微分幾何学の公式
空間曲線、ベクトル T 、 N 、 B 、および T と N が張る 接触面 微分幾何学 において 、 フレネ・セレの公式 は、三次元 ユークリッド空間の微分可能 曲線 に沿って運動する粒子の 運動学的 性質、または運動とは無関係に曲線自体の幾何学的性質を記述する。より具体的には、この公式は、いわゆる接線、法線、従法線単位ベクトルの相互導関数を記述する 。 この 公式 は 、独立に発見した二人のフランスの数学者、 ジャン・フレデリック・フレネ（ 1847年の学位論文）、および ジョゼフ・アルフレッド・セレ （1851年）にちなんで名付けられた。これらの 公式を書くために現在使用されているベクトル表記法と線型代数は、発見当時はまだ利用できなかった。
R
3
、
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}
接線、法線、従法線単位ベクトルは、 T 、 N 、 B 、または総称して フレネ・セレフレーム （ TNBフレーム または TNB基底 ）と呼ばれ、 次のように定義される
正規 直交 基底を形成します。
R
3
、
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}
フレネ・セレの公式は、次のとおりです。
ここで 、 は弧長に関する導関数、 κ は 曲率 、 τ は空間曲線の ねじれ です 。(直感的に、曲率は曲線が直線にならない程度を測り、ねじれは曲線が平面にならない程度を測ります。) κ と τ の2 つの スカラー と組み合わされた TNB 基底は、総称して フレネ・セレ装置 と呼ばれます 。
d
T
d
s
= κ
いいえ
、
d
いいえ
d
s
= − κ
T
+ τ
B
、
d
B
d
s
= − τ
いいえ
、
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\ frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}} }
d
d s
{\displaystyle {\tfrac {d}{ds}}}
定義 平面曲線上の2点における T ベクトル と Nベクトル
2番目のフレームの翻訳バージョン。
T の変化 : δ T' 。
δs は 点間の距離です。限界では 方向 N になり、曲率はフレームの回転速度を表します。
d
T
d s
{\displaystyle {\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}}
r ( t ) を ユークリッド空間 内の 曲線 とし 、 粒子の 位置ベクトルを 時間の関数として表す。フレネ・セレの公式は 非退化曲線に適用され、これは大まかに言うと、曲率がゼロでない 曲線 であることを意味する 。より正式には、この状況では、 速度 ベクトル r ′( t ) と 加速度 ベクトル r ''( t ) は比例しないことが求められる。
s ( t ) は、時間 t に粒子が 曲線 に沿って移動した 円弧の長さを 表すものとします 。 量 s は、粒子の軌跡によって描かれた曲線に円弧の長さによる 自然なパラメータ化 (つまり、 円弧の長さのパラメータ化 ) を与えるために使用されます。これは、多くの異なる粒子経路が、異なる速度で横断することにより、同じ幾何学的曲線を描く可能性があるためです。詳細には、 s は 次のように与えられます
。さらに、 r ′ ≠ 0
と仮定しているため、 s ( t ) は 厳密に単調増加関数であることがわかります。したがって、 t を s の関数として 解くことができ 、 r ( s ) = r ( t ( s )) と書くことができます。曲線は、このようにして、円弧の長さによって好ましい方法でパラメータ化されます。
s （ t ） =
∫
0
t
‖
r
′
（ σ ）
‖
d σ 。
{\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .}
非退化曲線 r ( s )をその弧の長さでパラメータ化すると、 フレネ・セレフレーム （または TNB フレーム ）を定義できるようになります 。
接線単位ベクトル T は次のように定義される。
T
:=
d
r
d
s
。
{\displaystyle \mathbf {T} :={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}.}
法線単位ベクトル N は と定義され
、 T は 常に単位の 大きさ を 持つので、 T の長さに変化がないため、 N ( T の変化 ) は常に T に垂直になります。曲率を呼び出すと、最初の関係が自動的に得られること
に注意してください。
いいえ
:=
d
T
d
s
‖
d
T
d
s
‖
、
{\displaystyle \mathbf {N} :={{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}} \over \left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|},}
κ =
‖
d
T
d
s
‖
{\displaystyle \kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|}
従法線単位ベクトル B は、 T と N の 外積 として定義されます 。
B
:=
T
×
いいえ
、
{\displaystyle \mathbf {B} :=\mathbf {T} \times \mathbf {N} ,}
らせん に沿って移動するフレネ・セレ座標系 。T は 青い矢印で表され、 N は赤い矢印で表され、 B は 黒い矢印で表されます。 そこから、 B は 常に T と N の 両方に垂直であることがわかります。したがって、 3 つの単位ベクトル T 、 N 、 B は すべて互いに垂直です。
フレネ・セレの公式 は 次のとおりです。
d
T
d
s
= κ
いいえ
、
d
いいえ
d
s
= − κ
T
+ τ
B
、
d
B
d
s
= − τ
いいえ
、
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\ frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}} }
ここで κ は 曲率 、 τ は ねじれ です 。
フレネ・セレの公式は フレネ・セレの定理 としても知られており、行列表記法を使ってより簡潔に述べることができる。 [1]
[
T ′
いいえ ′
B ′
]
=
[
0
κ
0
− κ
0
τ
0
− τ
0
]
[
T
いいえ
B
]
。
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\ -\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}
この行列は 歪対称 です。
フレネ・セレ公式は、1874 年にカミーユ・ジョルダン によって高次元ユークリッド空間に一般化されました 。
r ( s ) が滑らかな曲線であり、 r の 最初の n 導関数が線形独立であると 仮定します。 [2] Frenet–Serret フレームのベクトルは、 ベクトル ( r ′( s )、 r ''( s )、 ...、 r ( n ) ( s ))に グラムシュミット過程 を 適用することによって構築された正規直交基底です 。
R
ん
、
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
詳細には、単位接線ベクトルは第1フレネベクトル e 1 ( s ) であり、次のように定義される。
e
1
（ s ） =
e
1
¯
（ s ）
‖
e
1
¯
（ s ） ‖
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}}
どこ
e
1
¯
(
s
)
=
r
′
(
s
)
{\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)}
法線ベクトルは 、 曲率 ベクトル とも呼ばれ、曲線が直線からどれだけ離れているかを示します。次のように定義されます。
e
2
¯
(
s
)
=
r
″
(
s
)
−
⟨
r
″
(
s
)
,
e
1
(
s
)
⟩
e
1
(
s
)
{\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)}
その正規化された形式である 単位法線ベクトルは 、第2フレネベクトル e 2 ( s ) であり、次のように定義される。
e
2
(
s
)
=
e
2
¯
(
s
)
‖
e
2
¯
(
s
)
‖
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}}
点s における接線と法線ベクトルは、 点 r ( s )における 接触面 を定義します 。
フレーム内の残りのベクトル（従法線、三法線など）も同様に定義されます。
e
j
(
s
)
=
e
j
¯
(
s
)
‖
e
j
¯
(
s
)
‖
,
e
j
¯
(
s
)
=
r
(
j
)
(
s
)
−
∑
i
=
1
j
−
1
⟨
r
(
j
)
(
s
)
,
e
i
(
s
)
⟩
e
i
(
s
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{j}(s)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}},\\{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)&=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{aligned}}}
フレーム内の最後のベクトルは、最初のn − 1個の ベクトルの外積によって定義されます 。
e
n
(
s
)
=
e
1
(
s
)
×
e
2
(
s
)
×
⋯
×
e
n
−
2
(
s
)
×
e
n
−
1
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{n}(s)=\mathbf {e} _{1}(s)\times \mathbf {e} _{2}(s)\times \dots \times \mathbf {e} _{n-2}(s)\times \mathbf {e} _{n-1}(s)}
χ i ( s ) の下で使用される実数値関数は 一般化曲率 と呼ばれ 、次のように定義されます。
χ
i
(
s
)
=
⟨
e
i
′
(
s
)
,
e
i
+
1
(
s
)
⟩
‖
r
′
(
s
)
‖
{\displaystyle \chi _{i}(s)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle }{\|\mathbf {r} '(s)\|}}}
フレネ ・セレの公式は 行列言語で表現すると、
[
e
1
′
(
s
)
⋮
e
n
′
(
s
)
]
=
‖
r
′
(
s
)
‖
⋅
[
0
χ
1
(
s
)
0
0
−
χ
1
(
s
)
⋱
⋱
0
0
⋱
⋱
χ
n
−
1
(
s
)
0
0
−
χ
n
−
1
(
s
)
0
]
[
e
1
(
s
)
⋮
e
n
(
s
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(s)\|\cdot {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&0&0\\[4pt]-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &0\\[4pt]0&\ddots &\ddots &\chi _{n-1}(s)\\[4pt]0&0&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}}
ここで定義した一般化曲率とフレームは、他の情報源で見られる慣例とは若干異なる場合があることに注意する。上面曲率 χ n -1 （この文脈ではねじれとも呼ばれる）とフレームの最後のベクトル e n は 、符号が異なる。
or
(
r
(
1
)
,
…
,
r
(
n
)
)
{\displaystyle \operatorname {or} \left(\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}\right)}
(基底の向き) は通常のねじれから変化します。フレネ・セレの公式は χ n -1 と e n の両方の符号を反転しても不変であり、この符号の変化によりフレームは正の向きになります。上で定義したように、フレームはr のジェットから向きを継承します 。
最初のフレネ・セレ公式は法線 N と曲率 κの定義により成り立ち、3 番目のフレネ・セレ公式はねじれ τ の定義により成り立ちます 。したがって、必要なのは 2 番目のフレネ・セレ公式を示すことです。
T 、 N 、 B は B = T × N の直交単位ベクトルな ので 、 T = N × B および N = B × T も成り立ちます。最後の式をs について微分すると 、
∂
N
∂
s
=
(
∂
B
∂
s
)
×
T
+
B
×
(
∂
T
∂
s
)
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}=\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}\right)\times \mathbf {T} +\mathbf {B} \times \left({\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}\right)}
あれ と これを
使うと
∂
B
∂
s
=
−
τ
N
{\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}=-\tau \mathbf {N} }
∂
T
∂
s
=
κ
N
,
{\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}=\kappa \mathbf {N} ,}
∂
N
∂
s
=
−
τ
(
N
×
T
)
+
κ
(
B
×
N
)
=
τ
B
−
κ
T
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}&=-\tau (\mathbf {N} \times \mathbf {T} )+\kappa (\mathbf {B} \times \mathbf {N} )\\&=\tau \mathbf {B} -\kappa \mathbf {T} \end{aligned}}}
これはまさに第2のフレネ・セレの公式です。
応用と解釈
フレームの運動学 空間内の 螺旋 に沿って移動するフレネ・セレ座標系 接線 T 、法線 N 、従法線 B で構成されるフレネ・セレ フレームは、3 次元空間の正規直交基底 を形成します 。曲線の各点には、 参照フレーム または 直線 座標 系 が接続されます (図を参照)。
フレネ・セレの公式は運動学的 解釈が可能です 。観測者が各点に付属するフレームを座標系として使用して、時間とともに曲線に沿って移動すると想像してください。フレネ・セレの公式は、観測者が曲線に沿って移動すると、この座標系が常に回転することを意味します。したがって、この座標系は常に 非慣性 です。観測者の座標系の 角運動量は 、フレームの
ダルブー ベクトル に比例します。
軸が従法線に沿っているトップは、角速度 κ で回転することが観測されます。軸が接線に沿っている場合は、角速度 τ で回転することが観測されます。 具体的には、観察者が曲線に沿って（慣性） コマ （または ジャイロスコープ ）を携帯しているとします。コマの軸が曲線の接線に沿って指している場合、観察者の非慣性座標系に対して、コマは軸の周りを角速度 -τ で回転しているのが観察されます。一方、コマの軸が従法線方向を指している場合は、角速度 -κ で回転しているのが観察されます。これは、曲率が正の定数でねじれがゼロの場合に簡単に視覚化できます。その場合、観察者は 等速円運動 をしています。コマが従法線の方向を指している場合は、 角運動量保存則 により、円運動と 反対 方向に回転する必要があります。曲率がゼロになる極限の場合、観察者の法線は接線ベクトルの周りを歳差 運動し 、同様にコマはこの歳差運動と反対方向に回転します。
一般的なケースは下図のようになります。Wikimedia にさらに図解があります。
アプリケーション フレームの運動学は科学の分野で多くの応用があります。
生命科学 、特に微生物の運動モデルにおいては 、粘性媒体中を移動する生物が方向を変えるメカニズムを説明するためにフレネ・セレフレームの考察が用いられてきた。 [3] 物理学では、フレネ・セレフレームは、軌道に自然な座標系を割り当てることが不可能または不便な場合に便利です。これは、たとえば 相対性理論 でよく見られます。この設定では、フレネ・セレフレームは重力井戸内のジャイロスコープの歳差運動をモデル化するために使用されています。 [4]
グラフィックイラストレーション ヴィヴィアーニ曲線 に沿った移動フレネ基底の例 ( T は青、 N は緑、 B は紫) 。
トーラス結び目 の例では 、接線ベクトル T 、法線ベクトル N 、従法線ベクトル Bが、曲率 κ ( s ) 、およびねじれ τ ( s ) とともに 表示されます。ねじれ関数のピークでは、接線ベクトルの周りのフレネ・セレフレーム ( T 、 N 、 B ) の回転が 明確に確認できます。
曲率の運動学的重要性は、平面曲線（一定のねじれがゼロ）で最もよく説明されます。 平面曲線の曲率 のページを参照してください。
フレネ・セレの公式は、 多変数微分積分学のコースで、 らせんの ような空間曲線の研究の補足として頻繁に紹介されます。らせんは、一回転の高さ 2π h と半径 r で特徴付けられます 。らせんの曲率とねじれ (半径が一定) は、次の公式で与えられます。
κ
=
r
r
2
+
h
2
τ
=
±
h
r
2
+
h
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\[4pt]\tau &=\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.\end{aligned}}}
空間内の 2 つのらせん (スリンキー)。(a) 曲率が高く、ねじれが少ない、よりコンパクトならせん。(b) ねじれがわずかに高いが曲率が低い、引き伸ばされたらせん。 ねじれの符号は、らせんが中心軸の周りを 右巻きか左巻き かによって決まります。明示的には、高さ 2π h と半径 r を 持つ右巻きらせんの 1 回転のパラメータ化は
、左巻きらせんの場合は、次のように
なります
。
これらは弧長のパラメータ化ではないことに注意してください (弧長のパラメータ化の場合は、 x 、 y 、 z のそれぞれを で割る必要があります )。
x
=
r
cos
t
y
=
r
sin
t
z
=
h
t
(
0
≤
t
≤
2
π
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi )\end{aligned}}}
x
=
r
cos
t
y
=
−
r
sin
t
z
=
h
t
(
0
≤
t
≤
2
π
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=-r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi ).\end{aligned}}}
h
2
+
r
2
{\displaystyle {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}
曲線の幾何学に関する解説書の中で、 ルディ・ラッカー [5]は スリンキー のモデルを用いて ねじれと曲率の意味を説明しています。彼によると、スリンキーは、
スリンキーをその中心軸に沿って垂直に引き伸ばしても量が一定のままであるという性質が特徴です。(ここで、 2π h はスリンキーの 1 回のねじれの高さ、 r は 半径です。) 特に、曲率とねじれは、スリンキーを引き伸ばすことで曲率を犠牲にしてねじれを増やすことができるという意味で補完的です。
A
2
=
h
2
+
r
2
{\displaystyle A^{2}=h^{2}+r^{2}}
テイラー展開 曲線を繰り返し微分し、フレネ・セレの公式を適用すると、 曲線が弧長によってパラメータ化されている場合、 s = 0 付近の曲線に対する次の テイラー近似が得られます。 [6]
r
(
s
)
=
r
(
0
)
+
(
s
−
s
3
κ
2
(
0
)
6
)
T
(
0
)
+
(
s
2
κ
(
0
)
2
+
s
3
κ
′
(
0
)
6
)
N
(
0
)
+
(
s
3
κ
(
0
)
τ
(
0
)
6
)
B
(
0
)
+
o
(
s
3
)
.
{\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).}
非ゼロのねじれを持つ一般的な曲線の場合、 s = 0における T 、 N 、 B 座標系 のさまざまな座標平面への曲線の投影には、 次の解釈があります。
接触平面は 、 T と N を 含む 平面です 。この平面への曲線の投影は次の形式になります。 これは、 O ( s 2 ) の次数までの 放物線で、 0 での曲率は κ (0) に等しくなります 。接触平面には、曲線から接触平面までの距離が O ( s 3 )であるのに対し、曲線から他のどの平面までの距離も O ( s 2 ) 未満であるという特殊な性質 があります。これは上記のテイラー展開からわかります。したがって、ある意味では、接触平面は、特定の点における曲線に最も近い平面です。
r
(
0
)
+
s
T
(
0
)
+
s
2
κ
(
0
)
2
N
(
0
)
+
o
(
s
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).}
正規平面は N と B を 含む平面です 。この平面への曲線の投影は次のようになります。 これは o ( s 3 ) の次数を持つ 尖点立方曲線 です。
r
(
0
)
+
(
s
2
κ
(
0
)
2
+
s
3
κ
′
(
0
)
6
)
N
(
0
)
+
(
s
3
κ
(
0
)
τ
(
0
)
6
)
B
(
0
)
+
o
(
s
3
)
{\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}
平行平面は T と B を 含む平面です 。この平面への曲線の投影は次のようになります。これは o ( s 3 ) 次までの 3 次多項式 のグラフを描きます 。
r
(
0
)
+
(
s
−
s
3
κ
2
(
0
)
6
)
T
(
0
)
+
(
s
3
κ
(
0
)
τ
(
0
)
6
)
B
(
0
)
+
o
(
s
3
)
{\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}
リボンとチューブ 一定のねじれと大きく振動する曲率の曲線によって定義されるリボン。曲線の弧長のパラメータ化は、フレネ・セレ方程式の積分によって定義されました。 フレネ・セレ装置により、 曲線を中心とした最適な リボン や チューブを定義することができます。これらは、 材料科学 や 弾性理論 [7] 、 コンピュータグラフィックス [8] など、さまざまな分野で応用されています 。
曲線 C に沿ったフレネリボン [9] は 、曲線に沿って単位法線によって生成される 線分 [− N , N ]をスイープして描かれた面です。この面は、 C の接触面の 包絡線 E である 接線展開可能 と混同されることがあります。これはおそらく、フレネリボンと Eの両方が C に沿って同様の特性を示すためでしょう 。つまり、 E の両方のシートの接平面は、これらのシートが交差する特異点 Cの近くで、 C の接触面に近づきます。 C に沿ったフレネリボンの接平面は、 これらの接触面に等しくなります。フレネリボンは一般に展開可能ではありません。
曲線の合同 古典的なユークリッド幾何学 では 、平面上の図形が合同性に対して 不変で ある性質を研究することに関心があり、2 つの図形が合同であれば、それらは同じ性質を持つはずです。フレネ・セレの装置は、曲率とねじれを空間曲線の数値的不変量として表します。
大まかに言えば、 空間内の2 つの曲線 C と C' は 、一方を他方に剛体移動できる場合、 合同です。剛体移動は、並進と回転の組み合わせで構成されます。並進では、 Cの 1 つの点が C' の点に移動します。次に、回転により、曲線 C の方向が C' の方向と揃うように調整されます。このような並進と回転の組み合わせは、 ユークリッド移動 と呼ばれます。 最初の曲線 Cを定義するパラメータ化 r ( t ) に関して、 C の一般的なユークリッド移動は 次の操作の合成です。
（ 翻訳 ） r （ t ）→ r （ t ）+ v 、ここで v は定数ベクトル。 ( 回転 ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ) 、ここで Mは 回転の行列です。 フレネ・セレフレームは、ユークリッド運動に関して特に良好な挙動を示します。まず、 T 、 N 、 B はすべて曲線のパラメータ化の連続導関数として与えられるため、それぞれは r ( t ) への定数ベクトルの追加に影響されません。直感的には、 r ( t ) に付加された TNB フレームは、新しい曲線 r ( t ) + vに付加された TNB フレームと同じです 。
残るは回転だけである。直感的には、 曲線に回転 Mを適用すると、 TNBフレームも回転する。より正確には、フレネ・セレフレームの TNB ベクトルを行とする 行列 Qは 、回転の行列によって変化する
。
Q
→
Q
M
.
{\displaystyle Q\rightarrow QM.}
ましてや 、行列は 回転の影響を受けません。
d
Q
d
s
Q
T
{\displaystyle {\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }}
d
(
Q
M
)
d
s
(
Q
M
)
⊤
=
d
Q
d
s
M
M
⊤
Q
⊤
=
d
Q
d
s
Q
⊤
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (QM)}{\mathrm {d} s}}(QM)^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}Q^{\top }}
回転行列の
場合、 MM T = I と なるため。
したがって、 κ と τ の 要素は ユークリッド運動における曲線の 不変量 です。つまり、曲線にユークリッド運動を適用すると、結果として得られる曲線は 同じ 曲率とねじれを持つことになります。
d
Q
d
s
Q
T
{\displaystyle {\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }}
さらに、フレネ・セレ フレームを使用すると、逆のことも証明できます。つまり、同じ曲率とねじれ関数を持つ 2 つの曲線は、ユークリッド運動によって必ず合同になります。大まかに言えば、フレネ・セレの公式は TNB フレームの ダルブー導関数を表します。2 つのフレームのダルブー導関数が等しい場合、 微積分学の基本定理 のバージョンにより、 曲線は合同であると主張されます。特に、曲率とねじれは、 3 次元の曲線の
完全な不変量セットです。
フレームの他の表現 T 、 N 、および B について上で与えられた式は、 曲線が弧長パラメータで与えられていることに依存します。これは ユークリッド幾何学 では自然な仮定です。弧長は曲線のユークリッド不変量だからです。物理学の用語では、弧長パラメータ化は ゲージ の自然な選択です。ただし、実際には扱いにくい場合があります。他の同等の式がいくつかあります。
曲線が r ( t ) で与えられると仮定すると、パラメータ tは 弧長である必要はありません。すると単位接線ベクトル Tは 次のように表されます
。
T
(
t
)
=
r
′
(
t
)
‖
r
′
(
t
)
‖
{\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}}
法線ベクトル Nは 次の形をとる。
N
(
t
)
=
T
′
(
t
)
‖
T
′
(
t
)
‖
=
r
′
(
t
)
×
(
r
″
(
t
)
×
r
′
(
t
)
)
‖
r
′
(
t
)
‖
‖
r
″
(
t
)
×
r
′
(
t
)
‖
{\displaystyle \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \left(\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right)}{\left\|\mathbf {r} '(t)\right\|\,\left\|\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right\|}}}
従属正規分布 B は
B
(
t
)
=
T
(
t
)
×
N
(
t
)
=
r
′
(
t
)
×
r
″
(
t
)
‖
r
′
(
t
)
×
r
″
(
t
)
‖
{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}}
同じ式を得るための別の方法は、曲線 r ′( t )、 r "( t )、 r "′( t )の最初の 3 つの導関数を取り、 グラム・シュミット過程 を適用することです 。結果として得られる順序付けられた 正規直交基底 は、まさに TNB フレームです。この手順は、より高次元のフレネフレームを生成するためにも一般化されます。
パラメータ tに関しては、フレネ・セレの公式は 連鎖律 により || r ′( t )|| という追加の因子を取り入れます 。
d
d
t
[
T
N
B
]
=
‖
r
′
(
t
)
‖
[
0
κ
0
−
κ
0
τ
0
−
τ
0
]
[
T
N
B
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}}
曲率とねじれの明示的な式を計算することもできる。例えば、
κ
=
‖
r
′
(
t
)
×
r
″
(
t
)
‖
‖
r
′
(
t
)
‖
3
{\displaystyle \kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}}
ねじれは スカラー三重積 を使って次のように表すことができます。
τ
=
[
r
′
(
t
)
,
r
″
(
t
)
,
r
‴
(
t
)
]
‖
r
′
(
t
)
×
r
″
(
t
)
‖
2
{\displaystyle \tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}}
特別なケース 曲率が常にゼロの場合、曲線は直線になります。ここでは、ベクトル N 、 B 、およびねじれは明確に定義されていません。
ねじれが常にゼロの場合、曲線は平面上にあります。
曲線は、曲率がゼロでなく、ねじれがゼロである場合があります。たとえば、 z = 0平面で r ( t ) = ( R cos t , R sin t , 0) で与えられる半径 R の 円 は、ねじれがゼロで、曲率が 1/ R に等しくなります 。ただし、その逆は偽です。つまり、ねじれがゼロでない正則曲線は、曲率がゼロでない必要があります。これは、曲率がゼロであればねじれがゼロであるという事実の逆説です。
らせん は 一定の曲率と一定のねじれを持ちます。
平面曲線 曲線が xy 平面に含まれる場合 、その接線ベクトル と主単位法線ベクトルも xy 平面にあります 。その結果、単位従法線ベクトルは xy 平面に垂直になり 、またはのいずれ か
になります 。右手の法則により、上から見たときに曲線の軌道が左に曲がっている場合は B になり 、 右に曲がっている場合は になります。その結果、ねじれ τ は 常にゼロになり、曲率 κ の式は次のよう になります。
r
(
t
)
=
⟨
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
0
⟩
{\displaystyle {\bf {r}}(t)=\langle x(t),y(t),0\rangle }
T
=
r
′
(
t
)
|
|
r
′
(
t
)
|
|
{\displaystyle \mathbf {T} ={\tfrac {\mathbf {r} '(t)}{||\mathbf {r} '(t)||}}}
N
=
T
′
(
t
)
|
|
T
′
(
t
)
|
|
{\displaystyle \mathbf {N} ={\tfrac {\mathbf {T} '(t)}{||\mathbf {T} '(t)||}}}
B
=
T
×
N
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} }
⟨
0
,
0
,
1
⟩
{\displaystyle \langle 0,0,1\rangle }
⟨
0
,
0
,
−
1
⟩
{\displaystyle \langle 0,0,-1\rangle }
⟨
0
,
0
,
1
⟩
{\displaystyle \langle 0,0,1\rangle }
⟨
0
,
0
,
−
1
⟩
{\displaystyle \langle 0,0,-1\rangle }
|
|
r
′
(
t
)
×
r
″
(
t
)
|
|
|
|
r
′
(
t
)
|
|
3
{\displaystyle {\tfrac {||\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)||}{||\mathbf {r} '(t)||^{3}}}}
κ
=
|
x
′
(
t
)
y
″
(
t
)
−
y
′
(
t
)
x
″
(
t
)
|
[
(
x
′
(
t
)
)
2
+
(
y
′
(
t
)
)
2
]
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{{\bigl [}(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}{\bigr ]}^{3/2}}}}
参照
数学ポータル
注記
^ キューネル 2002, §1.9 ^ 実際に線形独立である必要があるのは最初の n − 1 だけです。残りの最後のフレーム ベクトル e n は、 他のフレームのスパンに対して直交する単位ベクトルとして選択できるため、結果として得られるフレームは正の方向になります。 ^ クレンショー（1993年）。 ^ アイヤーとヴィシュヴェシュワラ (1993)。 ^ Rucker, Rudy (1999). 「Watching Flies Fly: Kappatau Space Curves」. サンノゼ州立大学. 2004年10月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。 ^ キューネル 2002、19 ページ ^ ゴリエリー ら （2006年）。 ^ ハンソン。 ^ 用語については、 Sternberg (1964) の 「Lectures on Differential Geometry」 を参照。Englewood Cliffs、NJ、Prentice-Hall。p. 252-254。ISBN 9780135271506 。 。
参考文献 クレンショー、HC; エデルシュタイン-ケシェット、L. (1993)、「らせん運動による方向付け II. 運動軸の方向変更」、 数理生物学紀要 、 55 (1): 213–230、 doi :10.1016/s0092-8240(05)80070-9、 S2CID 50734771 エトゲン、ギャレット、ヒレ、アイナー、サラス、サトゥルニーノ（1995）、 サラスとヒレの微積分学 - 一変数と多変数 （第 7 版）、ジョン ワイリー アンド サンズ、p. 896 Frenet, F. (1847)、Sur les courbes à double courbure (PDF) 、テーズ、トゥールーズ 。 Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 の 要約 、1852 年。 Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006)、「弾性成長モデル」、BIOMAT-2006 (PDF) 、Springer-Verlag、 2006-12-29 に オリジナル (PDF)からアーカイブ 。 グリフィス、フィリップ （1974）、「微分幾何学における一意性と存在性の問題に適用されるカルタンのリー群と移動フレームの方法について」 デューク数学ジャーナル 、 41 （4）：775–814、 doi ：10.1215 / S0012-7094-74-04180-5、 S2CID 12966544 。 グッゲンハイマー、ハインリッヒ（1977）、 微分幾何学 、ドーバー、 ISBN 0-486-63433-7 Hanson, AJ (2007)、「四元数フレネ フレーム: 曲線から最適なチューブとリボンを作成する」 (PDF) 、 インディアナ大学技術レポート アイアー、BR; ヴィシュベシュワラ、CV (1993)、「ジャイロスコープ歳差運動のフレネ・セレ記述」、 Phys. Rev. 、D、 48 (12): 5706–5720、 arXiv : gr-qc/9310019 、 Bibcode :1993PhRvD..48.5706I、 doi :10.1103/physrevd.48.5706、 PMID 10016237、 S2CID 119458843 ジョーダン、カミーユ (1874)、「次元の空間と空間」、 CR Acad。科学。パリ 、 79 : 795–797 キューネル、ヴォルフガング (2002)、 「微分幾何学」 、学生数学図書館、第 16 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会 、 ISBN 978-0-8218-2656-0 、 MR 1882174 Serret、JA (1851)、「Sur quelques 公式関係 à la théorie des courbes à double courbure」 (PDF) 、 Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 、 16 。 スピヴァック、マイケル (1999)、 「微分幾何学の包括的入門 (第 2 巻)」 、Publish or Perish, Inc. 。 シュロモ・シュテルンバーグ（1964） 『微分幾何学講義 』プレンティス・ホール ストルイク、ダーク J. (1961)、 古典微分幾何学講義 、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー 。
外部リンク 動くフレネ・セレフレーム、曲率、ねじれ関数のアニメーションイラストを自分で作成します（ Maple ワークシート） Rudy Rucker の KappaTau 論文。 三面体の非常に素晴らしい視覚的表現
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\ frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24223bb31c70e4fbbc153723ec6b0a4426c9f61)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}= \|\mathbf {r} '(s)\|\cdot {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&0&0\\[4pt]-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &0\\[4pt]0&\ddots &\ddots &\chi _{n-1} (s)\\[4pt]0&0&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750498c7230d9400f90eeee57566cb543480eb02)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\[4pt]\tau &=\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af071782cf53d9b25d77cdac6aa05957bb35b750)
![{\displaystyle \tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6c72460a68ff77535c83f91d4197a09488d0d1)
![{\displaystyle \kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{{\bigl [}(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}{\bigr ]}^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbd78d0dd11b7517e21181c535483a92d478804)
