菱形三角タイル

幾何学において、菱形三六角形タイリングはユークリッド平面の半規則的なタイリングです。各頂点には三角形が 1 つ、正方形が2 つ、六角形が1 つあります。シュレーフリ記号は rr{3,6}です。

ジョン・コンウェイはこれを菱形六角形タイルと呼んでいます。^{[1]これは、}ノーマン・ジョンソンの用語ではカンテラート、アリシア・ブール・ストットの操作言語では拡張された六角形のタイル張りと見なすことができます。

平面には 3 つの規則的なタイリングと 8 つの半規則的なタイリングがあります。

菱形三六角形のタイルには、均一な色付けが1 つだけあります。(頂点の周りのインデックスによる色の命名 (3.4.6.4): 1232。)

辺の色付けにより、半対称形 (3*3) のオービフォールド表記が成立する。六角形は、2種類の辺を持つ切頂三角形 t{3} とみなすことができる。コクセター図が成り立つ。 、シュレーフリ記号s ₂ {3,6}。2色の正方形は、等脚台形に変形することができます。長方形が辺に退化する極限では、三角形のタイリングが生まれ、これはスナブ三角形のタイリングとして構築されます。。

関連する2-均一タイリングが1つあり、これは六角形を6つの三角形に分割したものです。^{[2] [3]} 菱形三六角形タイリングは、一部の六角形と周囲の正方形と三角形を十二角形に置き換えることで、 切り詰められた三六角形タイリングとも関連しています。

菱形三角格子のタイリングは、各点の中心に等しい直径の円を配置する円パッキングとして使用できます。すべての円は、パッキング内の他の4つの円と接しています（キス数）。^[4]並進格子領域（赤い菱形）には、6つの異なる円が含まれています。

正六角形タイリング (または二重三角形タイリング) をベースにした均一なタイリングが 8 つあります。

元の面を赤、元の頂点を黄色、元のエッジに沿って青で色付けしたタイルを描くと、8 つのフォームがあり、7 つは位相的に異なります。(切頂三角形のタイリングは、位相的には六角形のタイリングと同一です。)

このタイリングは、頂点図形(3.4.n.4)を持つ交叉多面体の列の一部として位相的に関連付けられ、双曲平面のタイリングとして続きます。これらの頂点推移図形は、(*n32)反射対称性を持ちます。

三角三角形のタイル張り
タイプ	デュアルセミレギュラータイリング
顔	凧
コクセター図
対称グループ	p6m、[6,3]、(*632)
回転グループ	p6, [6,3] + , (632)
二重多面体	菱形三角タイル
顔の構成	V3.4.6.4
プロパティ	顔推移

三角三角形の六角形タイル張りは、菱形六角形タイル張りとして知られる半正三角形のタイル張りの双対です。コンウェイはこれをテトリルと呼びました。^[1]このタイル張りの辺は、正三角形のタイル張りと六角形のタイル張りの交差オーバーレイによって形成されます。このタイル張りの各凧面の角度は、120°、90°、60°、90°です。これは、すべての辺がタイル張りの対称線上にある、平面のわずか8つのタイル張りのうちの1つです。^[5]

三角三角形のタイル張りは、半規則的なタイル張りである菱形三角形のタイル張りの双対です。^[6]その面は三角面または凧形です。

これは、通常のデュアルを含む、六角対称の 7 つのデュアル均一タイリングのうちの 1 つです。

このタイリングには面の推移的なバリエーションがあり、凧を左右対称の台形やより一般的な四辺形に歪めることができます。下の面の色を無視すると、完全な対称性はp6mであり、下側の対称性は3つの鏡が1点で交わり、3つの回転点を持つp31mです。^[7]

このタイリングは、三角形と六角形を中央の三角形に分割し、隣接する三角形を凧形に結合することで、 三六角形のタイリングと関連しています。

三角三角形の三角格子のタイル張りは、菱形三角形の三角格子のタイル張りの双対に対応する、均一な双対のタイル張りのセットの一部です。

このタイリングは、面構成V3.4.n.4のタイリングのシーケンスの一部として位相的に関連付けられ、双曲平面のタイリングとして継続されます。これらの面推移図形は、(*n32)反射対称性を持ちます。

他の三角錐タイリングも可能です。

点対称性により、平面は成長する凧で埋めることができ、トポロジは正方形のタイリング(V4.4.4.4) となり、ドリームキャッチャーの紐を交差させることで作成できます。以下は、二面六角形対称性の例です。

凧面を持つ別の面推移タイリング。これも正方形タイリングの位相的なバリエーションで、面構成はV4.4.4.4 です。頂点推移でもあり、すべての頂点に凧面のすべての方向が含まれます。

ウィキメディア・コモンズには、 3-4-6-4 の均一なタイリング (菱形三六角形のタイリング)に関連するメディアがあります。

• 正多角形のタイル張り
• 均一なタイリングのリスト

• グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC（1987）。タイルとパターン。ニューヨーク：WHフリーマン。ISBN 0-7167-1193-1。（第2.1章：規則的かつ均一なタイリング、p.58-65）
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。p40
• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、The Symmetries of Things 2008、ISBN 978-1-56881-220-5 [1] （第21章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名。 
• Weisstein、Eric W.「均一テッセレーション」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「半正規テッセレーション」。MathWorld。
• Klitzing、Richard。「2D ユークリッド タイル x3o6x - rothat - O8」。
• キース・クリッチロー『空間の秩序：デザインソースブック』、1970年、p. 69-61、パターンN、デュアルp. 77-76、パターン2
• デール・シーモアとジル・ブリトン、『テッセレーション入門』、1989年、ISBN 978-0866514613、pp. 50–56、双書p. 116