準結晶と幾何学

『準結晶と幾何学』は、マージョリー・セネシャルによる準結晶と非周期的タイリングに関する本で、1995年にケンブリッジ大学出版局から出版されました（ ISBN 0-521-37259-3）。 ^{[1] [2] [3] [4] [5]} 

この本の主なテーマの1つは、ペンローズタイリングなどの非周期的タイリングの数学的特性、特にこれらのタイリング全体にわたる5方向回転対称性の任意の大きなパッチの存在が、ブラッグピークの5方向対称性を含む準結晶の特性とどのように対応しているかを理解することです。どちらの種類の対称性も、従来の周期的タイリングや周期的結晶構造では不可能であり、これらのトピックの相互作用により、1960年代から1990年代にかけて、数学と結晶学の両方で新しい発展と新しい基本的定義が生まれました。^[3]

この本は2部に分かれています。第1部では、結晶学の歴史、回折パターン上に形成されるブラッグピークを通して結晶構造を研究するためのX線回折の使用、および1980年代初頭の準結晶の発見について説明します。準結晶は、繰り返し結晶構造では不可能な5方向対称のパターンでブラッグピークを形成する物質です。物質内の原子の配置をデローン集合（平面またはユークリッド空間内の、間隔が近すぎず離れすぎない点の集合）によってモデル化し、X線回折の数学的および計算的問題とデローン集合からの回折スペクトルの構築について説明します。最後に、高次元格子の境界付きサブセットを低次元空間に射影することによって、ブラッグピークを持つデローン集合を構成する方法について説明します。^{[2]この内容は、純粋数学の奥深いテーマである}スペクトル理論やエルゴード理論 とも深い関係があるが、これらのテーマの専門家でない人にも理解しやすいように省略されている。^[3]

ブラッグピークを持つデローネ集合を構築する別の方法は、ペンローズタイリングなどの特定の非周期タイリングの頂点を点として選択することです。^[2]（風車タイリングなど、回折パターンにおける離散ピークの存在があまり明確でない他の非周期タイリングも存在します。）^[1]この本の第2部では、高次元格子の投影や階層構造を持つ再帰的構成など、これらのタイリングを生成する方法について説明し、これらの方法で構築されたタイリングに存在することが示される長距離パターンについて説明します。^[2]

この本には、回折パターンとペンローズタイリングを生成するためのソフトウェアと、既知の非周期タイリングの回折パターンの「図解アトラス」が含まれています。^[4]

準結晶の発見は、高温に耐え、表面を非粘着性にしたり、その他の有用な材料特性を持つ材料への応用を直ちに急がせたが、この本はより抽象的で数学的であり、物理的な材料ではなく準結晶の数学的モデルに関するものである。それでも、化学者のイシュトヴァン・ハルギタイは、この本は「数学、物理学、材料科学、結晶学の学生や研究者」にとって興味深く読めると書いている。^[5]

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