ホモトピー

連続関数fとg は、上記のようにfからgへのホモトピーHが存在する場合に限り、ホモトピックであると言われます。ホモトピックであることは、 XからYへのすべての連続関数の集合上の同値関係です。このホモトピー関係は、次の意味で関数の合成と両立します。f 1 _、g ₁ : X → Yがホモトピックであり、f ₂、g ₂ : Y → Zがホモトピックである場合、それらの合成f ₂ ∘ f ₁およびg ₂ ∘ g ₁ : X → Zもホモトピックです。   

同相写像は、ホモトピー同値性の特殊な場合であり、g ∘ fは恒等写像 id _Xと等しく(単にホモトピックであるだけでなく)、f ∘ gは id _Yと等しくなります。^{[ 7 ] : 0:53:00}したがって、X と Y が同相であれば、それらはホモトピー同値ですが、その逆は真ではありません。いくつかの例:

• 円盤は、放射状の線に沿って連続的に変形させて一点にすることができるため、一点とホモトピー的に同値です。しかし、一方は無限集合であり、もう一方は有限集合であるため、両者の間に全単射は存在せず、同相ではありません。
• メビウスの帯とねじれていない（閉じた）帯は、どちらも連続的に円に変形できるため、ホモトピー的に同値である。しかし、両者は同相ではない。

• ホモトピー同値の最初の例は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$点によって表される${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$確認する必要があるのは、ホモトピーの存在です。${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$間${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$そして${\displaystyle p_{0}}$投影${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$原点へ。これは次のように説明できます。${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$。
• 間にはホモトピー同値性がある${\displaystyle S^{1}}$（1-球面）と${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$。
  • より一般的には、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$。
• 任意のファイバーバンドル${\displaystyle \pi :E\to B}$繊維を含む${\displaystyle F_{b}}$点とホモトピー同値な空間は、ホモトピー同値な全空間と基底空間を持つ。これは、前の2つの例を一般化するものである。${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}} はファイバー束であり、ファイバーは${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$。
• すべてのベクトル束は、ある点と同値なファイバーホモトピーを持つファイバー束である。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$いかなる場合でも${\displaystyle 0\leq k<n}$書くことによって${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}}$ファイバー束の総スペースとして${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}$そして、上記のホモトピー同値性を適用する。
• サブコンプレックスの場合${\displaystyle A}$CW複合体の${\displaystyle X}$が縮約可能であれば、商空間は${\displaystyle X/A}$ホモトピーは${\displaystyle X}$[ ^{8 ]​}
• 変形収縮はホモトピー同値である。

関数${\displaystyle f}$ヌルホモトピックであると言われている定数関数とホモトピックである場合。（ホモトピーは${\displaystyle f}$定数関数への写像は、ヌルホモトピーと呼ばれることもある。）例えば、写像${\displaystyle f}$単位円から${\displaystyle S^{1}}$どんな空間にも${\displaystyle X}$ヌルホモトピックであるのは、それが単位円盤からの写像に連続的に拡張できる場合である。${\displaystyle D^{2}}$に${\displaystyle X}$それは同意する${\displaystyle f}$境界線上に。

これらの定義から、空間は${\displaystyle X}$は、からの恒等写像が収縮可能である場合に限り収縮可能である。${\displaystyle X}$それ自体（常にホモトピー同値である）はヌルホモトピックである。

基本群を定義するには、部分空間に関するホモトピーの概念が必要です。これらは、部分空間の要素を固定するホモトピーです。形式的には、fとg がXからYへの連続写像であり、KがXの部分集合である場合、fとgの間にホモトピーH : X × [0, 1] → Yが存在し、すべてのk ∈ Kおよびt ∈ [ 0, 1] に対してH ( k , t ) = f ( k ) = g ( k )が成り立つとき、fとgはKに関してホモトピックであると言います。また、g がXからKへのリトラクションであり、fが恒等写像である場合、これはXからKへの強変形リトラクトとして知られています。K が点の場合、点付きホモトピーという用語が使用されます。 

解結びは三つ葉結びとは等価ではない。なぜなら、周囲空間の同相写像の連続的な経路を通して、一方を他方に変形することはできないからである。したがって、両者は周囲空間において同位ではない。

位相空間Xから位相空間Yへの2 つの連続関数fとgが埋め込みである場合、それらを「埋め込みを介して」接続できるかどうかを問うことができます。これにより、アイソトピーの概念が生じます。これは、前述の表記法でホモトピーHであり、各固定tに対して、H ( x , t ) が埋め込みを与えるものです。^{[ 9 ]}

関連するが、別個の概念として、環境同位体というものがある。

2 つの埋め込みが同位であるという要求は、それらが同相であるという要求よりも強い要求です。たとえば、区間 [−1, 1] から実数への写像f ( x ) = − xは、恒等写像g ( x ) = xと同位ではありません。f から恒等写像への任意の同相写像は端点を交換する必要があり、それはそれらが互いに「通過」する必要があることを意味します。さらに、fは区間の向きを変えていますが、g は変えていません。これは同位写像の下では不可能です。しかし、写像は同相です。f から恒等写像への同相写像の 1 つは、 H : [ −1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] であり、 H ( x , y ) = 2 yx − xで与えられます。         

境界上で一致する単位球の 2 つの同相写像 (埋め込みの特殊な場合) は、アレクサンダーのトリックを使用して同位であることが示せる。このため、単位円盤の写像は${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$f ( x , y ) = ( − x , − y )で定義される写像は、原点を中心とした180 度回転と同位であり、したがって恒等写像とfは回転によって接続できるため同位である。 

幾何学的トポロジー、例えば結び目理論では、同位性の概念を用いて同値関係を構築します。例えば、2つの結び目はいつ同じとみなされるべきでしょうか。3次元空間における2つの結び目K ₁とK ₂を考えます。結び目は、1次元空間である「紐の輪」（または円）をこの空間に埋め込んだものであり、この埋め込みによって円と埋め込み空間におけるその像との間に同相写像が存在します。結び目の同値性を、より限定的な性質である周囲同位性ではなく、同位性に基づいて定義しようと試みることもできます。つまり、2つの結び目は、t = 0でK _1の埋め込みを与え、t = 1でK _2の埋め込みを与え、中間値がすべて埋め込みに対応する連続関数が存在する場合に同位であると定義します。しかし、この定義では、結び目のある部分を直線に「縮約」できるため、すべての結び目が非結び目と同値になってしまいます。問題は、これが連続ではあるものの、結び目が埋め込まれているユークリッド空間の単射関数ではないことです。この文脈で研究されるアンビエントアイソトピーは、埋め込まれた部分多様体への作用に照らして考えられた、より大きな空間のアイソトピーです。結び目K ₁とK _{2は、ユークリッド空間の同相写像を介して}K _1をK ₂に移動させる連続な [0, 1] インデックス付き写像族が存在する場合に同等であるとみなされます。   

同等の概念を表す場合、より強い等価性の概念が存在する文脈では、同様の表現が用いられる。例えば、2つの滑らかな埋め込み間の経路は、滑らかな同位性と呼ばれる。

ローレンツ多様体では、特定の曲線が時間的（あらゆる局所座標系において、時間的に前進するだけで後退しないものを表す）であると区別されます。2つの時間的曲線間の時間的ホモトピーとは、ある曲線から別の曲線への連続的な変換の間、曲線が時間的であり続けるようなホモトピーのことです。ローレンツ多様体上の閉じた時間的曲線(CTC) は、点に対して時間的ホモトピックではありません (つまり、ヌル時間的ホモトピックではありません)。したがって、そのような多様体は時間的曲線によって多重連結されていると言われます。3次元球面のような多様体は、 (任意のタイプの曲線によって)単連結であっても、時間的に多重連結である可能性があります。^{[ 10 ]}

ホモトピーがある場合${\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}$そしてカバー${\displaystyle p:{\overline {Y}}\rightarrow Y}$そして地図が与えられる${\displaystyle {\overline {h}}_{0}:X\rightarrow {\overline {Y}}}$そのため${\displaystyle H_{0}=P\circ {\overline {h}}_{0}}$ （${\displaystyle {\overline {h}}_{0}}$リフトと呼ばれる${\displaystyle h_{0}}$) そうすれば、すべてを持ち上げることができます${\displaystyle H}$地図へ${\displaystyle {\overline {H}}:X\times [0,1]\rightarrow {\overline {Y}}}$そのため${\displaystyle p\circ {\overline {H}}=H}$ホモトピー持ち上げ特性は、ファイブレーションを特徴付けるために使用されます。

ホモトピーに関するもう一つの有用な性質は、ホモトピー拡張性質です。これは、ある集合の部分集合からその集合自体への2つの関数間のホモトピーの拡張を特徴付けるものです。これは、コファイブレーションを扱う際に役立ちます。

2つの関数の関係は${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$部分空間に関してホモトピックであることは同値関係であり、固定されたXとYの間の写像の同値類を調べることができます。${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$単位区間[0, 1]をn回交差させ、その境界を取る。${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$部分空間として、同値類は群を形成し、次のように表される。${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$、 どこ${\displaystyle y_{0}}$部分空間の像の中にある${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$。

ある同値類が別の同値類に及ぼす作用を定義することで群が得られます。これらの群はホモトピー群と呼ばれます。${\displaystyle n=1}$基本群とも呼ばれます。

ホモトピーの概念は、圏論の形式的な圏に変換することができる。ホモトピー圏とは、対象が位相空間であり、射が連続写像のホモトピー同値類である圏である。2つの位相空間XとYがこの圏において同型であるのは、それらがホモトピー同値である場合に限る。したがって、位相空間の圏上の関手がホモトピー不変であるのは、それがホモトピー圏上の関手として表現できる場合である。

例えば、ホモロジー群は関数ホモトピー不変量です。つまり、XからYへのfとgがホモトピックである場合、ホモロジー群のレベルでfとgによって誘導される群準同型は同じです。すべてのnに対してH _n ( f ) = H _n ( g ) : H _n ( X ) → H _n ( Y ) です。同様に、XとY がさらにパス連結であり、 fとgの間のホモトピーがポイント付きである場合、ホモトピー群のレベルでfとgによって誘導される群準同型も同じです。π _n ( f ) = π _n ( g ) : π _n ( X ) → π _n ( Y ) です。