若い対称化者

数学において、ヤング対称化子は対称群の群代数の元であり 、その複素ベクトル空間のテンソル積への自然な作用は、可逆線型変換の群の既約表現を像として持ちます。 のすべての既約表現はこうして得られます。これは、ベクトル空間への の作用から、異なる因子の順列によって（または同等に、テンソル成分の添え字の順列によって）構築されます。同様の構成は任意の体に対して機能しますが、特性 p では（特に有限体では）、像は既約表現である必要はありません。ヤング対称化子は、ヤング・タブロー上の関数のベクトル空間にも作用し、結果として得られる表現はSpecht 加群と呼ばれ、これも対称群のすべての複素既約表現を構成しますが、素特性における類似の構成は既約である必要はありません。ヤング対称化子は、英国の数学者アルフレッド・ヤングにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$

有限対称群S _nとnの番号付き分割に対応する特定のヤングの表λ が与えられ、のボックスを置換することによっての作用を考えます。S _nの2 つの置換部分群とを次のように定義します。^{[説明が必要]}${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle P_{\lambda}}$${\displaystyle Q_{\lambda}}$

${\displaystyle P_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ }}\lambda の各行を保存します \}}$

そして

${\displaystyle Q_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ }}\lambda \}の各列を保存します。}$

これら2つの部分群に対応して、群代数 における2つのベクトルを次のように 定義する。${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$

${\displaystyle a_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda }}e_{g}}$

そして

${\displaystyle b_{\lambda }=\sum _{g\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(g)e_{g}}$

ここで はgに対応する単位ベクトルであり、 は順列の符号である。 ${\displaystyle e_{g}}$${\displaystyle \operatorname {sgn}(g)}$

${\displaystyle c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda },h\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(h )e_{gh}}$

は、ヤングの表λに対応するヤング対称化子です。各ヤング対称化子は対称群の既約表現に対応し、すべての既約表現は対応するヤング対称化子から得られます。(複素数をより一般的な体に置き換えると、対応する表現は一般に既約ではなくなります。)

V を複素数上の任意のベクトル空間とします。次に、テンソル積ベクトル空間( n回) を考えます。S _{n が}、このテンソル積空間に対して、インデックスを並べ替えて作用するとします。すると、 (つまり、右モジュール) 上の自然な群代数表現 が得られます。${\displaystyle V^{\otimes n}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}$${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}\to \operatorname {End} (V^{\otimes n})}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$

nの分割 λ が与えられ、 となるとき、の像は ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{j}}$${\displaystyle a_{\lambda }}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (a_{\lambda }):=V^{\otimes n}a_{\lambda }\cong \operatorname {Sym} ^{\lambda _{1}}V\otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{2}}V\otimes \cdots \otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{j}}V.}$

例えば、、 、および の場合、標準ヤング図 となります。すると、対応する は次のように与えられます。 ${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \lambda =(2,2)}$${\displaystyle \{\{1,2\},\{3,4\}\}}$${\displaystyle a_{\lambda }}$

${\displaystyle a_{\lambda }=e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)}.}$

の任意 の積ベクトルに対して、${\displaystyle v_{1,2,3,4}:=v_{1}\otimes v_{2}\otimes v_{3}\otimes v_{4}}$${\displaystyle V^{\otimes 4}}$

${\displaystyle v_{1,2,3,4}a_{\lambda }=v_{1,2,3,4}+v_{2,1,3,4}+v_{1,2,4,3}+v_{2,1,4,3}=(v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1})\otimes (v_{3}\otimes v_{4}+v_{4}\otimes v_{3}).}$

したがって、すべての集合は明らかに を成し、を成すので を 得ます。ここで、非公式に と書きました。 ${\displaystyle a_{\lambda }v_{1,2,3,4}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V}$${\displaystyle v_{1,2,3,4}}$${\displaystyle V^{\otimes 4}}$${\displaystyle V^{\otimes 4}a_{\lambda }=\operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V}$${\displaystyle V^{\otimes 4}a_{\lambda }\equiv \operatorname {Im} (a_{\lambda })}$

この構成が の構成に簡約できることにも注目してください。を恒等演算子、 で定義されるスワップ演算子とすると、 およびとなります。 ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \mathbb {1} \in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})}$${\displaystyle S\in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})}$${\displaystyle S(v\otimes w)=w\otimes v}$${\displaystyle \mathbb {1} =e_{\text{id}}}$${\displaystyle S=e_{(1,2)}}$

${\displaystyle e_{\text{id}}+e_{(1,2)}=\mathbb {1} +S}$

にマッピングされます。より正確に は${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)}$

プロジェクターは に投影されます。 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V}$

${\displaystyle {\frac {1}{4}}a_{\lambda }={\frac {1}{4}}(e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)})={\frac {1}{4}}(\mathbb {1} \otimes \mathbb {1} +S\otimes \mathbb {1} +\mathbb {1} \otimes S+S\otimes S)={\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)\otimes {\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)}$

これはプロジェクターです。 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V}$

のイメージは ${\displaystyle b_{\lambda }}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (b_{\lambda })\cong \bigwedge ^{\mu _{1}}V\otimes \bigwedge ^{\mu _{2}}V\otimes \cdots \otimes \bigwedge ^{\mu _{k}}V}$

ここで、μ は λ への共役分割です。ここで、およびは対称テンソル積空間および交代テンソル積空間です。 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{i}V}$${\displaystyle \bigwedge ^{j}V}$

の像はS _nの既約表現であり、Specht 加群と呼ばれる。 次のように書く。${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}c_{\lambda }}$${\displaystyle c_{\lambda }=a_{\lambda }\cdot b_{\lambda }}$${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (c_{\lambda })=V_{\lambda }}$

既約表現の場合。

のスカラー倍にはべき等性があり、^[1]ある有理数に対してはとなります 。具体的には、 となります。特に、これは対称群の表現が有理数、つまり有理群代数 上で定義できることを意味します。 ${\displaystyle c_{\lambda }}$${\displaystyle c_{\lambda }^{2}=\alpha _{\lambda }c_{\lambda }}$${\displaystyle \alpha _{\lambda }\in \mathbb {Q} .}$${\displaystyle \alpha _{\lambda }=n!/\dim V_{\lambda }}$${\displaystyle \mathbb {Q} S_{n}}$

例えば、S ₃と分割 (2,1) を考えてみましょう。すると、

${\displaystyle c_{(2,1)}=e_{123}+e_{213}-e_{321}-e_{312}.}$

V が複素ベクトル空間である場合、空間上の の像はGL(V) の有限次元既約表現の本質的にすべてを提供します。 ${\displaystyle c_{\lambda }}$${\displaystyle V^{\otimes d}}$

• 対称群の表現論

• ウィリアム・フルトン『Young Tableaux、表現理論と幾何学への応用』ケンブリッジ大学出版局、1997年。
• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー（1991）の講義4。表現論。最初のコース。数学の大学院テキスト、数学の読書。第129巻。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。doi ： 10.1007 / 978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• ブルース・E・セーガン『対称群』シュプリンガー、2001年。