アニョン

物理学 において、アニオンは準粒子の一種であり、これまでのところ2次元系でのみ観測されている。3次元系では、フェルミオンとボソンの2種類の素粒子しか観測されない。アニオンは、フェルミオンとボソンの中間の統計的性質を持つ。^{[ 1 ]}一般に、 2つの同一粒子を交換する操作は、全体的な位相シフトを引き起こす可能性があるが、観測量には影響を与えない。アニオンは一般に、アーベル型または非アーベル型に分類される。2020年に2つの実験で検出されたアーベル型アニオン^{[ 2 ]}は、分数量子ホール効果において重要な役割を果たす。

大規模な多体システムの統計力学は、マクスウェル・ボルツマン統計によって記述される法則に従います。量子統計は、フェルミオンとボソンと呼ばれる2種類の粒子の振る舞いが異なるため、より複雑です。しかし、2次元システムには、アニオンと呼ばれる3番目の種類の粒子が存在します。

私たちが住む三次元の世界には、互いに反発し合う「フェルミオン」と、互いにくっつき合う「ボソン」という2種類の粒子しか存在しません。よく知られているフェルミオンは電気を運ぶ電子であり、よく知られているボソンは光を運ぶ光子です。しかし、二次元の世界には、フェルミオンともボソンとも異なる振る舞いをする、アニオンという別の種類の粒子が存在します。

二次元の世界では、2つの同一のアニオンが位置を交換すると、三次元物理学では起こり得ない方法で波動関数が変化する。

2次元では、同一の粒子を2回交換することは、そのままにしておくこととは等価ではありません。2 回交換した後の粒子の波動関数は、元の波動関数とは異なる可能性があります。このような異常な交換統計を持つ粒子は、アニオンとして知られています。対照的に、3次元では、粒子を2回交換しても波動関数は変化しないため、2つの可能性しか残されていません。1つは、1回の交換後も波動関数が同じままのボソン、もう1つは、交換によって波動関数の符号だけが変わるフェルミオンです。

同一の粒子を交換したり、ある粒子を別の粒子の周りを回したりするこのプロセスは、「編み込み」と呼ばれます。2 つのアニオンを編み込むと、そのイベントの履歴が記録されます。なぜなら、それらの変化した波動関数が編み込みの数を記録するからです。^{[ 5 ]}

マイクロソフトは、トポロジカル量子コンピューティングの潜在的な基盤としてアニオンに関する研究に投資している。^{[ 6 ]}アニオンは、メモリの一形態として量子コンピューティングで有用である可能性がある。^{[ 6 ]}互いに周回する（「編み込み」）アニオンは、他の既知の潜在的な量子コンピューティング技術よりも堅牢な方法で情報を符号化するだろう。^{[ 7 ]}しかし、量子コンピューティングへの投資のほとんどは、アニオンを使用しない方法に基づいている。^{[ 7 ]}

物理学における多くの深遠な概念と同様に、アニオンの位相幾何学的基礎はディラックにまで遡ることができる。

1977年、オスロ大学で研究していた2人の理論物理学者、ジョン・マグネ・レイナースとヤン・ミルハイムは、粒子が2次元のみで運動するように制限された場合、フェルミオンまたはボソンという従来の粒子の分類は適用されないことを示した。^{[ 9 ]}ボソンでもフェルミオンでもない仮説上の粒子は、これまで予想されていなかった多様な特性を示すことが期待される。1982年、フランク・ウィルチェックは、2次元の準粒子の分数統計を探求した2つの論文を発表し、置換時の位相シフトが任意の値をとることができることを示すために、それらを「エニオン」と名付けた。^{[ 10 ]}

ダニエル・ツイとホルスト・シュテルマーは1982年に分数量子ホール効果を発見した。ウィルチェックによって開発された数学は、ハーバード大学のベルトラン・ハルペリンがその側面を説明するのに役立つことがわかった。^{[ 11 ]}フランク・ウィルチェック、ダン・アロバス、ロバート・シュリーファーは1985年に、これらのシステムに存在する粒子が実際にはアニオンであることを予測する明示的な計算によってこの主張を検証した。^{[ 12 ] [ 13 ]}

量子力学およびいくつかの古典的な確率システムでは、区別できない粒子は、粒子iと粒子jの状態を交換すると(記号的に⁠  ${\displaystyle \psi _{i}\leftrightarrow \psi _{j}{\text{ for }}i\neq j}$⁠ ) は、測定可能なほど異なる多体状態にはつながらない。

例えば、量子力学系において、区別できない2つの粒子を持つ系では、粒子 1は状態にある。$\displaystyle \psi _{1}}$⁠ そして状態にある粒子2 ⁠$\displaystyle \psi _{2}}$状態を持つ${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle }$ディラック記法では、次のようになります。ここで、2つの粒子の状態を交換すると仮定すると、システムの現在の状態は次のようになります。${\displaystyle \left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }$これら2つの状態は測定可能な差を持たないはずなので、位相係数を除いて同じベクトルであるはずです。

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle .}$

ここで、${\displaystyle e^{i\theta }}$は位相因子です。3次元以上の空間では、位相因子は です。${\displaystyle 1}$または​​${\displaystyle -1}$したがって、素粒子はフェルミオンであり、その位相因子は${\displaystyle -1}$⁠ 、または位相因子が⁠であるボソン${\displaystyle 1}$これら2種類の粒子は統計的に異なる振る舞いをします。フェルミオンはフェルミ・ディラック統計に従い、ボソンはボーズ・アインシュタイン統計に従います。特に、位相因子はフェルミオンがパウリの排他原理に従う理由です。2つのフェルミオンが同じ状態にある場合、次のようになります。

${\displaystyle \left|\psi \psi \right\rangle =-\left|\psi \psi \right\rangle .}$

状態ベクトルはゼロでなければならない。つまり、正規化不可能であり、したがって非物理的である。

しかし、二次元系では、フェルミ・ディラック統計とボーズ・アインシュタイン統計の間を連続的に変化する統計に従う準粒子が観測されることがあり、これは1977年にオスロ大学のJon Magne LeinaasとJan Myrheimによって初めて示された。 ^{[ 14 ]} 2粒子の場合、これは次のように表現できる。

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle ,}$

どこで${\displaystyle e^{i\theta }}$は、単に 以外の値にもなり得ます。${\displaystyle -1}$または​​${\displaystyle 1}$この簡略表現には若干の表記の乱用があり、実際にはこの波動関数は多価になる場合があり、通常は多価になります。この表現は実際には、粒子1と粒子2が互いに反時計回りに半回転する過程で交換されると、2粒子系は元の量子波動関数に戻りますが、複素単位ノルム位相因子e ^iθが乗じられます。逆に、時計回りに半回転すると、波動関数はe ^{− iθ}で乗じられます。このような理論は、時計回りと反時計回りが明確に定義された方向である2次元でのみ意味を持ちます。

θ = πの場合、フェルミ・ディラック統計 ( e ^iπ = −1 ) が回復し、 θ = 0 (またはθ = 2 π )の場合、ボーズ・アインシュタイン統計 ( e ^{2 πi} = 1 ) が回復します。その間には、異なるものがあります。 1982 年にFrank Wilczek は、このような準粒子の挙動を研究し、粒子が交換されるときに任意の位相を持つことができるため、それらを記述するために「エニオン」という用語を作り出しました。^{[ 15 ]}ボソンやフェルミオンとは異なり、エニオンは、同じ方法で 2 回交換された場合 (たとえば、エニオン 1 とエニオン 2 が互いの周りを反時計回りに半回転して場所を交換し、次に互いの周りを反時計回りに半回転して元の位置に戻った場合)、波動関数は必ずしも同じではなく、一般的には何らかの複素位相 (この例ではe ^{2 iθ ) が乗じられるという特異な性質を持っています。}

また、粒子スピン量子数sを用いてθ = 2πsを使用することもできます。ここでsはボソンの場合は整数、フェルミオンの場合は半整数です。

${\displaystyle e^{i\theta }=e^{2i\pi s}=(-1)^{2s},}$

または

${\displaystyle |\psi _{1}\psi _{2}\rangle =(-1)^{2s}|\psi _{2}\psi _{1}\rangle .}$

端では、分数量子ホール効果アニオンは1次元空間内でのみ運動するように制限される。1次元アニオンの数理モデルは、上述の交換関係の基礎となる。

3次元位置空間において、フェルミオン統計演算子とボソン統計演算子（それぞれ−1と+1）は、波動関数空間に作用する置換群（N個の区別できない粒子からなる_SN）の1次元表現にすぎない。同様に、2次元位置空間において、アーベルアニオン統計演算子（e ^iθ ）は、波動関数空間に作用するブレイド群（_N個の区別できない粒子からなるBN ）の1次元表現にすぎない。非アーベルアニオン統計は、ブレイド群の高次元表現である。アニオン統計は、波動関数が置換群の高次元表現である粒子の統計を記述するパラ統計と混同してはならない。 ^{[ 16 ]： 22}

実験

2020年、2つの科学者チーム（1つはパリのグウェンダル・フェーブ率いるチーム、もう1つはパデュー大学のマイケル・マンフラ率いるチーム）が、アニオンの存在を示す新たな実験的証拠を発表した。両方の実験は、Discover Magazineの2020年版「科学の現状」特集号で取り上げられた。 ^{[ 2 ]}

2020年4月、パリ高等師範学校とナノ科学・ナノテクノロジーセンター（C2N）の研究者らは、アニオン用の小型「粒子衝突装置」による実験結果を報告した。彼らは、アニオンの理論予測と一致する特性を検出した。^{[ 1 ] [ 20 ] [ 21 ]}

2020年7月、パデュー大学の科学者たちは、異なる装置を用いてアニオンを検出した。同チームの干渉計は、ガリウムヒ素とアルミニウムガリウムヒ素でできた迷路状の特殊なエッチングされたナノ構造を通して電子を導く。「我々のアニオンの場合、編み込みによって生成された位相は2π/3だった」と彼は述べた。「これは、これまで自然界で見られたものとは異なっている。」^{[ 22 ] [ 23 ]}

2023年現在、これは活発な研究分野であり、Google Quantum AIは、超伝導プロセッサを使用して、非アーベルアニオン様粒子の最初の編み込みを2022年10月にAndersenらによるarXivの記事で報告し^{[ 24 ]} 、後にNatureに掲載されました^{[ 25 ]} 。 2023年5月に公開されたarXivの記事で、Quantinuumは、トラップイオンプロセッサを使用した非アーベル編み込みを報告しました^{[ 26 ] 。}

2025年5月、インスブルック大学の研究者らは、一次元量子系でアニオンを観測した。^{[ 27 ]}

2026年、マンフラとフェーヴはアニオンに関する実験で凝縮系物理学のオリバー・E・バックリー賞を受賞した。 ^{[ 28 ] [ 29 ]}

1988年、Jürg Fröhlichは、スピン統計定理の下では粒子交換がモノイド（非可換統計）であることは妥当であることを示した。 ^{[ 30 ]}特に、これはシステムが何らかの縮退を示し、システムの複数の異なる状態が同じ粒子の配置を持つ場合に達成できる。この場合、粒子の交換は位相変化をもたらすだけでなく、同じ粒子の配置を持つ別の状態にシステムを移行させることもできる。粒子交換は、この縮退した状態のサブスペース上の線形変換に対応する。縮退がない場合、このサブスペースは1次元であるため、このような線形変換はすべて可換である（位相因子による乗算にすぎないため）。縮退があり、このサブスペースの次元が高い場合、これらの線形変換は可換ではない（行列乗算が可換ではないのと同様）。

グレゴリー・ムーア、ニコラス・リード、シャオガン・ウェンは、非アーベル統計が分数量子ホール効果（FQHE）で実現できることを指摘した。^{[ 31 ] [ 32 ]}当初、非アーベルアニオンは一般的に数学的な好奇心の対象と考えられていたが、アレクセイ・キタエフが非アーベルアニオンを使ってトポロジカル量子コンピュータを構築できることを示したことで、物理学者たちはその発見に向けて動き出した。2012年現在、非アーベルアニオンの存在を決定的に証明した実験はないが、ν  = 5/2 FQHE状態の研究では有望な兆候が現れている 。^{[ 33 ] [ 34 ]}非可換アニオンの実験的証拠は、まだ決定的ではなく、現在議論の的となっているが、 ^{[ 35 ]} 2013 年 10 月に提示された。^{[ 36 ]}最近の研究では、トラップイオンプロセッサ上で非可換トポロジカル秩序とアニオンの生成^{[ 26 ]}、および超伝導プロセッサでのグラフ頂点の非可換ブレイディングの実証^{[ 25 ]が主張されている。}

2つのフェルミオン（例えば、両方ともスピン1/2）を複合ボソン（合計スピンが0と1の重ね合わせ状態にある）とみなせるのと同様に、2つ以上のアニオンが合わさって複合アニオン（ボソンまたはフェルミオンの場合もある）を構成する。複合アニオンは、その構成要素の融合の結果であると言われる。

もし​${\displaystyle N}$それぞれが個別の統計量を持つ同一のアーベルアニオン${\displaystyle \alpha }$（つまり、システムは位相を拾い上げる）${\displaystyle e^{i\alpha }}$2 つの個々のアニオンが断熱反時計回り交換を行うと、すべてが融合し、統計値は になります。${\displaystyle N^{2}\alpha }$これは、2 つの複合アニオンが互いに反時計回りに回転すると、${\displaystyle N^{2}}$個々のアニオンのペア（1つは最初の複合アニオンに、もう1つは2番目の複合アニオンに）がそれぞれ位相に寄与する。${\displaystyle e^{i\alpha }}$同様の解析は、同一でないアーベルアニオンの融合にも適用できる。合成アニオンの統計は、その構成要素の統計によって一意に決定される。

非可換アニオンは、より複雑な融合関係を持つ。一般的に、非可換アニオンを含むシステムでは、その構成要素の統計ラベルによって統計ラベルが一意に決定されるのではなく、量子重ね合わせとして存在する複合粒子が存在する（これは、スピン1/2を持つことがわかっている2つのフェルミオンが、合計スピン1と0の量子重ね合わせで一緒に存在するのと全く同じである）。複数のアニオンすべての融合の全体的な統計がわかっている場合でも、それらのアニオンのいくつかのサブセットの融合には依然として曖昧さがあり、それぞれの可能性が一意の量子状態となる。これらの複数の状態は、量子計算を実行できるヒルベルト空間を提供する。 ^{[ 37 ]}

反時計回り回転

時計回り回転

2+1時空における2つの粒子の回転による交換。回転は互いに等価ではない。なぜなら、一方の回転を他方の回転に変形することはできないからである（世界線が平面から外れない限り、これは2次元空間では不可能である）。

2次元を超える場合、スピン統計定理によれば、区別できない粒子の多粒子状態は、ボーズ・アインシュタイン統計またはフェルミ・ディラック統計のいずれかに従わなければならない。任意のd  >  2 に対して、リー群SO( d ,1) (ローレンツ群を一般化したもの) とポアンカレ( d ,1)は、第1ホモトピー群としてZ ₂を持つ。巡回群Z ₂は2つの要素から構成されているため、可能性は2つしか残らない。(詳細はもっと複雑だが、これが重要な点である。)

2 次元では状況が変わります。ここでは、SO(2,1) および Poincaré(2,1) の最初のホモトピー群はZ (無限巡回群) です。これは、Spin(2,1) が普遍被覆ではないことを意味します。つまり、単連結ではありません。詳細には、 SO(2,1)の線形表現やその二重被覆であるスピン群Spin(2,1) の線形表現から生じない、特殊直交群SO(2,1) の射影表現が存在します。アニオンは、荷電粒子によるスピン偏極の均等相補表現です。

この概念は非相対論的システムにも適用されます。ここで重要なのは、空間回転群SO(2)が無限の第1ホモトピー群を持つということです。

この事実は、結び目理論でよく知られている組紐群とも関連している。2次元では、2つの粒子の順列群が対称群S2 （ 2つの要素を持つ）ではなく、組紐群B2 （無限個の要素を持つ）になるという事実を考慮すれば、この関係性を理解できる。重要な点は、_{一方の組紐がもう一方}の組紐に巻き付くことができ、この操作は無限に繰り返すことができ、時計回りにも反時計回りにも行うことができるということである。

量子コンピューティングにおける安定性・デコヒーレンス問題に対する全く異なるアプローチは、糸として使用される準粒子であるアニオンと、安定した量子論理ゲートを形成するためにブレイド理論に依存するトポロジカル量子コンピュータを作成することである。^{[ 38 ] [ 39 ]}

2+1次元時空では、点粒子としての分数化励起はボソン、フェルミオン、またはエニオンになり得る。3+1次元以上の時空では、点粒子はボソンかフェルミオンのいずれかしかあり得ないことが知られている。しかし、ループ状（または弦状）あるいは膜状の励起は、分数化統計を持つことができる拡張された物体である。

現在の研究では、ループやストリングのような励起が3+1 次元時空のトポロジカル秩序に存在し、それらの多重ループ/ストリング編み込み統計が 3+1次元トポロジカル秩序を識別するための重要な特徴であることが示されています。^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]} 3+1次元トポロジカル秩序の多重ループ/ストリング編み込み統計は、4 次元時空における特定のトポロジカル量子場理論のリンク不変量によって捉えることができます。 ^{[ 42 ]}口語的に説明すると、拡張オブジェクト (ループ、ストリング、膜など) は、長距離エンタングルドシステムにおいて、3+1 次元以上の時空次元で潜在的にアニオンである可能性があります。

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