風車タイル

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幾何学において、風車タイリングは、チャールズ・ラディンによって定義され、ジョン・コンウェイによる構成に基づいた非周期的なタイリングです。これらは、タイルが無限の方向に表示されるという特性を持つ、最初の非周期的なタイリングとして知られています。

を、辺の長さが、 の直角三角形とします。コンウェイは、を係数 の拡大によって 5 つの等角投影図に分割できることに注目しました。^[1]${\displaystyle T}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle 1/{\sqrt {5}}}$

風車タイリングは、の係数で繰り返し膨張し、各タイルをこのように細分化することで得られます。逆に、風車タイリングのタイルを 5 つのグループにまとめると、より大きな風車タイリングを形成できます。このタイリングでは、 の等角コピーが無限の方向に現れます。これは、 の小さな角度、 が の有理倍数ではないためです。Radinは、のマークである 5 つのプロトタイプのコレクションを発見しました。これにより、これらのタイルとその反射のマッチング規則によって風車タイリングが強制されます。^[1]すべての頂点は有理座標を持ち、タイルの方向は円の周りに均一に分布しています。^[2]${\displaystyle T}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle T}$

ラディンとコンウェイは、クアクアバーサルタイリングと呼ばれる3次元類似物を提案した。^[3]元のアイデアには他のバリエーションや一般化も存在する。^[4]

コンウェイ構成に従って 5 つの等長コピーに繰り返し分割し、中央の三角形を破棄すると (無限に) 、フラクタルが得られます。この「風車フラクタル」はハウスドルフ次元を持ちます。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle d={\frac {\ln 4}{\ln {\sqrt {5}}}}=\log _{5}(16)\approx 1.7227}$

オーストラリアのメルボルンにある複合ビル、フェデレーション スクエアでは、風車タイルが採用されています。このプロジェクトでは、タイル パターンを使用してファサードの構造サブフレームを作成し、ファサードを工場でオフサイトで製造し、後で組み立ててファサードを形成できるようにしています。風車タイル システムは、亜鉛、穴あき亜鉛、砂岩、またはガラス (タイルと呼ばれる) で構成された単一の三角形の要素に基づいており、これがアルミニウム フレーム上の他の 4 つの同様のタイルと結合されて「パネル」を形成します。5 つのパネルが亜鉛メッキ鋼のフレームに固定されて「メガ パネル」を形成し、次にファサードのサポート フレームに吊り上げられました。タイルの回転配置により、建設プロセスがプレファブリケーションと繰り返しに基づいているにもかかわらず、ファサードはよりランダムで不確実な構成品質を備えています。フェデレーション スクエアの「アトリウム」の構造フレームとガラスの開発にも同じ風車タイル システムが使用されていますが、この例では、風車グリッドが「3 次元」化され、ポータル フレーム構造が形成されています。

• タイル百科事典の風車
• GeoGebra で作られたダイナミックな風車