。
• 超連結。2つの空でない開集合が互いに素でない場合、その空間は超連結です。すべての超連結空間は連結されています。
• 超連結。2つの空でない閉集合が互いに素でない場合、その空間は超連結です。すべての超連結空間はパス連結です。
• 非離散的または自明。唯一の開集合が空集合とそれ自身である場合、空間は非離散的である。そのような空間は自明な位相を持つと言われます。

• コンパクト。すべての開被覆に有限部分被覆がある場合、その空間はコンパクトです。一部の著者はこれらの空間を準コンパクトと呼び、すべての開被覆に有限部分被覆があるハウスドルフ空間をコンパクトと呼びます。コンパクト空間は常にリンデレーフかつ準コンパクトです。したがって、コンパクトなハウスドルフ空間は正規です。
• 順次コンパクト。すべてのシーケンスに収束する部分シーケンスがある場合、空間は順次コンパクトです。
• 可算コンパクト。すべての可算な開被覆に有限の部分被覆がある場合、その空間は可算コンパクトです。
• 擬コンパクト。空間上のすべての連続実数値関数が有界である場合、その空間は擬コンパクトです。
• σ-コンパクト。空間がσ-コンパクトであるとは、可算個数のコンパクト部分集合の和集合である場合です。
• リンデレーフ。すべての開被覆に可算な部分被覆がある場合、その空間はリンデレーフである。
• パラコンパクト。すべての開被覆が局所有限な開細分化を持つ場合、空間はパラコンパクトです。パラコンパクト ハウスドルフ空間は正規です。
• 局所コンパクト。すべての点がコンパクトな近傍からなる局所基底を持つ場合、空間は局所コンパクトです。わずかに異なる定義も使用されます。局所コンパクトなハウスドルフ空間は常にチコノフです。
• 超連結コンパクト。超連結コンパクト空間Xでは、すべての開被覆はX自身を必ず含みます。空でない超連結コンパクト空間には、モノリスと呼ばれる最大の適切な開部分集合があります。

• 距離化可能。空間が距離化可能であるのは、距離空間に同相である場合である。距離化可能な空間は常にハウスドルフかつパラコンパクト（したがって正規かつチコノフ）であり、第一可算である。さらに、位相空間が距離化可能であるとは、距離位相が位相と同一となるような距離が存在する場合である。${\displaystyle (X,T)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T(d)}$${\displaystyle T.}$
• ポーランド語。分離可能かつ完全な距離で距離化可能な空間はポーランド語と呼ばれます。
• 局所的に距離化可能。あらゆる点が距離化可能な近傍を持つ場合、空間は局所的に距離化可能です。

• ベール空間。空間X は、それ自体が希薄でない場合、ベール空間です。同様に、可算個の稠密な開集合の交差が稠密である場合、Xはベール空間です。
• ドア空間。位相空間は、すべての部分集合が開いているか閉じているか（あるいはその両方）の場合、ドア空間です。
• 位相的同次性。空間Xが (位相的に)同次であるとは、 X内のすべてのxとyに対して同相写像が存在し、直感的に言えば、これは空間がすべての点で同じに見えることを意味します。すべての位相群は同次です。${\displaystyle f\colon X\to X}$${\displaystyle f(x)=y.}$
• 有限生成またはアレクサンドロフ。空間Xがアレクサンドロフであるとは、 X内の任意の開集合の交差が開集合である場合、または同値として、任意の閉集合の和が閉集合である場合です。これらはまさに、位相空間と連続写像のカテゴリの有限生成メンバーです。
• ゼロ次元。閉開集合の基底を持つ空間はゼロ次元です。これらはまさに、小さな帰納的次元が0である空間です。
• ほぼ離散的。空間は、すべての開集合が閉じている場合（したがって clopen の場合）、ほぼ離散的である。ほぼ離散的な空間は、まさに有限生成の 0 次元空間である。
• ブール空間とは、0 次元、コンパクト、ハウスドルフ (つまり、完全に分離、コンパクト、ハウスドルフ) の空間のことです。これらは、ブール代数のストーン空間に同相な空間です。
• ライデマイスターねじり
• ${\displaystyle \kappa}$-解決可能。ある空間がκ-解決可能^[1] （それぞれ：ほぼκ-解決可能）であるとは、κ個の稠密集合が互いに素である（それぞれ：稠密でない部分集合のイデアル上でほぼ素である）場合である。空間が-解決可能でない場合、-解決不可能と呼ばれる。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$
• 最大限に分解可能。空間が最大限に分解可能であるとは、それが-分解可能であることであり、ここで数は分散特性と呼ばれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta (X)}$${\displaystyle \Delta (X)=\min\{|G|:G\neq \varnothing ,G{\mbox{ は開いている}}\}}.}$${\displaystyle \Delta (X)}$${\displaystyle X.}$
• 強く離散的。内の点が互いに素な近傍によって分離される場合、集合は空間の強く離散的な部分集合です。 のすべての非孤立点が何らかの強く離散的な集合の集積点である場合、空間は強く離散的であると言われます。${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

距離空間などの性質には、位相的性質ではない例が数多くあります。性質が位相的ではないことを示すには、を持ち、を持たない2 つの同相位相空間を見つければ十分です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle X\cong Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle P}$

たとえば、有界性と完全性という距離空間の特性は位相的な特性ではありません。と を標準計量を持つ距離空間とします。すると、同相写像 により となります。ただし、は完全ですが有界ではなく、は有界ですが完全ではありません。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})}$${\displaystyle X\cong Y}$${\displaystyle \operatorname {arctan} \colon X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

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[2] Simon Moulieras、Maciej Lewenstein、Graciana Puentes、「離散時間量子ウォークによるエンタングルメントエンジニアリングとトポロジカル保護」、Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10)、104005 (2013)。https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf