凸状の均一なハニカム

幾何学において、凸均一ハニカムとは、重なり合わない凸均一多面体セルで3次元ユークリッド空間を埋め尽くす均一なテセレーションのことである。

このようなハニカム構造は28種類知られている。

• おなじみの立方体ハニカム構造と、その7つの切断形。
• 交互に配置された立方体ハニカム構造と、その４つの切断部。
• 均一な平面タイル張りに基づく10種類の角柱形状（立方体ハニカムを含めると11種類）。
• 5. 上記のいくつかの形状を、伸長および／または回転によって変更したもの。

これらは、平面の均一なタイル張りの三次元版と考えることができる。

任意の格子のボロノイ図は凸状の均一なハニカムを形成し、そのセルはゾノヘドラである。

• 1900年：トロルド・ゴセットは、 n次元空間における正則および半正則図形についてという著書の中で、正則なセル（プラトン立体）を持つ半正則凸多面体のリストを列挙した。これには、1つの正立方ハニカムと、正四面体および正八面体を持つ2つの半正則な形状が含まれる。
• 1905年：アルフレド・アンドレイニは、これらのテセレーションのうち25種類を列挙した。
• 1991年：ノーマン・ジョンソンの原稿「均一多面体」は28のリストを特定した。^{[ 1 ]}
• 1994年：ブランコ・グリュンバウムは、論文「3空間の均一なタイル張り」の中で、アンドレイニの論文に誤りがあることを発見した後、独自に28種類すべてを列挙した。彼は、25種類を列挙した1905年の論文に1種類誤りがあり、4種類が欠落していることを発見した。グリュンバウムはこの論文の中で、1991年に同じ列挙を達成したノーマン・ジョンソンに優先権があると述べている。また、ロシアのI・アレクセーエフがこれらの形式の列挙について彼に連絡してきたが、グリュンバウムは当時それを検証できなかったとも述べている。
• 2006年：ジョージ・オルシェフスキーは、原稿「Uniform Panoploid Tetracombs」の中で、11個の凸型均一タイリングと28個の凸型均一ハニカムの派生リストを繰り返すとともに、143個の凸型均一テトラコム（4空間における均一4多面体のハニカム）の派生リストをさらに拡張している。 ^{[ 2 ] [ 1 ]}

これらのパターンには、凸型の均一多面体のうち14個しか現れません。

• 5つのプラトン立体のうちの3つ（正四面体、立方体、正八面体）、
• 13個のアルキメデス立体のうち6個（反射四面体または八面体対称性を持つもの）、
• 無限に存在する角柱の5種類（3角柱、4角柱、6角柱、8角柱、12角柱。4角柱は立方体を複製したもの）。

正二十面体、ねじれ立方体、正方反角柱はいくつかの組み合わせで現れるが、これらのハニカム構造はすべての辺の長さが単位長となるようには実現できない。

3次元空間における基本的な無限コクセター群は以下のとおりです。

1. の$\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$, [4,3,4], 立方体, (8つの固有形状と1つの交替)
2. の$\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$, [4,3 ^1,1 ]、交互立方体、（11種類、うち3種類は新規）
3. の$\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$巡回群、[(3,3,3,3)] または [3 ^[4] ]、(5 つの形式、1 つの新しい形式)

3つの家族すべてに共通点がある。鏡を1つ取り除くと$\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$生産する$\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ミラーを1つ取り外して$\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$生産する$\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$これにより、同じハニカム構造を複数構築することが可能になります。各ワイトホフ構造内の固有の位置に基づいてセルに色を付けることで、これらの異なる対称性を示すことができます。

さらに、純粋な鏡面対称性を持たず、伸長と回転操作を伴う鏡面形状から構成される、5種類の特殊なハニカム構造が存在する。

上記のユニークなハニカム構造の総数は18個です。

3次元空間における無限コクセター群からのプリズムスタックは以下のとおりです。

1. の$\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$, [4,4,2,∞] プリズム群、（2つの新しい形式）
2. の$\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$[6,3,2,∞] プリズム群、（7つの固有の形態）
3. の$\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$, [(3,3,3),2,∞] プリズム群、(新しい形式なし)
4. の${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$, [∞,2,∞,2,∞] プリズム群、（これらはすべて立方体ハニカムになります）

さらに、三角形の角柱状ハニカム構造には、特殊な細長い形状が一つ存在する。

上記のユニークな角柱状ハニカムの総数（以前に数えた立方体を除く）は10です。

これらの数を合わせると、18と10で合計28個の均一なハニカム構造が得られます。

セルが均一なタイル状になることが許される場合、より均一なハニカム構造を定義できる。

家族：

• $\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [4,4,2]立方体スラブハニカム（3種類）
• $\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [6,3,2]三角六角形スラブハニカム（8種類 – これらと前述のファミリーは、ユークリッド平面の11種類の凸型均一タイリングのプリズムを形成する）
• $\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [(3,3,3),2]三角形スラブハニカム（新しい形状なし）
• ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$×${\displaystyle A_{1}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [∞,2,2] =立方体柱状ハニカム（1形態）
• ${\displaystyle I_{2}(p)}$×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$: [p,2,∞]多角柱ハニカム（デュオプリズムに類似：これらは、p角柱の単一の無限塔のように見え、残りの空間は非等角柱で満たされている）
• ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [∞,2,∞,2] = [4,4,2] - = (立方体スラブハニカムファミリーと同じ)

上記に示した最初の 2 つの形状は半正則(正則な面のみを持つ均一な形状) であり、 1900 年にトロルド・ゴセットによってそれぞれ3-ic 半チェックと四面体半チェックとして記載されました。^{[ 4 ]}

スキャリフォームハニカムは、均一ハニカムと同様に頂点推移的であり、正多角形の面を持ち、セルとより高次の要素は、頂点が超球上にある正三角形の球形であるだけでよい。3Dハニカムの場合、これにより均一多面体とともにジョンソン立体のサブセットが許容される。一部のスキャリフォームは、交互プロセスによって生成でき、たとえばピラミッドやドーム状の隙間を残すことができる。^{[ 5 ]}

双曲3次元空間には、ワイトホフ構成として生成される、コンパクトで均一なハニカム構造のコクセター群族が9つ存在し、それぞれの族についてコクセター・ディンキン図の環置換によって表現される。

これら9つの家族から、合計76種類の異なるハニカムが生成されました。

• [3,5,3]  : - 9つの形式
• [5,3,4]  : - 15 形式
• [5,3,5]  : - 9つの形式
• [5,3 ^1,1 ]  : - 11 形態 (7 は [5,3,4] ファミリーと重複、4 は固有)
• [(4,3,3,3)]  : - 9つの形式
• [(4,3,4,3)]  : - 6つの形式
• [(5,3,3,3)]  : - 9つの形式
• [(5,3,4,3)]  : - 9つの形式
• [(5,3,5,3)]  : - 6つの形式

76のリストに含まれていない、ウィソフ式以外の形態もいくつか知られているが、その数は不明である。

• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・ブルギエル、ハイム・グッドマン＝ストラウス(2008) 『物の対称性』、ISBN 978-1-56881-220-5（第21章「アルキメデス多面体とカタロニア多面体およびタイリングの命名、建築的およびカトプトリックなテセレーション」、292～298ページには、すべての非角柱状の形態が含まれています。）
• ブランコ・グリュンバウム、（1994）3空間の均一タイリング。Geombinatorics 4、49 - 56。
• ノーマン・ジョンソン（1991）一様多面体、原稿
• ウィリアムズ、ロバート（1979）。自然構造の幾何学的基礎：設計の資料集。ドーバー出版。ISBN 0-486-23729-X。

（第5章：多面体の充填と空間充填）

• クリッチロー、キース（1970）。空間の秩序：デザイン資料集。バイキング・プレス。ISBN 0-500-34033-1。
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、エイジア・イヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6
  • (論文22) HSM Coxeter、「正則多面体と半正則多面体 I」、[Math. Zeit. 46 (1940) 380–407、MR 2,10] (1.9 一様な空間充填)
• A. Andreini、(1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (多面体の規則的および半規則的なネットおよび対応する相関ネットについて)、Mem。イタリア科学協会、Ser.3、14 75–129。PDF
• DMY Sommerville (1930) 『 n次元幾何学入門』ニューヨーク、EP Dutton、196頁。（ドーバー出版版、1958年）第X章：正多面体
• アンソニー・ピュー（1976）。多面体：視覚的アプローチ。カリフォルニア：カリフォルニア大学出版局バークレー校。ISBN 0-520-03056-7。第5章 多面体の結合
• 準結晶の結晶学：概念、方法、構造（Walter Steurer、Sofia Deloudi著、2009年）、54-55ページ 。立方対称性を持つ2つ以上の均一な多面体の12個の充填。

• ワイススタイン、エリック W. 「ハニカム」 . MathWorld .
• 3空間VRMLモデルにおける均一なハニカム構造
• 基本的なハニカム頂点推移的空間充填ハニカムを不均一なセルで構成。
• 3次元空間の一様分割、その関連分割および埋め込み、1999年
• 均一多面体
• 仮想現実多面体多面体百科事典
• 八重トラスアニメーション
• 書評：AF Wells著「三次元ネットと多面体」、HSM Coxeter（出典：Bull. Amer. Math. Soc. Volume 84, Number 3 (1978), 466-470）。
• クリッツィング、リチャード。「3Dユークリッドテセレーション」。
• （OEISにおける配列番号A242941）