正多面体の一覧

この記事では、ユークリッド空間、球面空間、双曲空間の正多面体を一覧表示します。

この表は、ランク別の正多面体のカウントの概要を示しています。

いかなる次元においても、ユークリッドの正規の星型モザイクは存在しません。

階数1の多面体（1-多面体）は1つしか存在せず、これは2つの端点によって囲まれた閉じた線分である。この1-多面体の実現はすべて正則である。これはシュレーフリ記号{}で表され、^{[2] [3]}、または1つのリングノードを持つコクセター図で表される。ノーマン・ジョンソンはこれをディオン^[4]と呼び、シュレーフリ記号{}を与えた 。

多面体としては自明であるが、多角形や他の高次元多面体の辺として現れる。 ^[5]シュレーフリ記号{ }×{p}やコクセター図のような一様プリズムの定義に使用される。線分と正多角形の直積として。 ^[6]

階数 2 の多面体 (2 多面体) は多角形と呼ばれます。正多角形は正等辺かつ環状です。p角形正多角形は、シュレーフリ記号{p}で表されます。

多くの情報源では凸多角形のみを考慮していますが、五芒星のような星型多角形も、考慮すると正則になります。星型多角形は凸形と同じ頂点を使用しますが、円の周りを複数回回って完成する交互の接続で接続します。

シュレーフリ記号 {p} は正p角形を表します。

正二角形{2}は退化した正多角形とみなすことができます。球面やトーラスの表面など、一部の非ユークリッド空間では非退化的に実現できます。たとえば、二角形は球面状の三角点として非退化的に実現できます。一角形{1}も、球面上の大円を通る単一の点として実現できます。^[7]ただし、一角形は単一の辺が2つの頂点ではなく1つの頂点にしか接続されていないため、 有効な抽象多面体ではありません。

2次元には、シュレーフリ記号が有理数{ n / m }で構成される正星型多面体が無数に存在します。これらは星型多角形と呼ばれ、凸正多角形と 同じ頂点配置を共有します。

一般に、任意の自然数nに対して、シュレーフリ記号{ n / m }を持つ正n尖星が存在し、 m < n /2 (厳密に言えば{ n / m } = { n /( n − m )} ) かつmとnが互いに素(したがって、辺の数が素数である多角形の星形はすべて正星になる) であるすべての m に対して正 n 尖星が存在する。 mとnが互いに素でない記号は、複合多角形を表すために使用されることがある。

モノゴンやディゴンと同様に、球状のタイリングとしてのみ存在できる星型多角形が存在する可能性があります (例: {3/2}、{5/3}、{5/4}、{7/4}、{9/5}) が、これらは詳細に研究されていません。

また、円の表面を有限回覆わない、パイアングルのような失敗した星型多角形も存在する。 ^[8]

平面の正多角形に加えて、正斜多角形は無数に存在します。斜多角形は、ブレンディング操作によって作成できます。

2 つの多角形PとQのブレンド ( P # Qと表記) は次のように構築できます。

1. それらの頂点の直積V _P × V _Qをとります。
2. エッジ( p ₀ × q ₀、p ₁ × q ₁ )を追加します。ここで、( p ₀、p ₁ )はPのエッジであり、( q ₀、q ₁ )はQのエッジです。
3. 結果の任意の接続コンポーネントを選択します。

あるいは、ブレンドは多角形⟨ρ 0 σ ₀ , ρ ₁ σ ₁ ⟩であり、ρとσは直交部​​分空間に配置されたPとQの生成ミラーです。 ^{[9]ブレンド操作は可換、}_結合 的、および冪等です。

すべての正多角形は、平面多角形の一意の集合^[i]のブレンドとして表現できます。^[9] PとQに因数がない場合、 Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q )となります。

3 次元の正多角形は、平面多角形 (次元 2) と二角形 (次元 1) を組み合わせたものです。これらの多角形には、プリズム ( { n / m }#{}、nは奇数) または反プリズム ( { n / m }#{}、nは偶数) に対応する頂点があります。3 次元空間のすべての多角形には、偶数の頂点と辺があります。

これらのうちいくつかは、正多面体のペトリー多角形として現れます。

4 次元の正有限多角形は、2 つの異なる平面多角形の組み合わせとして形成される多角形です。これらの多角形の頂点はクリフォード トーラス上に位置し、クリフォード変位によって関連付けられます。3 次元多角形とは異なり、二重回転の斜め多角形には奇数の辺を含めることができます。

階数3の多面体は多面体と呼ばれます。

シュレーフリ記号 { p , q }を持つ正多面体、コクセター図は、正則な面型{ p }と正則な頂点図形 { q }を持ちます。

頂点図形（多面体）は、特定の頂点から 1 辺離れた頂点を結んで形成される多角形です。正多面体の場合、この頂点図形は常に正多角形（平面多角形）になります。

正多面体{ p , q }の存在は、頂点図形の角度の欠陥に関連する不等式によって制約されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{多面体（ユークリッド 3 次元空間に存在）}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{ユークリッド平面タイリング}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}<{\frac {1}{2}}:{\text{双曲平面タイリング}}\end{aligned}}}$$

順列を列挙すると、5 つの凸形式、4 つの星型形式、3 つの平面タイリングが見つかります。これらはすべて、多角形{ p }と{ q }が{3}、{4}、{5}、{5/2}、および {6} に制限されています。

ユークリッド空間を超えると、正規の双曲タイルの無限の集合が存在します。

5 つの凸正多面体はプラトン立体と呼ばれます。頂点の数に応じて頂点図が与えられます。これらの多面体はすべて、オイラー特性(χ) が 2 です。

球面幾何学では、球面多面体（球のタイル張り）が存在します。これらは、そうでなければ多面体として退化します。これらは、細面体{2,n}とその双対二面体{n,2}です。コクセターは、これらのケースを「不適切な」タイル張りと呼んでいます。^[10]

最初のいくつかのケース（n は 2 から 6）を以下に示します。

任意の星型多角形{ p / q }に対して、星型二面体と細面体{ p / q , 2}と{2, p / q }も存在します。

正多面体はケプラー・ポアンソ多面体と呼ばれ、正十二面体{5,3}と正二十面体{3,5} の頂点配置に基づいて4つ存在します。

球状のタイリングとして、これらの星の形は球を複数回重ね合わせます。この密度は 3 または 7 です。タイリング画像では、単一の球状ポリゴン面が黄色で表示されます。

失敗した星型多面体は無限に存在します。これらも、シュレーフリ記号に星型多面体を含む球面タイリングですが、球面を有限回覆うことはありません。例としては、{5/2,4}、{5/2,9}、{7/2,3}、{5/2,5/2}、{7/2,7/3}、{4,5/2}、{3,7/3} などがあります。

正斜多面体は、非平面頂点図形の可能性を含む正多面体の集合の一般化です。

4次元の歪んだ多面体については、コクセターはこれらの図形に修正されたシュレーフリ記号{l,m|n}を提案した。ここで、{l,m}は頂点図形、頂点の周りのm個のl角形、およびn角形の穴を意味する。これらの頂点図形は、2つの平面の間をジグザグに進む歪んだ 多角形である。

{l,m|n} で表される正多面体は、次の式に従います。

$${\displaystyle 2\sin \left({\frac {\pi }{l}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$$

そのうち 4 つは、同じ頂点配置と辺配置を共有する 4 つの正多面体の面のサブセットとして 4 次元で見ることができます。

シュレーフリ記号を持つ正4 次元多面体には、タイプのセル、 タイプの面、辺図形 、頂点図形があります。 ${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\}}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle \{r\}}$${\displaystyle \{q,r\}}$

• 頂点図形（4 次元多面体）は、特定の頂点の周りの隣接頂点の配置によって表される多面体です。正則 4 次元多面体の場合、この頂点図形は正多面体です。
• エッジ図形は、エッジの周りの面の配置によって表される多角形です。正 4 次元多面体の場合、このエッジ図形は常に正多角形になります。

正4次元多面体の存在は、正多面体の存在によって制約される。4次元多面体の提案された名前は「ポリクロロン」である。^[11]${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$

それぞれは次の表現に依存する空間に存在します。

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$

${\displaystyle >0}$ : 超球面3次元ハニカムまたは4次元多面体

${\displaystyle =0}$ : ユークリッド3空間ハニカム

${\displaystyle <0}$ : 双曲型3空間ハニカム

これらの制約により、21 の形式が可能になります。そのうち 6 つは凸、10 つは非凸、1 つはユークリッド 3 空間ハニカム、4 つは双曲ハニカムです。

凸4次元多面体の オイラー特性 はゼロです。${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \chi =V+FEC=0}$

6 つの凸正則 4 次元多面体を以下の表に示します。これらの 4 次元多面体のオイラー特性(χ) はすべて 0 です。

3 次元球面の正規のタイル分割として、Di-4-トープとHoso-4-トープが存在します。

正則な4 次元多面体(2 つの面) には、{3,3,2}、{3,4,2}、{4,3,2}、{5,3,2}、{3,5,2}、{p,2,2} があり、それらの4 次元 多面体(2 つの頂点) には、{2,3,3}、{2,4,3}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,5,3}、{2,2, p } があります。形式 {2, p ,2} の 4 次元多面体は、{2,2, p }と同じです。また、2 面体セルと 4 面体頂点図形を持つ { p ,2, q }の場合もあります。

正多面体の星型 4 次元多面体は 10 個あり、シュレーフリ・ヘス 4 次元多面体と呼ばれます。これらの頂点は凸状の120 セル {5,3,3}と600 セル {3,3,5}に基づいています。

Ludwig Schläfli は、そのうちの 4 つを見つけ、最後の 6 つをスキップしました。セルまたは頂点図形 (ゼロホール トーラスの場合: F+V−E=2) でオイラー特性を満たさない形式を許可しなかったためです。エドムント・ヘス(1843–1903) は、ドイツ語の著書『Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder』(1883 年) で 10 件の完全なリストを完成させました。

これら 10 個の正星型 4 次元多面体には、直交投影として示される 4 つの一意のエッジ配置と 7 つの一意の面配置があります。

失敗した潜在的な正則星型 4 次元多面体の順列は 4 つあります: {3,5/2,3}、{4,3,5/2}、{5/2,3,4}、{5/2,3,5/2}。これらのセルと頂点図形は存在しますが、有限回数の繰り返しで超球面をカバーしません。

上記の16個の平面4次元多面体に加えて、18個の有限な歪んだ多面体があります。^[12]これらのうちの1つは、四次元方陣のペトリアルとして得られ、他の17個は、平面多面体と四次元方陣のペトリアルにカッパ演算を適用することによって形成されます。

5 次元多面体には、 が 4 面型、がセル型、が面型、 が面図形、が辺図形、 が頂点図形 である記号が付けられます。${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\}}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle \{s\}}$${\displaystyle \{r,s\}}$${\displaystyle \{q,r,s\}}$

頂点図形（5 次元多面体）は、各頂点に隣接する頂点の配置によって表される 4 次元多面体です。

5 次元多面体のエッジ図形は、各エッジの周りの面の配置によって表される多面体です。

面図形（5 次元多面体）は、各面の周囲のセルの配置によって表される多角形です。

正則 5 次元多面体は、 およびが正則 4 次元多面体である 場合にのみ存在します。${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{q,r,s\}}$

収まるスペースは次の式に基づいています。

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}$

${\displaystyle <1}$ : 球面4次元モザイクまたは5次元多面体

${\displaystyle =1}$ : ユークリッド4空間分割

${\displaystyle >1}$ : 双曲4次元タイル分割

これらの制約を列挙すると、3 つの凸多面体、星型多面体なし、ユークリッド 4 次元空間の 3 つのテッセレーション、およびパラコンパクト双曲型 4 次元空間の5 つのテッセレーションが生成されます。ランク 5 以上の非凸正多面体はスキューのみです。

5次元以上では、凸正多面体は3種類しかありません。^[13]

また、シュレーフリ記号の数字の一部が 2 になる不適切なケースもあります。たとえば、{p,q,r,...2} は、{p,q,r...} が正球多面体である場合は常に不適切な正球多面体であり、{2,...p,q,r} は、{...p,q,r} が正球多面体である場合は常に不適切な正球多面体です。このような多面体はファセットとして使用することもでき、{p,q,...2...y,z} などの形式が生成されます。

ランク 5 以上の通常の星型多面体は存在しません。ただし、より低いランクの星型多面体の星積によって作成される退化多面体(ホソトープやダイトープ など) は例外です。

射影正則( n +1)多面体は、元の正則n球面分割{p,q,...}が中​​心対称である場合に存在します。このような多面体はhemi-{p,q,...}と名付けられ、要素の数は半分になります。Coxeterは記号{p,q,...}/2を用い、McMullenはhをcoxeter数として{p,q,...} _h/2と書きます。^[14]

偶数辺の正多角形には、半2n角形の射影多角形 {2p}/2 があります。

5 つのプラトン立体のうち 4 つに関連する正射影多面体は4 つあります。

半立方体と半八面体は、任意のランクの半n立方体 と半n正方体として一般化されます。

6 つの凸正則 4 次元多面体のうち 5 つは、中心対称な射影 4 次元多面体を生成します。3 つの特殊なケースは、半 24 セル、半 600 セル、および半 120 セルです。

3 つの正球面多面体のうち、階数 5 以上で中心対称となるのは 2 つだけです。対応する正射影多面体は、正超立方体と正直交多面体の半バージョンです。階数 5 の場合、これらは以下の表に示されています。

アペイロトープまたは無限多面体は、無限に多くの面を持つ多面体です。n-アペイロトープは無限のn-多面体です。2-アペイロトープまたはアペイロゴンは無限多角形、3-アペイロトープまたはアペイロヘドロン は無限多面体などです。

アペイロトープには主に2つの幾何学的クラスがある: ^[15]

• n次元の正規ハニカム。n次元空間を完全に満たします。
• 高次の空間におけるn次元多様体を構成する、正則な歪んだアペイロトープ。

直線アペイロゴンは直線を規則的に並べたもので、直線を無限に等しい線分に分割する。無限に多くの頂点と辺を持つ。シュレーフリ記号は{∞}で、コクセター図は。

......

これは、 p が無限大に近づくにつれてp角形の極限として存在します。

双曲平面上のアペイロゴン、最も有名なのは正アペイロゴン、{∞} は、ユークリッド平面の有限多角形のような曲率を持つことができ、頂点は円ではなくホロサイクルまたはハイパーサイクルで囲まれます。

無限大に収束するようにスケールされた通常のアペイロゴンは、記号 {∞} を持ち、ホロサイクル上に存在しますが、より一般的にはハイパーサイクル上にも存在できます。

上記はポアンカレ円板モデルにおける 2 つの正則双曲アペロゴンで、右側は長さ λ で区切られた発散基本領域の垂直反射線を示しています。

2 次元の歪んだアペイロゴンは、平面上でジグザグ線を形成します。ジグザグが均一で対称的であれば、アペイロゴンは規則的です。

歪んだアペイロゴンは、任意の次元で構築できます。3 次元では、通常の歪んだアペイロゴンは螺旋状の渦巻きを描き、左巻きまたは右巻きになります。

平面には 3 つの規則的なモザイク模様があります。

不適当な正則なタイリングが 2 つあります。1 つは {∞,2}、つまり2 つのアペイロゴンから作られ、それぞれが平面の半分を埋めるアペイロゴン二面体です。もう 1 つはその双対である {2,∞}、つまり無限の平行線の集合として見られる アペイロゴン細面体です。

星型多角形の規則的な平面タイリングは存在しません。{8/3,8}、{10/3,5}、{5/2,10}、{12/5,12} など、平面 (1/ p + 1/ q = 1/2) に適合する列挙は多数ありますが、周期的に繰り返されるものはありません。

双曲 2 次元空間のタイル張りは双曲タイリングです。H ²には、無数の正のタイル張りがあります。前述のように、 1/ p  + 1/ q < 1/2となるすべての正の整数ペア { p , q } は双曲タイリングになります。実際、一般的なシュワルツの三角形( p ,  q ,  r ) では、1/ p  + 1/ q  + 1/ r < 1の場合も同じことが言えます。

双曲面を表示する方法はいくつかありますが、以下に示すように、平面を円にマッピングするポアンカレ円板モデルもその 1 つです。以下のタイリングのポリゴン面はすべて同じサイズで、適用された投影によりエッジの近くでのみ小さく見えることに注意してください。これは、カメラの魚眼レンズの効果と非常によく似ています。

双曲面の規則的なタイリングとして、{p,q} の形式をとり、p+q<pq/2 となる平坦な正規 3-アペイロトープ (アペイロヘドラ) が無限に存在します。

• {3,7}、{3,8}、{3,9} ... {3,∞}
• {4,5}、{4,6}、{4,7} ... {4,∞}
• {5,4}、{5,5}、{5,6} ... {5,∞}
• {6,4}、{6,5}、{6,6} ... {6,∞}
• {7,3}、{7,4}、{7,5} ... {7,∞}
• {8,3}、{8,4}、{8,5} ... {8,∞}
• {9,3}、{9,4}、{9,5} ... {9,∞}
• ...
• {∞,3}、{∞,4}、{∞,5} ... {∞,∞}

サンプル:

タイル {p, ∞} は、ポアンカレ円板モデルの端に理想的な頂点を持ちます。それらの双対 {∞, p} は理想的なアピロゴナル面を持ち、ホロサイクルに内接します。さらに進んで (上の表のように)、ポアンカレ円板の外側に、超サイクルに内接するタイルと双対である超理想的な頂点を持つタイルを見つけることもできます。上で {p, iπ/λ} と表記されているものでも、各超理想的な頂点の周りには無限個のタイルが収まります。^[16] (拡張双曲空間の平行線は理想的な点で交わり、超平行線は超理想的な点で交わります。) ^[17]

面または頂点図形が星型多角形である双曲型タイリングには、{ m /2, m } とその双対 { m , m /2}（m = 7, 9, 11, ....）の 2 つの無限形式があります。 ^[18] { m /2, m } タイリングは{ m , 3} タイリングの星型化であり、{ m , m /2} 双対タイリングは{3, m } タイリングのファセット化と{ m , 3} タイリングの拡大^[ii]です。

パターン { m /2, m } と { m , m /2}は、 m < 7の奇数に対して多面体として継続します。m = 5のときは、小星型十二面体と大十二面体が得られ、^[18] m = 3のときは四面体に退化します。他の 2 つのケプラー・ポアンソ多面体 (大星型十二面体と大二十面体) には、通常の双曲型タイリング類似体はありません。mが偶数の場合、{ m /2}の定義方法に応じて、他のタイリングの退化した二重被覆または複合タイリングのいずれかを得ることができます。

ユークリッド3次元空間には、平面を持つ3つの正三角形のアペイロヘドラがあります。 ^{[19] [20] [21]}これらは、 3つの凸型均一ハニカムと同じ頂点配置と辺配置を共有しています。

• 各頂点の周囲に6つの正方形: {4,6|4}
• 各頂点の周囲に4つの六角形: {6,4|4}
• 各頂点の周囲に6つの六角形: {6,6|3}

歪んだ面を考慮すると、ユークリッド3次元空間には24個の正アペイロヘドラが存在する。^[23]これらには、ユークリッドアペイロヘドラとの混合によって作成された12個のアペイロヘドラと、上記の3個を含む非自明な混合として表現できない12個の純粋なアペイロヘドラが含まれる。

純粋なアペイロヘドラは次のとおりです。

• {4,6|4}、ムクベ
• {∞,6} _4,4、ムクベのペトリアル
• {6,6|3}、ミューテトラヘドロン
• {∞,6} _6,3、四面体のペトリアル
• {6,4|4}、正八面体
• {∞,4} _6,4、正八面体の花弁
• {6,6} ₄、ムクベの半分
• {4,6} ₆ 、 {6,6} ₄のペトリアル
• {∞,4} _·,*3、μ八面体の歪み
• {6,4} ₆ 、 {∞,4} _·,*3のペトリアル
• {∞,3} ^(ア)
• {∞,3} ^{( b )}

コンパクト対称性またはパラコンパクト対称性を持つ双曲3次元空間には、凸面を持つ正三角形のアペイロヘドラが31個存在する。 ^[24]

• 14 個はコンパクトです: {8,10|3}、{10,8|3}、{10,4|3}、{4,10|3}、{6,4|5}、{4,6|5}、{10,6|3}、{6,10|3}、{8,8|3}、{6,6|4}、{10,10|3}、{6,6|5}、{8,6|3}、および {6,8|3}。
• 17 個はパラコンパクトです: {12,10|3}、{10,12|3}、{12,4|3}、{4,12|3}、{6,4|6}、{4,6|6}、{8,4|4}、{4,8|4}、{12,6|3}、{6,12|3}、{12,12|3}、{6,6|6}、{8,6|4}、{6,8|4}、{12,8|3}、{8,12|3}、および {8,8|4}。

3次元空間（ハニカム）の非退化正則タイル分割は{4, 3, 4}の1つだけである: ^[25]

6 つの不適当な正則タイル張りがあり、これらは 3 つの正則ユークリッド タイル張りに基づくペアです。それらのセルと頂点図形はすべて、正細面体{2,n}、二面体、{n,2}、およびユークリッド タイル張りです。これらの不適当な正則タイル張りは、切り捨て操作によって、角柱状の均一なハニカムと構造的に関連付けられます。これらは、オーダー2 のアピロゴナル タイル張りとアピロゴナル細面体の高次元類似体です。

双曲 3 次元空間には、平坦な正則ハニカムが 15 個あります。

• 4つはコンパクトです: {3,5,3}、{4,3,5}、{5,3,4}、{5,3,5}
• 11 個はパラコンパクトです: {3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。

双曲 3 次元空間のタイル分割は、双曲ハニカムと呼ばれます。H ³には 15 個の双曲ハニカムがあり、そのうち 4 個はコンパクト、11 個は準コンパクトです。

^{また、無限（ユークリッド）セルおよび/または頂点図形を持つパラコンパクト H 3}ハニカムが 11 個あります：{3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。

非コンパクトな解は、ローレンツ コクセター群として存在し、双曲空間（超理想頂点を持つ基本四面体）の開領域で視覚化できます。双曲セルまたは頂点図形を持ち、シュレーフリ記号に 2 を持たないすべてのハニカムは、非コンパクトです。

^{H 3}には正則な双曲型星型ハニカムは存在しません。正則な星型多面体をセル、頂点図形、またはその両方として持つすべての形式は、最終的に球形になります。

理想頂点は、頂点図形がユークリッドタイリングのときに出現し、球面ではなくホロスフィアに内接可能になります。これらは理想セル (有限多面体ではなくユークリッドタイリング) の双対です。シュレーフリ記号の最後の数字がさらに大きくなると、頂点図形は双曲的になり、頂点は超理想になります (そのため、辺は双曲空間内で交わりません)。ハニカム {p, q, ∞} では、辺はポアンカレ球と 1 つの理想点でのみ交差し、残りの辺は超理想になります。さらに続けると、ハニカムと基本単体の両方で完全に超理想な辺になります (ただし、そのような辺では、依然として無限に多くの {p, q} が交わります)。一般に、シュレーフリ記号の最後の数が∞になると、余次元2の面はポアンカレ超球面と1つの理想的な点でのみ交差する。^[16]

ユークリッド 4 次元空間を分割できる 無限正多面体 (ハニカム) には、次の 3 種類があります。

また、{4,3,4,2} と {2,4,3,4} という 2 つの不適切なケースもあります。

ユークリッド4次元空間には3つの平坦な正則ハニカムが存在する: ^[25]

• {4,3,3,4}、{3,3,4,3}、{3,4,3,3}。

双曲的4次元空間には7つの平坦な正凸ハニカムが存在する: ^[18]

• 5 はコンパクトです: {3,3,3,5}、{5,3,3,3}、{4,3,3,5}、{5,3,3,4}、{5,3,3,5}
• 2つはパラコンパクトです: {3,4,3,4}、および {4,3,4,3}。

双曲4次元空間には4つの平坦な正星型ハニカムが存在する: ^[18]

• {5/2,5,3,3}、{3,3,5,5/2}、{3,5,5/2,5}、および {5,5/2,5,3}。

^{H4空間には7つの凸状の正則}ハニカムと4つの星型ハニカムがある。^[26]そのうち5つはコンパクトで、2つは準コンパクトである。

^{H 4}の 5 つのコンパクトな規則的なハニカム:

2つのパラコンパクト正則H ⁴ハニカムは、{3,4,3,4}、{4,3,4,3}です。

非コンパクトな解は、ローレンツ コクセター群として存在し、双曲空間の開領域で視覚化できます (基本的な 5 セルには、無限大を超えるとアクセスできない部分があります)。以下の表に示されておらず、シュレーフリ記号に 2 が付いていないハニカムはすべて非コンパクトです。

^{H 4}空間には 4 つの規則的な星型ハニカムがあり、すべてコンパクトです。

ユークリッド5次元空間には、平坦な正則ハニカムが1つだけ存在する。（上ではタイル状と記載）^[25]

• {4,3,3,3,4}

双曲的5次元空間には、5つの平坦な正則ハニカムがあり、すべてパラコンパクトである。（上ではタイル状配置として挙げている）^[18]

• {3,3,3,4,3}、{3,4,3,3,3}、{3,3,4,3,3}、{3,4,3,3,4}、{4,3,3,4,3}

超立方ハニカムは、各稜線の周囲に 4 つの超立方体ファセットで形成された 5 次元以上の各次元をモザイク状に分割できる唯一の通常のハニカム ファミリです。

E ⁵には、不適切なケース {4,3,3,4,2}、{2,4,3,3,4}、{3,3,4,3,2}、{2,3,3,4,3}、{3,4,3,3,2}、および {2,3,4,3,3} もあります。 E ⁿでは、{4,3 ⁿ⁻³ ,4,2} および {2,4,3 ⁿ⁻³ ,4} は常に不適切なユークリッド分割です。

^{H 5}には 5 つの正則ハニカムがあり、すべて超コンパクトで、無限 (ユークリッド) 面または頂点図形 ({3,4,3,3,3}、{3,3,4,3,3}、{3,3,3,4,3}、{3,4,3,3,4}、{4,3,3,4,3}) が含まれます。

5 次元以上の双曲空間にはコンパクトな正則分割は存在せず、6 次元以上の双曲空間には準コンパクトな正則分割は存在しません。

n ≥ 5 の場合、潜在的なセルまたは頂点図形である可能性のある通常の星型n多面体は存在しないため、 n ≥ 5の場合、H ⁿ には双曲型星型ハニカムは存在しません 。

6次元以上の双曲空間には、通常のコンパクトまたはパラコンパクトの分割は存在しない。しかし、上記でカバーされていない{p,q,r,s,...}形式のシュレーフリ記号（p,q,r,s,... 2以上の自然数、または無限大）は、双曲n空間の非コンパクトな分割を形成する。^[16]

抽象多面体は、多面体をそれらが埋め込まれている幾何学的空間から切り離して研究する試みから生まれました。これには、球面、ユークリッド空間、双曲空間、およびその他の多様体のモザイク化が含まれます。1 より大きい階数には無限に存在します。サンプルについては、このアトラスを参照してください。このリストの他の場所には表示されない抽象的な正多面体の注目すべき例としては、11 セル、{3,5,3}、および57 セル、{5,3,5} があり、これらはセルと頂点図形として正射影多面体を持ちます。

抽象多面体の要素は、その本体 (最大要素)、面、辺、頂点、およびヌル多面体または空集合です。これらの抽象要素は、通常の空間にマッピングすることも、幾何学的図形として実現することもできます。抽象多面体には、整形式または忠実な実現を持つものもあれば、そうでないものもあります。旗は、各ランクの要素の接続されたセットです。多面体の場合は、本体、面、面の辺、辺の頂点、およびヌル多面体です。抽象多面体は、その組み合わせ対称性が旗上で推移的である場合、つまり、多面体の対称性の下で任意の旗を他の任意の旗にマッピングできる場合、正則であると言われます。抽象正則多面体は、現在も活発な研究分野です。

忠実かつ対称的に実現できないこのような5つの正多面体は、HSM Coxeterの著書Regular Polytopes (1977) で特定され、またJM Willsの論文「指数2の組み合わせ正多面体」(1987) でも特定されました。^{[27]これらはすべて位相的に}トーラスと同等です。各頂点の周りにn個の面を配置することによるそれらの構築は、双曲面のタイリングとして無限に繰り返すことができます。下の図では、双曲タイリング画像の色は多面体画像の色に対応しています。

これらは次のように二重のペアとして発生します。

• 中心菱形三十面体と十二十二面体は互いに双対です。
• 正三角形の二十面体と正三角形の十二面体は互いに双対です。
• 発掘された十二面体は自己双対である。

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