実際の表現

表現論の数学分野において、実表現とは通常、実ベクトル空間U上の表現を指しますが、不変な実構造を持つ複素ベクトル空間V上の表現、すなわち反線形同変写像を意味することもあります。

${\displaystyle j\colon V\to V}$

これは以下を満たす

${\displaystyle j^{2}=+1.}$

この2つの観点は等価である。なぜなら、Uが群G（例えば）によって作用される実ベクトル空間である場合、V = U ⊗ Cは複素共役によって与えられる反線形同変写像を持つ複素ベクトル空間上の表現となるからである。逆に、Vがそのような複素表現である場合、Uはj（固有値1を持つ固有空間）の不動点集合として復元できる。

物理学では、表現はしばしば行列を用いて具体的に捉えられるが、実数表現とは、群の要素を表す行列の要素が実数である表現のことである。これらの行列は、実数または複素数の列ベクトルに作用することができる。

複素ベクトル空間上の実表現は、その複素共役表現と同型であるが、その逆は成り立たない。複素共役表現と同型であるが実表現ではないものを擬実表現と呼ぶ。既約擬実表現Vは必然的に四元数表現である。すなわち、不変な四元数構造、つまり反線形同変写像を持つ。

${\displaystyle j\colon V\to V}$

これは以下を満たす

${\displaystyle j^{2}=-1.}$

実数表現と四元数表現の直和は、一般に実数でも四元数でもない。

複素ベクトル空間上の表現は、その複素共役の双対表現と同型になることもあります。これは、表現が非退化不変な1/2線形形式（例えばエルミート形式）を持つ場合にまさに起こります。このような表現は、複素表現または（擬似）エルミート表現と呼ばれることがあります。

コンパクト群Gに対する指標理論における既約表現の実在性の基準は、フロベニウス・シュール指標に基づいて定義される。

${\displaystyle \int _{g\in G}\chi (g^{2})\,d\mu }$

ここで、χは表現の指標であり、μはμ( G )=1のハール測度である。有限群の場合、これは次のように与えられる。

${\displaystyle {1 \over |G|}\sum _{g\in G}\chi (g^{2}).}$

指示子は 1、0、または -1 の値をとります。指示子が 1 の場合、表現は実数です。指示子が 0 の場合、表現は複素数 (エルミート) であり、^{[ 1 ]}指示子が -1 の場合、表現は四元数です。

対称群のすべての表現は実数（そして実際には有理数）である。なぜなら、ヤング表を用いて既約表現の完全な集合を構築できるからである。

奇数次元空間における回転群の表現はすべて実数である。なぜなら、それらはすべて、実数である基本表現のコピーのテンソル積の部分表現として現れるからである。

実表現のその他の例としては、k = 1, 2, 3 ...の場合の8 k − 1、8 k、および 8 k +1 次元のスピン群のスピノル表現があります。この法8 の周期性は、数学ではクリフォード代数の理論だけでなく、代数トポロジー、KO 理論でも知られています。スピン表現とボット周期性を参照してください。

• フルトン、ウィリアム；ハリス、ジョー（ 1991）。表現論入門。大学院数学テキスト、数学読本、第129巻。ニューヨーク ：シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  。
• Serre、Jean-Pierre (1977)、有限群の線形表現、Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90190-9。