トポロジカルデータ分析

応用数学において、位相データ解析( TDA ) は、位相幾何学の技術を使用してデータセットを解析するアプローチです。高次元、不完全、ノイズの多いデータセットから情報を抽出することは、一般的に困難です。TDA は、選択された特定のメトリックに影響を受けない方法でそのようなデータを解析するための一般的なフレームワークを提供し、次元削減とノイズに対する堅牢性を提供します。さらに、位相的性質から現代数学の基本概念である関数性を継承しているため、新しい数学ツールに適応できます。^{[引用が必要]}

当初の目的は、データの形状を研究することです。TDA は、代数的位相幾何学と純粋数学の他のツールを組み合わせて、「形状」を数学的に厳密に研究できるようにしました。主なツールは、ポイント クラウドデータにホモロジーを適応させたパーシステント ホモロジーです。パーシステント ホモロジーは、多くの分野のさまざまなタイプのデータに適用されています。さらに、その数学的基礎は理論的にも重要です。TDA の独自の機能により、トポロジーと幾何学をつなぐ有望な架け橋となっています。^[要出典]

TDA は、データセットの形状に関連情報が含まれているという考えに基づいています。実際の高次元データは一般的にスパースであり、関連する低次元の特徴を持つ傾向があります。TDA の 1 つのタスクは、この事実を正確に特徴付けることです。たとえば、ロトカ・ヴォルテラ方程式^[1]によって支配される単純な捕食者と被食者のシステムの軌跡は、状態空間で閉じた円を形成します。TDA は、このような反復運動を検出して定量化するツールを提供します。^[2]

TDA で使用されるものを含む多くのデータ分析アルゴリズムでは、さまざまなパラメータを設定する必要があります。事前のドメイン知識がなければ、データセットの正しいパラメータのコレクションを選択することは困難です。永続的ホモロジーの主な洞察は、この膨大な量の情報を理解しやすく表現しやすい形式にエンコードすることにより、すべてのパラメータ値から取得した情報を使用することです。TDA では、情報がホモロジー グループである場合に数学的な解釈があります。一般に、広範囲のパラメータに対して持続する特徴は「真の」特徴であると想定されています。狭い範囲のパラメータに対してのみ持続する特徴はノイズであると想定されますが、これに対する理論的正当性は不明です。^[3]

パーシステントホモロジーの完全な概念の先駆けは、時間の経過とともに徐々に現れました。^[4] 1990年に、パトリツィオ・フロシーニは、部分多様体間の擬似距離を導入し、後にサイズ関数を導入しました。これは、1次元曲線上では0次パーシステントホモロジーに相当します。^{[5] [6]}ほぼ10年後、ヴァネッサ・ロビンズは、包含によって誘導される準同型の像を研究しました。^[7]最後に、その後まもなく、エデルスブルンナーらは、パーシステントホモロジーの概念を、効率的なアルゴリズムと、そのパーシステントダイアグラムとしての視覚化とともに導入しました。^{[8]カールソンらは、最初の定義を再定式化し、}パーシステントバーコードと呼ばれる同等の視覚化方法を示しました。^[9]パーシステントを可換代数の言語で解釈しました。^[10]

代数的位相幾何学において、パーシステントホモロジーはセルゲイ・バラニコフのモース理論の研究を通じて現れた。滑らかなモース関数の臨界値の集合は「誕生と死」のペアに正準的に分割され、フィルタリングされた複体は分類され、その不変量（パーシステントダイアグラムとパーシステントバーコードに相当）は、その計算のための効率的なアルゴリズムとともに、1994年にバラニコフによって正準形式という名前で記述された。^{[11] [12]}

以下に、広く使用されている概念をいくつか紹介します。一部の定義は著者によって異なる場合があることに注意してください。

ポイントクラウドは、ユークリッド空間内の有限の点の集合として定義されることが多いですが、任意の有限のメトリック空間として解釈することもできます。

ポイント クラウドのČech複合体は、クラウド内の各ポイントの周囲にある固定半径のボールの カバーの神経です。

によってインデックス付けされた永続モジュールは 、各 に対してベクトル空間であり、のときは常に線型写像であり、すべての に対して、のときは常に となる。 ^[13]同等の定義は、半順序集合として考えられる から ベクトル空間のカテゴリへの関数である。 ${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle U_{t}}$${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle u_{t}^{s}:U_{s}\to U_{t}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle u_{t}^{t}=1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u_{t}^{s}u_{s}^{r}=u_{t}^{r}}$${\displaystyle r\leq s\leq t.}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

点群の永続ホモロジー群は 、として定義される永続モジュールです。ここで、 は点群の半径の Čech 複体であり、はホモロジー群です。 ${\displaystyle PH}$${\displaystyle PH_{k}(X)=\prod H_{k}(X_{r})}$${\displaystyle X_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{k}}$

持続性バーコードは内の間隔の多重集合であり、持続性図は( ) 内の点の多重集合です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle :=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u,v\geq 0,u\leq v\}}$

2つの持続図と間のワッサーシュタイン距離は次のように定義されます。ここで、およびは、と間の一対一写像の範囲にあります。説明については、Munch ^[14]の図3.1を参照してください。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle W_{p}[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\left[\sum _{x\in X}(\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q})^{p}\right]^{1/p}}$$${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

と の間のボトルネック距離は です。これは、 とした場合のワッサーシュタイン距離の特殊なケースです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle W_{\infty }[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q}.}$$${\displaystyle p=\infty }$

永続ホモロジーの最初の分類定理は、1994 年にバラニコフの標準形を介して登場しました^[11] 。可換代数の言語で永続性を解釈する分類定理は2005 年に登場しました: ^[10]体係数を持つ有限生成永続モジュールの場合、 直感的には、自由部分は濾過レベルで現れて消えることのないホモロジー生成子に対応し、ねじれ部分は濾過レベルで現れて濾過のステップの間持続する (または同等に、濾過レベルで消える) ホモロジー生成子に対応します。^[11]${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle H(C;F)\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).}$$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle r_{j}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle s_{j}+r_{j}}$

永続ホモロジーは、バーコードまたは永続図によって視覚化されます。バーコードは抽象数学に根ざしています。つまり、体上の有限フィルター複体のカテゴリは半単純です。フィルター複体はどれも、その標準形、つまり 1 次元および 2 次元の単純フィルター複体の直和と同型です。

安定性は、ノイズに対する堅牢性を提供するため望ましい。が単体複体に同相な空間であり、 が連続 tame ^[15]関数である場合、持続ベクトル空間と は有限に提示され、 となる。ここで、 はボトルネック距離^[16]を指し、 は連続 tame 関数をその - 番目のホモロジーの持続図に写像するものである。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \{H_{k}(f^{-1}([0,r]))\}}$${\displaystyle \{H_{k}(g^{-1}([0,r]))\}}$${\displaystyle W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert f-g\rVert _{\infty }}$${\displaystyle W_{\infty }}$${\displaystyle D}$${\displaystyle k}$

TDAの基本的なワークフローは以下のとおりです。^[17]

1. が点群である場合、入れ子になった単体複体の族（Čech または Vietoris-Rips 複体など）に置き換えます。このプロセスにより、点群は単体複体のフィルタリングに変換されます。このフィルタリングで各複体の相同性を取ると、持続モジュールが得られます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{r}}$$${\displaystyle H_{i}(X_{r_{0}})\to H_{i}(X_{r_{1}})\to H_{i}(X_{r_{2}})\to \cdots }$$
2. 構造定理を適用して、永続的なベッティ数、永続図、または同等のバーコードを取得します。

グラフで言えば、

代数的位相幾何学の設定における永続ホモロジーのすべての体上の最初のアルゴリズムは、上三角行列による標準形への還元を通じてバラニコフ^[11]によって記述されました。 上の永続ホモロジーのアルゴリズムは、エデルスブルンナーらによって与えられました。^{[8]ゾモロディアンおよびカールソンは、すべての体上の永続ホモロジーを計算する実用的なアルゴリズムを与えました。 [10]}エデルスブルンナーおよびハラーの本は、計算位相幾何学に関する一般的なガイダンスを提供します。^[19]${\displaystyle F_{2}}$

計算で生じる問題の 1 つは、複合体の選択です。一見すると、 Čech 複合体とVietoris-Rips 複合体が最も自然ですが、データ ポイントの数が増えるとサイズが急速に大きくなります。Vietoris-Rips 複合体は、定義が単純で、Čech 複合体は一般的な有限距離空間で定義するのに余分な労力を必要とするため、Čech 複合体よりも好まれます。ホモロジーの計算コストを下げる効率的な方法が研究されています。たとえば、α 複合体と証人複合体は、複合体の次元とサイズを削減するために使用されます。^[20]

最近、離散モース理論は、与えられた単体複体を元のものとホモトピックなはるかに小さな細胞複体に縮小できるため、計算ホモロジーに有望であることが示されています。^[21]この縮小は、実際にはマトロイド理論を使用して複体を構築する際に実行でき、パフォーマンスがさらに向上します。^[22]最近の別のアルゴリズムでは、持続性の低いホモロジークラスを無視することで時間を節約します。^[23]

javaPlex、Dionysus、Perseus、PHAT、DIPHA、GUDHI、Ripser、TDAstatsなど、さまざまなソフトウェアパッケージが利用可能です。これらのツールの比較は、Otterらによって行われています。^{[24] Giotto-tdaは、} scikit-learn [1] APIを使用して機械学習ワークフローにTDAを統合するためのPythonパッケージです。RパッケージTDAは、ランドスケープやカーネル距離推定器などの最近発明された概念を計算できます。^{[25] Topology ToolKitは、}科学的視覚化で一般的に見られる低次元（1、2、または3）の多様体上で定義された連続データに特化しています。Cubicleは、立方体複体と離散モース理論を使用して、1、2、または3次元の大規模（ギガバイトスケール）グレースケール画像データに最適化されています。別のRパッケージであるTDAstatsは、Ripserライブラリを使用して永続ホモロジーを計算します。^[26]

高次元データは直接視覚化することは不可能である。主成分分析や多次元尺度法など、データセットから低次元構造を抽出するための多くの方法が発明されてきた。^[27]しかし、同じデータセットには多くの異なる位相的特徴が見られるため、問題自体は不適切であることに注意する必要がある。したがって、高次元空間の視覚化の研究はTDAにとって中心的な重要性を持つが、必ずしも永続的ホモロジーを使用する必要はない。しかし、最近ではデータの視覚化に永続的ホモロジーを使用する試みがなされている。^[28]

カールソンらはMAPPERと呼ばれる一般的な方法を提案した。^[29]これは被覆がホモトピーを保存するというセールの考えを継承している。^[30] MAPPERの一般化された定式化は以下の通りである。

およびを位相空間とし、を連続写像とする。をの有限開被覆とする。MAPPER の出力はプルバック被覆 の神経であり、各原像はその連結成分に分割される。^[28]これは非常に一般的な概念であり、レーブグラフ^[31]とマージツリーは特殊なケースである。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f:X\to Z}$${\displaystyle \mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle Z}$${\textstyle M(\mathbb {U} ,f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}$

これは、本来の定義とは少し異なります。^[29] Carlsson らは、またはを選択し、最大でも 2 つが交差するような開集合で覆います。^{[3]この制限は、出力が}複雑なネットワークの形になることを意味します。有限点群のトポロジーは自明であるため、MAPPER を実際のデータに適用する場合、クラスタリング手法 (単一リンクなど) を使用して、原画像内の連結集合の類似物を生成します。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$

数学的に言えば、MAPPERはレーブグラフのバリエーションです。 が最大1次元の場合、各 に対して、^[32]柔軟性が増すことで欠点もあります。1つの問題は不安定性で、カバーの選択を変更するとアルゴリズムの出力が大きく変わる可能性があります。^[33]この問題を克服するための研究が行われています。^[28]${\textstyle M(\mathbb {U} ,f)}$${\displaystyle i\geq 0}$$${\displaystyle H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).}$$

MAPPERの3つの成功した応用例はCarlssonらの論文で見ることができます。^[34] J. Curryはこの論文の応用例について、「応用例における共通の興味深い特徴はフレアや巻きひげの存在である」とコメントしています。^[35]

Daniel Müllner と Aravindakshan Babu によって書かれた MAPPER の無料実装はオンラインで入手できます。MAPPER は Ayasdi の AI プラットフォームの基盤にもなっています。

多次元持続性はTDAにとって重要である。この概念は理論と実践の両方で生まれる。多次元持続性の最初の調査はTDAの開発初期に行われた。^[36] Carlsson-Zomorodianは^[37]で多次元持続性の理論を導入し、Singhとの共同研究で^[38]記号代数のツール（グレブナー基底法）を使用してMPHモジュールを計算することを導入した。彼らの定義では、nパラメータの多次元持続性をn変数の多項式環上の段階的モジュールとして表している。可換代数とホモロジー代数のツールは、Harrington-Otter-Schenck-Tillmanの研究で多次元持続性の研究に適用されている。^[39]文献に最初に登場した応用は、TDAの発明に似た形状比較の方法である。^[40]${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

n次元持続モジュールの定義は^[35]である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ベクトル空間は各点に割り当てられる${\displaystyle V_{s}}$${\displaystyle s=(s_{1},...,s_{n})}$
• マップは（${\displaystyle \rho _{s}^{t}:V_{s}\to V_{t}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle s_{i}\leq t_{i},i=1,...,n)}$
• すべての人に満足できる地図${\displaystyle \rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}}$${\displaystyle r\leq s\leq t}$

多次元持続性の定義については議論があることは注目に値するかもしれない。^[35]

1次元の持続性の利点の1つは、ダイアグラムやバーコードで表現できることです。しかし、多次元持続モジュールの離散完全不変量は存在しません。^[41]その主な理由は、有限生成n次元持続モジュールはクルル・シュミット定理により、一意に分解不能な集合の構造が箙表現理論のガブリエルの定理によって極めて複雑になるためです。^{[42 ]}

それにもかかわらず、多くの結果が確立されています。Carlsson と Zomorodian は、として定義されるランク不変量 を導入しました。これは、有限生成の n 次数モジュールです。1 次元では、バーコードに相当します。文献では、ランク不変量は永続ベッチ数 (PBN) と呼ばれることがよくあります。^[19]多くの理論的研究で、著者は、サブレベル セットの永続性からの類似物である、より制限された定義を使用しています。具体的には、関数の永続ベッチ数は、関数 によって与えられ、各を に持っていきます(ただし、および ) 。 ${\displaystyle \rho _{M}(u,v)}$${\displaystyle \rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}:M_{u}\to M_{v})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \beta _{f}:\Delta ^{+}\to \mathrm {N} }$${\displaystyle (u,v)\in \Delta ^{+}}$${\displaystyle \beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))}$${\displaystyle \Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}:u\leq v\}}$${\displaystyle X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}}$

基本的な性質としては、単調性や対角ジャンプなどがある。^[44]がコンパクトかつ局所的に収縮可能な部分空間である場合、永続ベッティ数は有限となる。^[45]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

葉脈法を用いると、k次元PBNは次元の演繹によって1次元PBNの族に分解することができる。^[46]この方法は、多次元PBNが安定であることの証明にもつながった。^[47] PBNの不連続性は、がコンパクトで三角形に分割可能な位相空間である という仮定の下で、がの不連続点であるか、 がの不連続点である点でのみ発生する。 ^[48]${\displaystyle (u,v)(u\leq v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \rho _{M}(\star ,v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \rho (u,\star )}$${\displaystyle f\in C^{0}(X,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle X}$

永続空間は永続図の一般化であり、0より大きい多重度を持つすべての点と対角線の多重集合として定義されます。^[49]これはPBNの安定した完全な表現を提供します。Carlssonらによる進行中の研究は、永続ホモロジーの幾何学的解釈を与えようとしており、機械学習理論と位相データ解析を組み合わせる方法についての洞察を提供する可能性があります。^[50]

多次元持続性を計算する最初の実用的なアルゴリズムは、非常に初期に発明されました。^[51]その後、離散モース理論^{[52]や有限サンプル推定[53]}などの概念に基づいて、他の多くのアルゴリズムが提案されました。

TDA の標準的なパラダイムは、サブレベル永続性と呼ばれることがよくあります。多次元永続性とは別に、この特殊なケースを拡張するための多くの研究が行われてきました。

持続モジュールの非ゼロ写像は、カテゴリ内の順序関係によって制限される。しかし、数学者は、方向の一致は多くの結果にとって重要ではないことを発見した。「哲学的なポイントは、グラフ表現の分解理論は、グラフのエッジの方向とはある程度独立しているということです。」^[54]ジグザグ持続は理論的な側面で重要である。関数性の重要性を示すためにカールソンのレビュー論文で示された例はすべて、その特徴のいくつかを共有している。^[3]

関数の厳しい制限を緩めようとする試みもいくつかある。^[55]詳細については、「分類と余層」および「数学への影響」のセクションを参照してください。

永続ホモロジーをコホモロジーや相対ホモロジー/コホモロジーなどの代数位相幾何学の他の基本概念に拡張するのは自然なことです。^[56]興味深い応用例として、第一永続コホモロジー群を介したデータセットの円座標の計算が挙げられます。^[57]

正規持続ホモロジーは実数値関数を研究する。円値写像は有用かもしれない。「円値写像の持続理論は、スカラー場の標準持続理論と同様に、いくつかのベクトル場に対してその役割を果たすことが期待される」とDan Burgheleaらは述べている^[58] 。主な違いは、ジョーダン セル (線形代数のジョーダン ブロックと形式が非常に似ている) が円値関数では非自明であり、実数値の場合はゼロになり、バーコードと組み合わせると、中程度の条件下では、穏やかな写像の不変量が得られることである^{[58] 。}

彼らが使用する2つの手法は、モース・ノビコフ理論^[59]とグラフ表現理論[ ^{60]です。より最近の結果はD. Burgheleaら[61]}で見つけることができます。たとえば、飼い慣らしの要件は、はるかに弱い条件である連続に置き換えることができます。

構造定理の証明は基底領域が体であることに依存しているため、捩れを伴う持続ホモロジーに関する試みはそれほど多く行われていない。フロシニはこの特定のモジュールに擬計量を定義し、その安定性を証明した。^[62]その新規性の1つは、計量を定義するために何らかの分類理論に依存しないことである。^[63]

カテゴリー理論の利点の1つは、具体的な結果をより高いレベルに引き上げ、一見無関係なオブジェクト間の関係性を示すことができることです。Bubenikら^[64]は、 TDAに適したカテゴリー理論の簡単な紹介を行っています。

カテゴリー理論は現代代数学の言語であり、代数幾何学や位相幾何学の研究で広く使われてきた。「^{[10]の重要な観察は、 [8]}によって生成された持続図は、この図が持つ代数構造のみに依存するということである」と指摘されている。 ^[65] TDAにおけるカテゴリー理論の使用は実り多いものであることが証明されている。^{[64] [65]}

Bubenikら^[65]の表記法に従うと、インデックスカテゴリ は任意の順序付き集合（必ずしもまたはとは限らない）、ターゲットカテゴリは任意のカテゴリ（一般的に使用される ではなく）であり、関数は上のにおける一般化永続モジュールと呼ばれます。 ${\textstyle P}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}$ ${\textstyle P\to D}$${\displaystyle D}$${\textstyle P}$

TDA で圏論を使用する利点の 1 つは、概念をより明確に理解し、証明間の新しい関係を発見できることです。例として 2 つの例を挙げます。インターリーブとマッチングの対応関係を理解することは非常に重要です。マッチングは当初から使用されていた方法であるためです (モース理論から修正)。研究の概要は Vin de Silva ら [ ^66]に記載されています。多くの定理は、より直感的な設定ではるかに簡単に証明できます。^[63]もう 1 つの例は、点群からさまざまな複合体を構築する関係です。チェフ複合体と Vietoris-Rips 複合体が関連していることは長い間注目されてきました。具体的には、。^[67]チェフ複合体と Rips 複合体の本質的な関係は、圏論的言語でより明確に確認できます。^[66]${\displaystyle V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)}$

圏論の言語は、結果をより広い数学コミュニティに理解可能な言葉で表現するのにも役立ちます。ボトルネック距離は、ボトルネック距離に関する安定性の結果のため、TDAで広く使用されています。^{[13] [16]}実際、インターリーブ距離は、素体における多次元持続モジュールの安定した測定基準のポセットカテゴリの終端オブジェクトです。^{[63] [68]}

現代の代数幾何学の中心概念である層は、本質的に圏論に関連している。大まかに言えば、層は、局所的な情報がどのように大域的な情報を決定するかを理解するための数学的なツールである。ジャスティン・カリーは、レベルセットの持続性を連続関数の繊維の研究とみなしている。彼が研究している対象はMAPPERのものと非常に似ているが、理論的基礎として層理論を用いている。 ^[35] TDAの理論におけるブレークスルーはまだ層理論を使用していないが、代数幾何学には層理論に関連する多くの美しい定理があるため、有望である。たとえば、異なるフィルタリング方法が同じ出力をもたらすかどうかは、自然な理論的疑問である。^[69]

実データはノイズを伴うため、安定性はデータ分析にとって極めて重要である。ブベニクらはカテゴリー理論を用いてソフトな安定性定理とハードな安定性定理を区別し、ソフトケースが形式的であることを証明した。^[65]具体的には、TDAの一般的なワークフローは

ソフト安定性定理は、 がリプシッツ連続であると主張し、ハード安定性定理は、 がリプシッツ連続であると主張します。 ${\displaystyle HF}$${\displaystyle J}$

ボトルネック距離はTDAで広く使用されています。等長定理は、インターリーブ距離が ボトルネック距離に等しいことを主張しています。^[63] Bubenikらは、が部分線型射影または超線型族を備えている 場合、関数間の定義に抽象化しましたが、それでも擬距離は残っています。^[65]インターリーブ距離の優れた特徴を考慮して、^[70]ここでは、インターリーブ距離の一般的な定義を導入します（最初に導入したものの代わりに）。^[13] （からへの関数で、単調であり、 すべてのに対してを満たす）とします。FとGの間の-インターリーブは、およびとなる自然な変換およびで構成されます。 ${\displaystyle d_{I}}$${\displaystyle F,G:P\to D}$${\textstyle P}$${\displaystyle \Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}} }$${\textstyle P}$${\textstyle P}$${\displaystyle x\leq \Gamma (x)}$${\textstyle x\in P}$${\displaystyle (\Gamma ,K)}$${\displaystyle \varphi \colon F\Rightarrow G\Gamma }$${\displaystyle \psi :G\Rightarrow FK}$${\displaystyle (\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }}$${\displaystyle (\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}}$

2つの主な結果は^[65]

• を、部分線型射影または超線型族を持つ順序付き集合とします。 を任意のカテゴリ間の関手とします。 このとき、任意の 2 つの関手に対して、 が成り立ちます。${\textstyle P}$${\textstyle H:D\to E}$${\textstyle D,E}$${\textstyle F,G:P\to D}$${\textstyle d_{I}(HF,HG)\leq d_{I}(F,G)}$
• を距離空間の半順序集合とし、を位相空間とします。また、(連続である必要はない) を関数とし、を対応する持続図とします。すると、 となります。${\textstyle P}$${\textstyle Y}$${\textstyle X}$${\textstyle f,g:X\to Y}$${\textstyle F,G}$${\displaystyle d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

これら 2 つの結果は、持続性のさまざまなモデルの安定性に関する多くの結果を要約したものです。

多次元持続性の安定性定理については、持続性のサブセクションを参照してください。

構造定理はTDAにとって中心的な重要性を持っています。G. Carlssonは「ホモロジーを位相空間の識別器として有用なものにしているのは、有限生成アーベル群の分類定理が存在するという事実です」と述べています。^[3]（有限生成アーベル群の基本定理を参照）。

元の構造定理の証明に用いられる主な議論は、主イデアル領域上の有限生成加群に対する標準的な構造定理である。^[10]しかし、この議論は、添字集合が の場合には成り立たない。^[3]${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$

一般に、すべての持続加群を区間に分解できるわけではない。^[71]元の構造定理の制限を緩和する試みが数多くなされてきた。^{[説明が必要]}の局所有限部分集合でインデックス付けされた点単位の有限次元持続加群の問題は、Webb の研究に基づいて解決されている。^[72]最も注目すべき結果は、 の問題を解決した Crawley-Boevey によるものである。Crawley-Boevey の定理によれば、任意の点単位の有限次元持続加群は区間加群の直和である。^[73]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

彼の定理の定義を理解するには、いくつかの概念を導入する必要がある。内の区間は、 であり、 となるようなが存在する場合、もまた存在するという性質を持つ部分集合として定義される。区間加群は、各要素にベクトル空間を割り当て、 内の要素にゼロベクトル空間を割り当てる。 および でない限り、すべての写像はゼロ写像であり、の場合は は恒等写像である。^[35]区間加群は分解不可能である。^[74]${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle r,t\in I}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle r\leq s\leq t}$${\displaystyle s\in I}$ ${\displaystyle k_{I}}$${\displaystyle s\in I}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I}$${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$${\displaystyle s,t\in I}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$

Crawley-Boevey の結果は非常に強力な定理ですが、q-tame の場合には拡張されません。^[71]永続モジュールがq-tameであるのは、 の階数がすべての に対して有限である場合です。q-tame 永続モジュールで、点ごとに有限にならない例があります。^[75]ただし、1 つのインデックス値にのみ存在する特徴が削除されても、同様の構造定理が依然として成り立つことがわかります。^[74]これは、各インデックス値での無限次元部分は有限階数条件により永続しないために成り立ちます。^[76]正式には、観測可能なカテゴリはと定義され、ここで は、そのオブジェクトがエフェメラル モジュールである完全なサブカテゴリを表します(の場合)。^[74]${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$${\displaystyle s<t}$${\displaystyle \mathrm {Ob} }$${\displaystyle \mathrm {Pers} /\mathrm {Eph} }$${\displaystyle \mathrm {Eph} }$${\displaystyle \mathrm {Pers} }$${\displaystyle \rho _{s}^{t}=0}$${\displaystyle s<t}$

ここでリストされている拡張結果はジグザグ永続性には適用されないことに注意してください。これは、ジグザグ永続性モジュールの類似物がすぐには明らかではないためです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

実際のデータは常に有限であるため、その研究では確率性を考慮する必要があります。統計分析により、データの真の特徴とランダム ノイズによって生じたアーティファクトを区別できるようになります。永続的相同性には、低確率の特徴と高確率の特徴を区別する固有のメカニズムはありません。

統計を位相データ解析に適用する一つの方法は、点群の位相的特徴の統計的性質を研究することです。ランダム単体複合体の研究は統計的位相についてある程度の洞察を提供します。K. Turner et al. ^{[77] は、}この方向の研究の概要を示しています。

2 つ目の方法は、持続空間上の確率分布を調べることです。持続空間は であり、 はちょうど の区間を含むすべてのバーコードの空間であり、の場合同値性は です。^[78]この空間はかなり複雑です。たとえば、ボトルネック メトリックでは完全ではありません。これを研究する最初の試みは、Y. Mileyko らによるものです。^[79]彼らの論文の持続図の空間は と定義され、はの対角線です。優れた特性として、 はWasserstein メトリック で完全かつ分離可能であることが挙げられます。期待値、分散、条件付き確率は、Fréchet の意味で定義できます。これにより、多くの統計ツールを TDA に移植できます。帰無仮説有意性検定、^[80]、信頼区間、^[81]、ロバスト推定値^[82]に関する研究は注目すべきステップです。 ${\displaystyle B_{\infty }}$${\displaystyle \coprod _{n}B_{n}/{\backsim }}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}}$${\displaystyle x_{n}=y_{n}}$${\displaystyle D_{p}}$$${\displaystyle D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle D_{p}}$${\displaystyle W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}}$

3 番目の方法は、確率空間または統計システムのコホモロジーを直接考慮することです。これは情報構造と呼ばれ、基本的には 3 つの要素 ( )、サンプル空間、ランダム変数、および確率法則で構成されます。^{[83] [84]}ランダム変数は、分割の格子 ( ) 上のn 個の原子確率 (確率 (n-1) 単体として見られる) の分割として考えられます。ランダム変数または測定可能な関数のモジュールはコチェーン複合体を提供しますが、コ境界は、条件付けの作用を実装する左作用を持つ、ホックシルトによって最初に発見された一般ホモロジー代数として考えられます。最初のコサイクル条件はエントロピーの連鎖律に対応し、乗法定数まで一意に導くことができるため、最初のコホモロジークラスとしてシャノンエントロピーが得られます。変形された左作用を考慮すると、フレームワークが Tsallis エントロピーに一般化されます。情報コホモロジーは、環状トポスの例です。多変量k-相互情報量は共境界表現に現れ、共循環条件に関連してそれらが消失すると、統計的独立性の同等の条件が得られる。^[85]相互情報量の最小値はシナジーとも呼ばれ、ホモトピックリンクに類似した興味深い独立構成を生み出す。その組み合わせの複雑さのため、コホモロジーと情報構造の単体サブケースのみがデータ上で調査されてきた。データに適用すると、これらのコホモロジーツールは、多変量の場合のマルコフ連鎖や条件付き独立性などの統計的依存性と独立性を定量化する。 ^[86]特に、相互情報量は相関係数と共分散を非線形統計的依存性に一般化する。これらのアプローチは独立して開発され、持続法とは間接的にしか関係がありませんが、相互情報関数と交差演算子を持つ集合の有限測定可能関数との間の1対1の対応を確立し、チェフ複体スケルトンを構築する胡国田定理を使用した単体ケースで大まかに理解できます。情報コホモロジーは、神経科学（神経アセンブリ理論と定性的認知^[87] ）、統計物理学、および構造と学習アルゴリズムがランダム変数の複合体と情報チェーンルールによって課されるディープニューラルネットワークの観点から、直接的な 解釈と応用を提供します。^[88]${\displaystyle \Omega ,\Pi ,P}$${\displaystyle |\Omega |=n}$${\displaystyle \Pi _{n}}$

Peter Bubenik によって導入された永続性ランドスケープは、バーコードを表現する別の方法であり、統計分析により適しています。^[89]永続モジュールの永続性ランドスケープは、関数、 として定義されます。ここで、 は拡張された実数直線を表し、 です。永続性ランドスケープの空間は非常に優れています。バーコード表現のすべての優れた特性 (安定性、簡単な表現など) を継承しますが、統計量を簡単に定義でき、Y. Mileyko らの研究における期待値の非一意性など^[79]の問題のいくつかを克服できます。永続性ランドスケープを使用した計算には、効果的なアルゴリズムが利用可能です。^[90]別のアプローチは、イメージ、カーネル、コカーネルの永続性である修正された永続性を使用することです。^[91]${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))}$

TDA のアプリケーションを分類する方法は複数あります。おそらく最も自然な方法は分野別です。成功した応用例の非常に不完全なリストには、 ^[92]データの骨格化、^[93]形状研究、^[94]グラフ再構成、^{[95] [96] [97] [98] [99]} 画像分析、 ^{[100] [101]}材料、^{[102] [103]}病気の進行分析、^{[104] [105]}センサーネットワーク、^[67]信号分析、^[106]宇宙ウェブ、^[107]複雑ネットワーク、 [ ^{108] [109] [110] [111]}フラクタル幾何学、^[112]ウイルスの進化、^[113]ネットワーク上での伝染の伝播、^[114]分子分光法を使用した細菌分類、^[115]超解像顕微鏡、^[116]物理化学におけるハイパースペクトルイメージング、^[117]リモートセンシング、^[118]特徴選択、^[119]金融危機の早期警告サインなどがある。^[120]

もう一つの方法は、G.カールソンによる手法を区別することである。^[78]

1 つは個々のデータ セット上のデータのホモロジー不変量の研究であり、もう 1 つはデータ ポイント自体が幾何学的構造を持つデータベースの研究におけるホモロジー不変量の使用です。

最近の TDA アプリケーションには注目すべき興味深い機能がいくつかあります。

1. 数学の複数の分野のツールを組み合わせる。代数と位相幾何学の必要性は明らかであるが、偏微分方程式、^[121]代数幾何学、^[41]表現論、^[54]統計学、組合せ論、リーマン幾何学^[76]はすべてTDAで使用されている。
2. 定量的分析。多くの概念がホモトピーの下で不変であるため、トポロジーは非常にソフトであると考えられています。しかし、永続的トポロジーは、トポロジカルな特徴の誕生（出現）と死（消失）を記録することができるため、追加の幾何学的情報が埋め込まれています。理論上の証拠の1つは、曲線の再構築の一意性に関する部分的に肯定的な結果です。^[122]応用上の2つは、フラーレンの安定性の定量的分析と自己相似性の定量的分析に関するものです。^{[112] [123]}
3. 短時間持続の役割。ノイズが現象の原因であるという一般的な考えにもかかわらず、短時間持続も有用であることがわかっています。^[124]これは数学理論にとって興味深いことです。

今日のデータ分析の主な分野の一つは機械学習です。TDAにおける機械学習の例は、Adcockら^[125]に見ることができます。TDAと機械学習のつながりは時間の経過とともに顕著になり、トポロジカル機械学習とトポロジカルディープラーニングの分野に至りました。機械学習のツールを適用するには、TDAから取得した情報をベクトル形式で表現する必要があります。継続的で有望な試みは、上で説明したパーシスタンスランドスケープです。別の試みでは、パーシスタンスイメージの概念を使用しています。^[126]ただし、この方法の問題の1つは、ハード安定性定理がバーコード表現に依存するため、安定性が失われることです。

位相データ解析とパーシステントホモロジーはモース理論に影響を与えてきた。^[127]モース理論は計算を含むTDAの理論において非常に重要な役割を果たしてきた。パーシステントホモロジーの研究の中には、モース関数に関する結果を飼いならされた関数や連続関数にまで拡張したものもある^[要出典]。パーシステントホモロジーが発明されるずっと前にR.ドゥヒューベルが忘れていた結果が、モース理論をすべての連続関数に拡張している。^[128]

最近の結果の1つは、レーブグラフのカテゴリが 特定のコシェーフのクラスと同等であるというものである。^[129]これは、レーブグラフがモース理論に関連しており、MAPPERがそこから派生しているため、TDAの理論的研究によって動機付けられている。この定理の証明は、インターリーブ距離に依存している。

持続的相同性はスペクトル列と密接に関係している。^{[130] [131]}特に、フィルタリングされた複合体をその標準形に導くアルゴリズム^[11]は、グループをページごとに計算する標準的な手順よりもはるかに高速なスペクトル列の計算を可能にする。ジグザグ持続性はスペクトル列にとって理論的に重要であることが判明するかもしれない。 ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$

トポロジーのオリジナルおよび非理論的用途のデータベース（DONUT）は、トポロジカルデータ分析の科学のさまざまな分野への実用的な応用を特集した学術論文のデータベースです。DONUTは2017年にバーバラ・ジュンティ、ジャニス・ラゾフスキス、バスティアン・リークによって開始され、^[132] 2023年10月現在、447件の論文が含まれています。^{[133] DONUTは、2023年11月号の}アメリカ数学会の通知で特集されました。^[134]

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