五角形のタイル

幾何学において、五角形タイル張りとは、個々のピースが五角形の形状になっている平面のタイル張りのことです。

正五角形 の内角108 °は、1回転の角度である360°の約数ではないため、ユークリッド平面上で正五角形を敷き詰めることは不可能である。しかし、正五角形は、各頂点の周りに4つ（またはそれ以上）の五角形を配置して双曲平面を敷き詰めたり、3つの五角形を配置して球面を敷き詰めたりすることができる。後者は、位相的に十二面体と同等の敷き詰めを生成する。 [ 1 ^]

平面を単面体（つまり1種類のタイル）で敷き詰める凸五角形は15種類知られています。^[2]最も新しいものは2015年に発見されました。このリストはRao（2017）によって完全であることが示されました（結果は査読対象）。Bagina（2011）は、エッジからエッジまでの凸型は8種類しかないことを示しましたが、これはSugimoto（2012）によって独立して得られた結果です。

リヨン高等師範学校のマイケル・ラオは、2017年5月に、これらの15種類を超える凸五角形は実際には存在しないという証明を発見したと主張した。^[3] 2017年7月11日の時点で、ラオの証明の前半は、ピッツバーグ大学の数学教授であるトーマス・ヘイルズによって独立して検証されていました（コンピュータコードは利用可能^{[4] ）。 [5]} 2017年12月時点で、証明はまだ完全に査読されていませんでした。

列挙された各タイリング ファミリには、他のタイプに属さない五角形が含まれていますが、個々の五角形の中には複数のタイプに属するものもあります。さらに、既知のタイリング タイプ内の五角形の中には、そのタイプのすべてのメンバーが示す標準的なタイリング以外の代替タイリング パターンを許可するものもあります。

長さa、b、c、d、eの辺は、それぞれ頂点A、B、C、D、Eの角度から時計回りに直接回転します。(したがって、 A、B、C、D、E は、それぞれd、e、a、b、cと反対側にあります。)

これらの単面体タイルの種類の多くには自由度があります。これらの自由には、内角と辺の長さの変化が含まれます。極限では、辺の長さが 0 に近づいたり、角度が 180° に近づいたりすることがあります。タイプ 1、2、4、5、6、7、8、9、および 13 では、非凸プロトタイプでパラメトリックな可能性が認められます。

周期的タイリングは壁紙群の対称性によって特徴付けられます。たとえば、p2 (2222) は4 つの 2 倍回転点によって定義されます。この命名法は以下の図で使用されており、タイルも対称性内の k等面体位置によって色分けされています。

プリミティブ ユニットは、変換のみを使用してタイリング全体を生成する、可能な限り小さいタイリングのセクションです。

ラインハルト (1918) は、最初の 5 種類の五角形タイルを発見しました。5 種類すべてで等面体タイルを作成できます。つまり、タイルの対称性により、任意のタイルを他の任意のタイルに移動できます (より正式には、自己同型群は タイルに 推移的に作用します)。

B. グリュンバウムと GC シェパードは、彼らの分類体系によれば、平面を五角形によって等面体状に並べる「タイプ」が正確に 24 種類あることを示した。^[6]すべてラインハルトのタイルを使い、通常はタイル張りに必要な追加条件を課す。タイプ 2 のタイルをすべて使ったタイル張りが 2 つあり、他の 4 つのタイプをすべて使ったタイル張りが 1 つある。他の 18 のタイル張りのうち 15 はタイプ 1 のタイルの特殊なケースである。24 のタイル張りのうち 9 つはエッジツーエッジである。^[7]

また、タイプ 1、タイプ 2、タイプ 4 のタイルの特殊なケースによる 2 等面体タイリング、およびタイプ 1 のタイルの特殊なケースによる 3 等面体タイリング (すべてエッジツーエッジ) もあります。タイプ 1 とタイプ 2 の両方である特定のタイルによる k 等面体タイリングの k には上限がなく、したがってプリミティブ ユニット内のタイルの数にも上限はありません。

各タイルの壁紙群の対称性が、括弧内のオービフォールド表記とともに示されます。タイルのキラリティーが存在する場合、鏡像が別個であると見なされ、2 番目に低い対称性群が示されます。これらの場合、これらは黄色と緑のタイルで表示されます。

タイプ 1 の五角形を含むタイリング トポロジは多数あります。以下に 5 つのトポロジの例を示します。

これらのタイプ 2 の例は等面体です。2 番目はエッジツーエッジのバリエーションです。どちらも pgg (22×) 対称性を持っています。鏡像タイル (黄色と緑) が異なると見なされる場合、対称性は p2 (2222) です。

カーシュナー (1968) はさらに 3 種類の五角形タイルを発見し、合計は 8 種類になりました。彼はこれが平面をタイルできる五角形の完全なリストであると誤って主張しました。

これらの例は 2 同面体で、エッジツーエッジです。タイプ 7 と 8 には、タイルのキラル ペアがあり、1 つは黄緑色のペア、もう 1 つは 2 色の青で色付けされています。キラル ペアが別個であると見なされる場合、pgg 対称性は p2 に縮小されます。

1975年、リチャード・E・ジェームズ3世は、サイエンティフィック・アメリカン誌1975年7月号のマーティン・ガードナーの「数学ゲーム」コラム（ガードナー（1988）に再掲載）でカーシュナーの結果について読んだ後、9番目のタイプを発見した。^[8]これはタイプ10として索引付けされている。タイリングは3等面体で、端から端までではない。

アマチュア数学者のマージョリー・ライスは、1976年と1977年に4つの新しいタイプの五角形を発見しました。 ^{[7] [9]}

4 つのタイルはすべて 2 同面体です。タイルのキラル ペアは、1 つの同面体セットでは黄色と緑色で、もう 1 つのセットでは 2 色の青で色付けされています。キラル ペアが別個であると見なされる場合、pgg 対称性は p2 に縮小されます。

タイプ 9 のタイルによるタイリングは端から端までですが、他のタイルは端から端までではありません。

各プリミティブ ユニットには 8 つのタイルが含まれます。

14番目の凸五角形は1985年にロルフ・スタインによって発見されました。^[10]

タイル張りは 3 等面体で、エッジからエッジまでではありません。タイルは完全に決定されており、自由度はありません。正確な比率は によって指定され、角B はに対して鈍角です。その他の関係は簡単に推測できます。 ${\displaystyle {\frac {b}{a}}={\sqrt {\frac {11{\sqrt {57}}-25}{8​​}}}}$ ${\displaystyle \sin(B)={\frac {{\sqrt {57}}-3}{8}}}$

プリミティブユニットにはそれぞれ6つのタイルが含まれます。p2（2222）対称性を持ちます。

ワシントン大学ボセル校の数学者、ケーシー・マン、ジェニファー・マクラウド・マン、デビッド・フォン・デラウは、2015年にコンピュータアルゴリズムを使用して15番目の単面体タイリング凸五角形を発見しました。^{[11] [12]}これは3同面体で、辺と辺が接しておらず、6色（3色の2階調）で描かれ、3つの同面体位置のキラルペアを表しています。キラルペアが異なると見なされる場合、pgg対称性はp2に縮小されます。これは完全に決定されたタイルを持ち、自由度はありません。基本単位には12個のタイルが含まれます。これはpgg（22×）対称性を持ち、キラルペアが異なると見なされる場合はp2（2222）です。

2017 年 7 月、マイケル・ラオは、平面を敷き詰めることができる凸五角形は他には存在しないことを示すコンピューター支援による証明を完成させました。平面を敷き詰めることができる凸多角形の完全なリストには、上記の 15 個の五角形、3 種類の六角形、およびすべての四角形と三角形が含まれています。^[5] この証明の結果、上記のすべての種類で周期的な敷き詰めが可能であるため、平面を非周期的にのみ敷き詰める凸多角形は存在しないことになります。

非周期的な単面五角形のタイルも構築できます。マイケル・ヒルシュホーンによる6回回転対称性の例を以下に示します。角度は、A = 140°、B = 60°、C = 160°、D = 80°、E = 100°です。^{[13] [14]}

2016年にベルンハルト・クラーセンは、あらゆる離散回転対称性のタイプは、同じクラスの五角形からの単面五角形のタイリングで表すことができることを示しました。^{[15] 5倍対称性と7倍対称性の例を以下に示します。このようなタイリングは、} n >2の任意のタイプのn倍回転対称性で可能です。

5 価頂点を持つユニフォーム タイリングのデュアルとして生成される等面体五角形タイリングが 3 つあります。これらは、上記の 15 個の単面体タイリングの特殊な高対称ケースを表します。ユニフォーム タイリングとそのデュアルはすべてエッジツーエッジです。これらのデュアル タイリングは、 Laves タイリングとも呼ばれます。ユニフォーム デュアル タイリングの対称性は、ユニフォーム タイリングと同じです。ユニフォーム タイリングは等角であるため、デュアルは等面体です。

価数 5 の頂点を持つk均一タイリングにも五角形デュアルタイリングがあり、上記の半正則デュアルと同じ 3 つの形状の五角形が含まれていますが、五角形の種類が混在しています。k均一タイリングにはk等面体デュアルタイリングがあり、以下のように異なる色と色合いで表されます。

例えば、これらの2、3、4、5の均一な双対はすべて五角形である：^{[18] [19]}

五角形は六角形と特別な関係があります。以下の図に示すように、一部のタイプの六角形は五角形に細分化できます。たとえば、正六角形は 2 つのタイプ 1 の五角形に二分されます。凸六角形は、3 つ (タイプ 3)、4 つ (タイプ 4)、および 9 つ (タイプ 3) の五角形に細分化することもできます。

この関係を拡張すると、平面を単一の五角形の原形図形でテッセレーションして、六角形のオーバーレイを生成することができます。例:

凸型である必要のない五角形であれば、他の種類のタイリングも可能です。一例として、五角形の爬虫類タイルで形成される非周期的なタイリングであるスフィンクスタイリングがあります。^[20]スフィンクスは、2つのスフィンクスタイルを合わせて平行四辺形を形成し、この平行四辺形を平行移動させて平面をタイリングすることにより、平面を周期的にタイリングすることもできます。 ^{[20]このパターンは、連続する2つの角度を足すと}2πになる、凸型でない五角形に拡張できます。

正三角形を、三角形の中心で交わる3つの合同な非凸五角形に分割し、結果として得られる3つの五角形ユニットで平面をタイル張りすることができます。 ^[21] 同様の方法を使用して、正方形を4つの合同な非凸五角形に、または正六角形を6つの合同な非凸五角形に分割し、結果として得られるユニットで平面をタイル張りすることもできます。

正十二面体は、球面の表面に12個の五角形を規則的に並べたものとみなされ、シュレーフリ記号は{5,3}で、各頂点の周りに3つの五角形があります。

また、2つの半球による退化したタイリングを考え、その間にある大円を5つの等しい円弧に分割し、シュレーフリ記号{5,2}を持つ五角形のタイリングとして考えることもできます。

双曲平面では、に対して任意の内角 を持つ正五角形を作成できます。 結果として得られる五角形は、各頂点の周りに五角形を配置して、平面を規則的に並べます。 たとえば、次数 4 の五角形タイリング{5,4} では、各頂点の周りに 4 つの直角五角形があります。 極限ケースは、理想的な正五角形によって生成される無限次五角形タイリング{5,∞} です。 これらの五角形は、角度が 0 に等しい 理想的な点を頂点としています。${\displaystyle 2\pi /n}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle n}$

双曲面には、等角不規則五角形の面を持つ二重均一タイリングが無数に存在します。それらの面構成はV3.3. p .3. qです。

バイナリタイリングの一種で、タイルがホロサイクルの弧ではなく双曲線分で囲まれているものは、対称群が1次元ではあっても2次元ではあり得ないという意味で非周期的でなければならない五角形タイリングを形成します。^[22]

ウィキメディア・コモンズには、五角形のタイルに関連するメディアがあります。

• ワイスシュタイン、エリック W.、「ペンタゴンタイリング」、MathWorld
• 五角形のタイル
• 平面を敷き詰める14の五角形
• 15 (単面体) k-等面体カラーリングによる凸五角形タイルのタイリング
• 14番目の五角形タイプのタイリングを表示するコード
• 15番目の五角形タイプのタイリングを表示するコード