分割リング

代数学において、除法環（斜体とも呼ばれる）は、非零元による除法が定義されている非自明な環である。具体的には、すべての非零元 a が乗法逆元を持つ非自明な環である[ 1 ]。つまり、通常^{a –1と}表記される、a a –1 = a –1 a = 1 となる元で^ある。したがって^、（右^）除法はa / b = a b –1と定義^できるが、 a b ^–1 ≠ b ^–1 aとなる可能性があるため、この表記は避けられる。

可換な除法環は体である。ウェダーバーンの小定理は、すべての有限除法環は可換であり、したがって有限体であると主張している。

歴史的に、除法環は体と呼ばれることもあり、体は「可換体」と呼ばれていました。^{[ 5 ]}フランス語などの一部の言語では、「体」に相当する単語（「corps」）が可換体と非可換体の両方に使用され、2 つのケースの区別は「corps commutatif」（可換体）や「corps gauche」（斜体）などの修飾語を追加することによって行われます。

すべての可除環は単純環である。つまり、零イデアルと自身以外に、両側イデアルを持たない。

すべての体は除算環であり、体以外の除算環はすべて非可換である。最もよく知られている例は四元数の環である。四元数の構成において実数係数の代わりに有理数係数のみを許容すると、別の除算環が得られる。一般に、R が環であり、S が R 上の単純加群である場合、シューアの補題により、Sの自己準同型環は除算環である。^{[ 6 ]}すべての除算環はこのようにして何らかの単純加群から生じる。

線形代数の多くは、体上のベクトル空間ではなく、除法環D上の加群に対して定式化することができ、その場合も正しい。ただし、その場合、右加群か左加群かを明示する必要があり、数式において左右を適切に区別するには注意が必要である。特に、すべての加群には基底があり、ガウス消去法を用いることができる。したがって、これらのツールで定義できるものはすべて除法環上で機能する。行列とその積も同様に定義される。

行列式は非可換除代数上では定義されません。この概念を必要とするもののほとんどは非可換除代数に一般化できませんが、準行列式などの一般化によって一部の結果を再現することができます。

座標系で作業する場合、有限次元右加群の要素は列ベクトルで表すことができ、列ベクトルは右からスカラー、左から行列（線形写像を表す）を乗算できます。有限次元左加群の要素については、行ベクトルを使用する必要があり、行ベクトルは左からスカラー、右から行列を乗算できます。右加群の双対は左加群であり、その逆もまた同様です。規則 ( AB ) T = ^B T A ^Tが^有効であるためには、行列の転置は反対の除法環D ^{op上の行列として見なければなりません。}

除法環上のすべての加群は自由加群です。つまり、基底を持ち、加群のすべての基底は同じ数の要素を持ちます。除法環上の有限次元加群間の線形写像は行列で記述できます。線形写像は定義上スカラー乗算と可換であるという事実は、スカラーとは反対側にベクトルを記述することで最も便利に表すことができます。ガウス消去法は引き続き適用可能です。行列の列ランクは列によって生成される右加群の次元であり、行ランクは行によって生成される左加群の次元です。これらのランクが同じであり、行列のランクを定義することを示すために、ベクトル空間の場合と同じ証明を使用できます。

分割環は、すべての加群が自由加群である唯一の環である。環Rが分割環であるのは、すべてのR加群が自由加群である場合に限る。^{[ 7 ]}

除算環の中心は可換であり、したがって体である。[ 8 ^{]したがって、}すべての除算環はその中心上の除算代数である。除算環は、中心上で有限次元か無限次元かによって大まかに分類できる。前者は中心有限、後者は中心無限と呼ばれる。すべての体は中心上で一次元である。ハミルトン四元数の環は、その中心上で4次元代数を形成し、それは実数と同型である。

• 前述のとおり、すべてのフィールドは分割環です。
• 四元数は非可換な除法環を形成する。
• 実数の固定された部分体に属するa、b、c、dを含む四元数a + bi + cj + dkの部分集合は、非可換な除法環である。この部分体が有理数の体である場合、これは有理四元数の除法環である。
• させて${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {C} \to \mathbb {C} } は、体の自己同型写像​​である。${\displaystyle \mathbb {C} }$。 させて${\displaystyle \mathbb {C} ((z,\sigma ))}$複素係数を持つ形式的ローラン級数の環を表す。ここで、乗法は次のように定義される。係数が不定値と直接可換であることを単純に許容するのではなく、${\displaystyle z}$、のために${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$、定義する$\displaystyle z^{i}\alpha$ 各インデックスについて:=\sigma ^{i}(\alpha )z^{i}} ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$。 もし${\displaystyle \sigma }$が複素数の非自明な自己同型（共役など）である場合、結果として得られるローラン級数環は、歪ローラン級数環として知られる非可換除環になります。^{[ 9 ]} σ = idの場合、形式級数の標準的な乗法が特徴となります。この概念は、任意の固定体上のローラン級数環に一般化できます。${\displaystyle F}$非自明な${\displaystyle F}$-自己同型${\displaystyle \sigma }$。

ウェダーバーンの小定理：すべての有限除法環は可換であり、したがって有限体である。（エルンスト・ヴィットが簡潔な証明を与えた。）

フロベニウスの定理：実数上の有限次元結合除法代数は、実数自体、複素数、および四元数のみである。

かつては、除法環は「体」と呼ばれていました。多くの言語では、「本体」を意味する言葉が除法環を表すのに用いられ、言語によっては可換除法環または非可換除法環を指す場合もあれば、可換除法環（現在英語で「体」と呼ばれるもの）のみを指す場合もあります。より詳しい比較については、 「体」に関する記事をご覧ください。

「スキューフィールド」という名称には興味深い意味的特徴があります。修飾語（ここでは「スキュー」）が基本語（ここでは「フィールド」）の範囲を広げているのです。つまり、フィールドは特定の種類のスキューフィールドであり、すべてのスキューフィールドがフィールドであるとは限りません。

ここで議論されている除法環や除法代数は結合法則を持つものと仮定されているが、八元数などの非結合法則を持つ除法代数も興味深い。

近接場は、2 つの分配法則のうちの 1 つしか持たない点を除いて、除法環に似た代数構造です。

• 華の正体