凸正多角形によるユークリッドタイル張り

ユークリッド平面 を凸正多角形にタイル張りする手法は、古代から広く使われてきました。最初の体系的な数学的処理は、ケプラーの著書『世界の調和』（ラテン語：『世界の調和』、1619年）で行われました。

ユークリッドタイリングは、通常、カンディとロレットの表記法にちなんで名付けられます。^[1]この表記法は、(i) 頂点の数、(ii) 各頂点の周りの多角形の数（時計回りに配置）、(iii) 各多角形の辺の数を表します。たとえば、3 ⁶ ; 3 ⁶ ; 3 ⁴ .6 は、2 つの異なる頂点タイプを持つ 3 つの頂点があることを示しているため、このタイリングは「3 均一（2 頂点タイプ）」タイリングとして分類されます。分解すると、3 ⁶ ; 3 ⁶（両方とも異なる推移性クラス）、または (3 ⁶ ) ^{2 は}、それぞれ 6 つの正三角形（三角形）を持つ 2 つの頂点（上付き文字の 2 で示される）があることを示しています。最後の頂点 3 ⁴ .6 では、さらに 4 つの連続した正三角形と 1 つの正六角形になります。

しかし、この表記法には、あいまいな適合性と一意性に関連する 2 つの主な問題があります^[2]まず、k 均一タイリングの場合、表記法では頂点間の関係が説明されません。これにより、表記法だけでは覆われた平面を生成することが不可能になります。次に、一部のテッセレーションは同じ命名法を使用しており、非常に似ていますが、六角形の相対的な位置が異なることがわかります。したがって、2 番目の問題は、この命名法が各テッセレーションに対して一意ではないことです。

これらの問題を解決するために、GomJau-Hoggの表記法^[3]は、 2012年に発表された、テッセレーションと二重層グリッドの生成と命名法に関する研究と表記法^{[2]をわずかに修正したバージョンです。無料のオンラインアプリケーションであるAntwerp v3.0 [4]は}、GomJau-Hoggの表記法から直接得られる一連の形状配置段階と反復的な回転および反射操作を通じて、正多角形タイリングの無限生成を可能にします。

Grünbaumと Shephard (セクション 1.3)に従うと、タイリングの対称群がタイリングのフラグに推移的に作用する場合、タイリングは正則であると言われます。ここで、フラグは、タイリングの相互に接する頂点、辺、タイルからなる 3 つ組です。つまり、フラグのすべてのペアに対して、最初のフラグを 2 番目のフラグにマッピングする対称操作があります。これは、タイリングが合同な正多角形による辺から辺までのタイリングであることと同等です。頂点には6 つの正三角形、4 つの正方形、または 3 つの正六角形があり、 3 つの正則なテッセレーションが生成されます。

C&R: Cundy & Rollet の記法
GJ-H: GomJau-Hogg の記法

頂点推移性とは、すべての頂点のペアに対して、最初の頂点を2番目の頂点にマッピングする対称操作が存在することを意味します。 ^[5]

フラグ推移性の要件を頂点推移性の要件に緩和し、タイリングがエッジツーエッジであるという条件を維持すると、アルキメデス、ユニフォーム、または半正則タイリングと呼ばれる 8 つの追加のタイリングが可能になります。3 ^{4 .6 (スナブ六角形) タイリングには 2 つの}鏡像(エナンチオモルフィックまたはキラル) 形式がありますが、次の表にはそのうちの 1 つだけが示されていることに注意してください。その他のすべての正則および半正則タイリングはアキラルです。

C&R: Cundy & Rollet の表記法
GJ-H: GomJau-Hogg の表記法

Grünbaum と Shephard は、これらのタイリングの記述を、各頂点の周りのタイルの配置が同じであるというローカルな特性のみを指すアルキメデス的と、頂点の推移性というグローバルな特性を指す均一的と区別しています。これらは平面内で同じタイリング セットを生成しますが、他の空間では均一ではないアルキメデス的タイリングが存在します。

正凸多角形の組み合わせは17種類あり、21種類の平面頂点タイリングを形成します。^{[6] [7]これらの多角形は、隙間や重なりがなく、1点で出会います。}頂点の数でリストすると、6つの多角形が1つ、5つの多角形が3つ、4つの多角形が7つ、3つの多角形が10つあります。^[8]

そのうちの3つは規則的なタイリング（6 ^3、4 4、3 6 ）を作ることができ、さらに8つは半規則的なタイ^リングまたはアルキメデスのタイリング（3.12.12、4.6.12、4.8.8、（3.6）^{2、3.4.6.4、3.3.4.3.4、3.3.3.4.4、3.3.3.3.6 ）を作る}ことができます。そのうち4つは高k均一タイリングに存在できます（3.3.4.12、3.4.3.12、3.3.6.6、3.4.4.6）。一方、6つは隙間や重なりのない正多角形で平面を完全にタイリングするために使用することはできません。不規則な多角形が含まれている場合にのみ、空間を完全にテッセレーションします（3.7.42、3.8.24、3.9.18、3.10.15、4.5.20、5.5.10）。^[9]

このような周期的なタイリングは、頂点、辺、タイルの軌道の数によって分類できます。頂点の軌道がk個ある場合、タイリングはk均一またはk等角と呼ばれます。タイルの軌道がt個ある場合はt等面体、辺の軌道がe個ある場合はe等角体と呼ばれます。

同じ頂点図形を持つk均一タイリングは、壁紙群の対称性によってさらに識別できます。

1-ユニフォームタイリングには、2種類以上の正多角形面を持つ3つの正則タイリングと8つの半正則タイリングが含まれます。2-ユニフォームタイリングは20、3-ユニフォームタイリングは61、4-ユニフォームタイリングは151、5-ユニフォームタイリングは332、6-ユニフォームタイリングは673あります。それぞれは、異なる頂点図形の数mでグループ化することができ、 m-アルキメデスタイリングとも呼ばれます。 ^[10]

最後に、頂点の種類の数が均一性と同じ場合 (以下、 m = k )、タイリングはKrotenheerdtであると言われます。一般に、均一性は頂点の種類の数以上です ( m ≥ k )。これは、異なる種類の頂点は必然的に異なる軌道を持ちますが、その逆は当てはまらないためです。m = n = kと設定すると、n = 1 の場合は 11 個のタイリング、 n = 2の場合は 20 個のタイリング、n = 3 の場合は 39 個のタイリング、 n = 4の場合は 33 個のタイリング、n = 5 の場合は 15 個のタイリング、 n = 6の場合は 10 個のタイリング、n = 7 の場合は 7 個のタイリングがあります。

以下は 3 均一タイリングの例です。

ユークリッド平面には20の2-均一タイリングがあります。（ 2-等角タイリングまたは半正則タイリングとも呼ばれます）^{[5] ：62-67  [14] [15]}それぞれに頂点タイプがリストされています。2つのタイリングが同じ2つの頂点タイプを共有する場合、下付き文字1、2が与えられます。

k均一タイリングは 6 まで列挙されています。ユークリッド平面の 6 均一タイリングは 673 個あります。Brian Galebach 氏の検索では、6 つの異なる頂点タイプを持つ 10 個の 6 均一タイリングの Krotenheerdt 氏によるリストが再現され、さらに 5 種類の頂点タイプを持つものが 92 個、4 種類の頂点タイプを持つものが 187 個、3 種類の頂点タイプを持つものが 284 個、2 種類の頂点タイプを持つものが 100 個見つかりました。

古いkユニフォームタイリングから新しいkユニフォームタイリングを生成する方法は多数あります。たとえば、2 ユニフォーム[3.12.12; 3.4.3.12]タイリングは正方格子を持ち、4(3-1) ユニフォーム [343.12; (3.12 ² )3] タイリングはスナブ正方格子を持ち、5(3-1-1) ユニフォーム [334.12; 343.12; (3.12.12)3] タイリングは細長い三角格子を持つことに注目してください。これらの高次のユニフォームタイリングは同じ格子を使用しますが、より複雑です。これらのタイリングのフラクタル化基底は次のとおりです。^[16]

辺の長さは係数 だけ拡大されます。 ${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$

これは、対応する拡大縮小を伴って、切頂三角タイルを基底として同様に行うことができます。 ${\displaystyle 3+{\sqrt {3}}}$

凸型正多角形は、エッジからエッジまでではない平面タイリングを形成することもできます。このようなタイリングは、隣接する同一直線上のエッジを持つ非正多角形としてエッジからエッジまでと見なすことができます。

等角形には 7 つのファミリーがあり、各ファミリーには、隣接するタイルの辺の重なり、または異なるタイルの辺の長さの比率を決定する実数値パラメータがあります。ファミリーのうち 2 つは、プログレッシブまたはジグザグの位置にあるシフトされた正方形から生成されます。Grünbaum と Shephard はこれらのタイリングを均一と呼んでいますが、これは、端から端までの正多角形を必要とする Coxeter の均一性の定義と矛盾しています。^[17]このような等角形のタイリングは、実際には均一なタイリングと位相的に同一ですが、幾何学的比率が異なります。

• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1977). 「正多角形によるタイリング」. Math. Mag . 50 (5): 227–247. doi :10.2307/2689529. JSTOR  2689529.
• Grünbaum, Branko; Shephard , GC (1978)。「平面における91種類の等角タイル張り」。Trans . Am. Math. Soc . 252 : 335–353。doi : 10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3。MR  0496813 。
• デブロイ、I。ランデュイト、F. (1981)。 「等推移的なエッジ間タイリング」。ジオメトリエ・デディカタ。11 (1): 47-60。土井：10.1007/BF00183189。S2CID  122636363。
• グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC (1987)。『タイルとパターン』。WHフリーマンアンドカンパニー。ISBN 0-7167-1193-1。
• Ren, Ding; Reay, John R. (1987). 「アルキメデス平面タイリングにおける境界特性とピックの定理」J. Comb. Theory A . 44 (1): 110–119. doi :10.1016/0097-3165(87)90063-X.
• Chavey, D. (1989). 「正多角形によるタイリング - II: タイリングのカタログ」 .コンピュータと数学の応用. 17 : 147–165. doi :10.1016/0898-1221(89)90156-9.
• 空間の秩序: デザインソースブック、キース・クリッチロー、1970年ISBN 978-0-670-52830-1 
• サマービル、ダンカン・マクラーレン・ヤング (1958) 。n次元幾何学入門。ドーバー出版。第10章 正多面体
• Préa, P. (1997). 「アルキメデスのタイリングにおける距離シーケンスとパーコレーション閾値」. Mathl. Comput. Modelling . 26 (8–10): 317–320. doi :10.1016/S0895-7177(97)00216-1.
• Kovic, Jurij (2011). 「プラトン立体とアルキメデス立体の対称型グラフ」. Math. Commun . 16 (2): 491–507.
• ペリサー、ダニエル; ウィリアムズ、ゴードン ( 2012 )。「アルキメデスのタイルの最小被覆、パート 1」。電子組合せ論ジャーナル。19 (3​​): #P6。doi : 10.37236/2512。
• デール・シーモアとジル・ブリットン、テッセレーション入門、1989年、ISBN 978-0866514613、pp. 50–57 

ユークリッドおよび一般的なタイリング リンク:

• n ユニフォーム タイリング、ブライアン ゲイルバッハ
• Dutch, Steve. 「Uniform Tilings」。2006 年 9 月 9 日のオリジナルからアーカイブ。2006年 9 月 9 日閲覧。
• Mitchell, K.「半正規タイル」 。2006年 9 月 9 日閲覧。
• Weisstein、Eric W.「テッセレーション」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「半正規テッセレーション」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「Demiregular tessellation」。MathWorld。