三角形のタイル

幾何学において、三角形のタイル張りまたは三角形のモザイク張りは、ユークリッド平面の3 つの正規のタイル張りの1 つであり、構成図形が平行四辺形ではない唯一のタイル張りです。正三角形の内角は60 度なので、1 点に 6 つの三角形があると、360 度全体が占められます。三角形のタイル張りには、シュレーフリ記号{3,6} が付けられます。

イギリスの数学者ジョン・コンウェイは、ギリシャ文字のデルタ(Δ)の三角形の形にちなんで、これをデルティルと名付けました。三角形のタイリングは、中心点と三角形を追加してヘクスティルの面を置き換えるkis操作によって、キシェクスティルとも呼ばれます。

これは平面上の 3 つの規則的なタイリングのうちの 1 つです。他の 2 つは正方形のタイリングと六角形のタイリングです。

三角形のタイリングには、9 つ​​の異なる均一な色付けがあります。(頂点の周りの 6 つの三角形のインデックスで色に名前を付けます: 111111、111112、111212、111213、111222、112122、121212、121213、121314) そのうち 3 つは、色を繰り返すことで他の色から派生できます。111212 と 111112 は、1 と 3 を組み合わせて 121213 から派生し、111213 は 121314 から減算されます。^[1]

アルキメデスの色分けには、111112 という1 つのクラス (* でマーク) があり、これは 1 均一ではなく、3 分の 1 ごとに色が付けられた三角形の行が交互に含まれています。示されている例は 2 均一ですが、行を任意の水平方向にシフトすることで作成できるこのようなアルキメデスの色分けは無数に存在します。

三角形のタイルの頂点配置はA2格子と呼ばれます。[ 2 ]_これは^単純なハニカムの2次元ケースです。

Aの^*
₂格子（Aとも呼ばれる）³
_{2) は、3 つの A 2}格子すべてを結合して構築でき、A ₂格子と同等です。

++= の双対=

三角形のタイリングの頂点は、最も密な円のパッキングの中心です。^[3]すべての円は、パッキング内の他の6つの円と接触しています（キス数）。パッキング密度はπ ⁄ √ 12または90.69%です。三角形のタイリングのボロノイセルは六角形であるため、ボロノイ分割、つまり六角形のタイリングは、円のパッキングに直接対応しています。

三角形のタイリングは、通常のタイリング（各頂点の周りに6つの三角形）と同等の{3,6}トポロジで作成できます。面が同一（面推移性）で頂点推移性があるため、5つのバリエーションがあります。対称性は、すべての面が同じ色であることを前提としています。^[4]

• 
  不等辺三角形
  p2 対称性
• 
  不等辺三角形
  pmg対称性
• 
  二等辺三角形
  cmm 対称性
• 
  直角三角形の
  CMM対称性
• 
  正三角形
  p6m 対称性

平面タイリングは多面体と関連しています。頂点に配置する三角形の数が少ないほど隙間ができるので、ピラミッドに折り畳むことができます。これらはプラトン立体に拡張できます。頂点に 5 つ、4 つ、3 つの三角形があると、それぞれ20 面体、8 面体、4 面体になります。

このタイリングは、シュレーフリ記号{3,n}を持つ正多面体の列の一部として位相的に関連付けられ、双曲平面まで続きます。

これは、面構成Vn.6.6を持つカタラン立体のシーケンスの一部として位相的に関連付けられ、双曲平面にも続きます。

均一な多面体と同様に、正六角形のタイリング (または二重三角形のタイリング) を基にして作成できる 均一なタイリングが 8 つあります。

元の面を赤、元の頂点を黄色、元のエッジに沿って青で色付けしたタイルを描くと、8 つのフォームがあり、そのうち 7 つは位相的に異なります。(切頂三角形のタイリングは、位相的には六角形のタイリングと同一です。)

正則複素アペイロゴンは4つあり、三角形のタイリングの頂点を共有しています。正則複素アペイロゴンは頂点と辺を持ち、辺には2つ以上の頂点を含めることができます。正則アペイロゴンp { q } rは、1/ p + 2/ q + 1/ r = 1という制約を受けます。辺にはp個の頂点があり、頂点図形はr角形です。^[5]

最初のものは 2 つのエッジで構成され、次の 2 つは三角形のエッジで、最後のものは重なり合った六角形のエッジで構成されます。

また、単一の種類の三角形で作られた 3 つのLaves タイルもあります。

ウィキメディア・コモンズには、オーダー6の三角形タイリングに関連するメディアがあります。

• 三角形のタイル張りハニカム
• 単純ハニカム
• 正多角形のタイル張り
• 均一なタイリングのリスト
• アイソグリッド（三角形のタイルを使った構造設計）

• Coxeter, HSM Regular Polytopes、(第 3 版、1973 年)、Dover 版、ISBN 0-486-61480-8、p. 296、表 II: Regular honeycombs 
• グリュンバウム、ブランコ& シェパード、GC (1987)。『タイルとパターン』。ニューヨーク: WH フリーマン。ISBN 0-7167-1193-1。（第2.1章規則的および均一なタイリング、p. 58-65、第2.9章 アルキメデスの色分けと均一な色分け、pp. 102–107）
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。p35
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5 [1] 

• Weisstein、Eric W.「三角形のグリッド」。MathWorld。
  • ワイスタイン、エリック W.「通常のテッセレーション」。マスワールド。
  • ワイスタイン、エリック W.「均一テッセレーション」。マスワールド。
• Klitzing、Richard。「2D ユークリッド タイル x3o6o - trat - O2」。