4次元多様体

数学において、4 次元多様体は 4 次元の位相多様体です。滑らかな 4 次元多様体は滑らかな構造を持つ 4 次元多様体です。4 次元では、より低い次元とは著しく対照的に、位相多様体と滑らかな多様体はまったく異なります。滑らかな構造を許さない位相 4 次元多様体もいくつか存在し、滑らかな構造が存在する場合でも、それが一意である必要はありません (つまり、同相だが微分同相ではない滑らかな 4 次元多様体があります)。

一般相対性理論では時空が擬似リーマン4 次元多様体としてモデル化されるため、4 次元多様体は物理学において重要です。

単連結コンパクト 4 次元多様体のホモトピー型は、中次元ホモロジー上の交差形式にのみ依存します。マイケル フリードマン (1982) の有名な定理は、多様体の同相型型はこの交差形式と、カービー–ジーベンマン不変量と呼ばれる不変量にのみ依存し、さらに、形式が偶数の場合を除いて、ユニモジュラー形式とカービー–ジーベンマン不変量のあらゆる組み合わせが生じ、カービー–ジーベンマン不変量はシグネチャ/8 (mod 2) でなければならないことを示しています。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

例:

• 形式が 0 である特別な場合には、これは 4 次元の位相的なポアンカレ予想を意味します。
• 形式がE8 格子である場合、これはE8 多様体と呼ばれる多様体を与え、これはいかなる単体複体とも同相ではない多様体です。
• 形式が の場合、カービー・ジーベンマン不変量に依存する 2 つの多様体が存在します。1 つは 2 次元複素射影空間で、もう 1 つは同じホモトピー型を持ちますが同相ではない (滑らかな構造を持たない) 偽の射影空間です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 形式の階数が約 28 を超えると、正定値ユニモジュラ形式の数は階数とともに非常に急速に増加し始めるため、対応する単連結な位相 4 次元多様体が膨大な数になります (そのほとんどは、ほとんど興味を引かないようです)。

フリードマンの分類は、基本群がそれほど複雑ではないいくつかのケースに拡張できます。たとえば、 の場合、 の群環上のエルミート形式を使用した上記と同様の分類があります。基本群が大きすぎる場合 (たとえば、2 つの生成元上の自由群)、フリードマンの手法は機能しないようで、そのような多様体についてはほとんどわかっていません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

任意の有限生成群に対して、それを基本群とする（滑らかな）コンパクトな 4 次元多様体を構築するのは簡単です。^[1]（より具体的には、任意の有限生成群に対して、与えられた基本群を持つ多様体を構築し、この族の 2 つの多様体が同相である場合に限り、基本群が同型であるようにします。） 2 つの有限生成群が同型であるかどうかを判断するアルゴリズムは存在しないため（1 つが自明であることがわかっていても）、2 つの 4 次元多様体が同じ基本群を持つかどうかを判断するアルゴリズムは存在しません。これが、4 次元多様体に関する研究の多くが単連結の場合のみを考慮する理由の 1 つです。多くの問題の一般的なケースは既に扱いにくいことがわかっています。

最大6次元の多様体の場合、任意の区分線形(PL)構造は本質的に一意の方法で平滑化できるため、^[2]特に4次元PL多様体の理論は4次元の滑らかな多様体の理論とほぼ同じです。

滑らかな 4 次元多様体の理論における主要な未解決問題は、単連結コンパクト多様体を分類することです。位相的なものが知られているように、これは 2 つの部分に分かれます。

1. どの位相多様体が滑らかにできますか?
2. 平滑化可能な多様体上のさまざまな滑らかな構造を分類します。

どの単連結コンパクト 4 次元多様体が滑らかな構造を持つかを問う最初の問題には、ほぼ完全な答えがあります。まず、カービー-ジーベンマン類は消滅する必要があります。

• 交差形式が明確な場合、ドナルドソンの定理(Donaldson 1983) によって完全な答えが得られます。つまり、形式が対角化可能である場合にのみ、滑らかな構造が存在します。
• 形が不定で奇妙であれば、構造は滑らかになります。
• 形式が不定で偶数の場合、必要に応じて方向を変更することで、非正の署名であると仮定することもできます。その場合、mとnに対して、 II _1,1のm個のコピーと E ₈ (−1)の2 n 個のコピーの合計に同型になります。m ≥ 3 n (したがって、次元は |署名| の少なくとも 11/8 倍) の場合、 n 個のK3 面とS ² × S ^2のm  − 3 n 個のコピーの連結された合計を取ることで与えられる滑らかな構造があります。m ≤ 2 n (したがって、次元は最大で |署名| の 10/8 倍) の場合、 Furuta は滑らかな構造が存在しないことを証明しました (Furuta 2001)。これにより、 10/8 と 11/8 の間に小さなギャップが残り、その答えはほとんど不明です。 (上記でカバーされていない最小のケースはn =2 およびm =5 ですが、これも除外されているため、現在答えがわかっていない最小の格子は、n =3 およびm =7のランク 62 の格子 II _7,55です。この分野の最近の (2019 年現在) 進捗状況については^{[3] を}参照してください。)「11/8 予想」は、次元が |signature| の 11/8 倍未満の場合、滑らかな構造は存在しないと述べています。

対照的に、平滑化可能な 4 次元多様体上の滑らかな構造を分類するという 2 番目の問題についてはほとんどわかっていません。実際、答えが完全にわかっている滑らかな 4 次元多様体は 1 つもありません。Donaldson は、ドルガチェフ面などの単連結^{コンパクト 4 次元多様体には、可算無限数の異なる滑らかな構造があることを示しました。R 4}には無数の異なる滑らかな構造があります。エキゾチックR ⁴を参照してください。Fintushel と Stern は、 Seiberg–Witten 不変量を使用して滑らかな構造が異なることを示すことにより、さまざまな多様体上に多数の異なる滑らかな構造 (任意の積分多項式でインデックス付け) を構築するための手術方法を示しました。彼らの結果は、単連結な滑らかな 4 次元多様体の分類は非常に複雑になることを示唆しています。現在のところ、この分類がどのようなものになるかについてのもっともらしい推測はありません。 (すべての単連結な滑らかな 4 次元多様体は、おそらく向きが逆の代数曲面またはシンプレクティック多様体の連結和である可能性があるという初期の推測のいくつかは反証されています。)

多様体に関する基本定理の中には、最大 3 次元では低次元の方法で証明でき、少なくとも 5 次元ではまったく異なる高次元の方法で証明できるが、4 次元では誤りとなるものがいくつかあります。次に例を示します。

• 4 次元以外では、カービー・ジーベンマン不変量がPL 構造の存在を妨げます。言い換えると、コンパクトな位相多様体は、H ⁴ ( M、Z /2 Z ) におけるカービー・ジーベンマン不変量がゼロである場合にのみ、PL 構造を持ちます。次元 3 以下では、すべての位相多様体は本質的に一意の PL 構造を許容します。次元 4 では、カービー・ジーベンマン不変量がゼロであるが PL 構造がない例が多数あります。
• 4 次元以外の次元では、コンパクトな位相多様体には、本質的に異なる PL または滑らかな構造が有限個しかありません。4 次元では、コンパクトな多様体は、可算無限個の非微分同相滑らかな構造を持つことができます。
• 4 は、 R ^{n が}エキゾチックな滑らかな構造を持つことができる唯一の次元nです。R ⁴には無数のエキゾチックな滑らかな構造があります。エキゾチックR ⁴を参照してください。
• 滑らかなポアンカレ予想の解は、4 次元以外のすべての次元で知られています (通常は、少なくとも 7 次元では誤りです。エキゾチック球を参照してください)。PL多様体のポアンカレ予想は、4 次元以外のすべての次元で証明されています。4 次元では、PL ポアンカレ予想は滑らかなポアンカレ予想と同等であり、その真偽は不明です。
• 滑らかなh-コボルディズム定理は、コボルディズムもその境界も次元 4 でない場合に、コボルディズムに対して成立します。コボルディズムの境界が次元 4 の場合、この定理は成立しません ( Donaldsonによって示されているように)。^[4]コボルディズムが次元 4 の場合、h-コボルディズム定理が成立するかどうかは不明です。
• 次元が 4 でない位相多様体にはハンドルボディ分解があります。次元が 4 の多様体は、平滑化可能である場合にのみハンドルボディ分解があります。
• いかなる単体複体とも同相ではないコンパクトな4次元位相多様体が存在する。チプリアン・マノレスクは、 5次元以上の各次元に、単体複体と同相ではない位相多様体が存在することを示した。^[5]

フランク・クインによれば、「次元 2 nの多様体の2 つのn次元部分多様体は、通常、孤立した点で互いに交差します。「ホイットニー トリック」は、埋め込まれた 2 ディスク全体の同位体を使用して、これらの交差を単純化します。大まかに言えば、これにより、n次元埋め込みの研究が 2 ディスクの埋め込みに縮小されます。しかし、次元が 4 の場合、これは縮小ではありません。2 ディスク自体は中次元であるため、それらを埋め込もうとすると、それらが解決することになっている問題とまったく同じ問題に遭遇します。これが、次元 4 を他の次元と区別する現象です。」^[6]

• カービー計算
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• エンリケス・小平分類
• カソンハンドル
• アクブルットコルク

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• ウィキメディア・コモンズの 4 次元多様体に関連するメディア