同変位相

数学において、同変位相とは、特定の対称性を持つ位相空間の研究です。位相空間の研究においては、連続写像を 考慮することがよくありますが、同変位相でもそのような写像を考慮しますが、各写像は、そのドメインとターゲット空間の両方で「対称性を尊重する」という追加の制約があります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

対称性の概念は通常、およびに対する群の群作用を考え、この作用の下でが同変であることを要求することから、すべての に対して、 という特性が通常 で表される。経験的に言えば、標準位相幾何学では 2 つの空間を「変形を除いて」同値と見なすのに対し、同変位相幾何学では、両方の空間が持つ対称性に注意を払う限り、空間を変形を除いて同値と見なす。同変位相幾何学の有名な定理は、ボルスク・ウラム定理であり、これはすべての-同変写像が必然的に消えることを主張する。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(g\cdot x)=g\cdot f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f:X\to _{G}Y}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R}^{n}}$

同変コホモロジーやその他の応用で使用される重要な構成には、自然に発生する群バンドルが含まれます (詳細については主バンドルを参照してください)。

まず、が に自由に作用する場合を考えてみましょう。次に、-同変写像が与えられると、 によって与えられる断面が得られます。ここで、 は対角作用 を取得し、バンドルは で、ファイバーと射影は によって与えられます。多くの場合、全空間は と書き表されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f:X\to _{G}Y}$${\displaystyle s_{f}:X/G\to (X\times Y)/G}$${\displaystyle [x]\mapsto [x,f(x)]}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle g(x,y)=(gx,gy)}$${\displaystyle p:(X\times Y)/G\to X/G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p([x,y])=[x]}$${\displaystyle X\times _{G}Y}$

より一般的には、割り当ては実際には一般に にマッピングされません。は同変なので、(等方性部分群) の場合、同変により となり、実際に はの集合にマッピングされます。 この場合、バンドルをホモトピー商で置き換えることができます。ここで は自由に作用し、によって上の誘導バンドルにバンドルホモトピックになります。 ${\displaystyle s_{f}}$${\displaystyle (X\times Y)/G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\in G_{x}}$${\displaystyle g\cdot f(x)=f(g\cdot x)=f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{[x,y]\in (X\times Y)/G\mid G_{x}\subset G_{y}\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

ボルスク・ウラム定理からハムサンドイッチ定理を導き出すことができるのと同じように、離散幾何学の問題に対する同変位相の応用は数多くあります。^{[1] [2]}これは、配置空間テストマップパラダイムを使用することで実現されます。

幾何学の問題 が与えられたとき、配置空間、を定義します。これは、問題に関連するすべての解 (点、直線、円弧など) をパラメータ化します。さらに、テスト空間とマップ を考えます。ここで、 は、 のときのみ問題の解です。最後に、離散問題では、 とに作用する何らかのグループによって自然な対称性を考えるのが一般的です。そのため、 はこれらの作用の下で同変です。同変マップ が存在しないことを示すことができれば、問題は解決します。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset V}$${\displaystyle f:X\to V}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle f(p)\in Z}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:X\to V\setminus Z}$

このような写像の存在に対する障害は、しばしばおよびの位相データから代数的に定式化される。^[3]このような障害の典型的な例は、ベクトル空間 および を持つことで導出できる。この場合、非消滅写像は、上記の議論から非消滅切断も誘導するため、 では、トップのStiefel–Whitney クラスが消滅する必要がある。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle V\setminus Z}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Z=\{0\}}$${\displaystyle s_{f}:x\mapsto [x,f(x)]}$${\displaystyle \omega _{n}(X\times _{G}Y)}$

• 恒等マップは常に同変になります。${\displaystyle i:X\to X}$
• を単位円上で反対称的に作用させると、 は奇関数なので同変です。${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$${\displaystyle z\mapsto z^{3}}$
• 任意の写像は、 が商に自明に作用する場合、同変です。これは、すべての に対して であるためです。${\displaystyle h:X\to X/G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle h(g\cdot x)=h(x)}$${\displaystyle x}$

• 同変コホモロジー
• 同変安定ホモトピー理論
• Gスペクトル