エッジテッセレーション

幾何学において、辺のテッセレーションとは、平面を重なり合わない多角形（テッセレーション）に分割することであり、これらの多角形のいずれかをその辺で反射すると、テッセレーション内の別の多角形になるという性質があります。結果として得られる多角形はすべて凸型で、互いに合同でなければなりません。ユークリッド幾何学では8つの辺のテッセレーションが可能ですが^[1]、非ユークリッド幾何学には他のテッセレーションも存在します。

8つのユークリッド辺のタイル分割は以下の通りである: ^[1]

最初の 4 つでは、タイルに鈍角はなく、頂点の次数はすべて偶数です。次数が偶数であるため、タイルの側面はタイリングを通る線を形成し、これらの 4 つのタイル分割はそれぞれ、線の配置と見なすこともできます。次の 4 つでは、各タイルに少なくとも 1 つの鈍角があり、その次数は 3 であり、その角度で交わるタイルの側面は同じように線に伸びません。^[1]

これらのモザイク模様は、19世紀の発明家デイヴィッド・ブリュースターが万華鏡の設計に取り入れたものである。万華鏡の鏡がこれらのタイルの形状に配置されていると、エッジモザイク模様のように見える。しかし、万華鏡によって生成されるモザイク模様では、頂点の次数が奇数ではうまくいかない。なぜなら、1つのタイル内の画像が非対称である場合、その画像を奇数次頂点の周りのタイルのすべてのコピーに一貫して反映させる方法がないためである。そのため、ブリュースターは鈍角のないエッジモザイク模様のみを考慮し、鈍角で次数3の頂点を持つ4つのモザイク模様は除外した。^[2]

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