スピン構造

微分幾何学では、向き付け可能なリーマン多様体( M、g )上のスピン構造によって、関連するスピノル束を定義することができ、微分幾何学における スピノルの概念が生じます。

スピン構造は数理物理学、特に量子場理論に広く応用されており、電荷を持たないフェルミオンを持つ理論の定義に不可欠な要素となっています。また、微分幾何学、代数的位相幾何学、K 理論においても純粋に数学的な関心の対象となっています。スピン構造はスピン幾何学の基礎を形成しています。

幾何学と場の理論において、数学者は与えられた向き付けられたリーマン多様体 ( M , g )がスピノルを許容するかどうかを問う。この問題に対処する 1 つの方法は、 M がスピン構造を持つことを要求することである。^{[1] [2] [3]}これは、スピン構造の存在に対する位相的な障害が潜在的に存在するため、常に可能であるとは限らない。スピン構造は、 Mの2 番目のStiefel–Whitney クラス w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) が消える場合のみ存在する。さらに、w ₂ ( M ) = 0 の場合、 M上のスピン構造の同型クラスの集合は、 H ¹ ( M , Z ₂ )によって自由かつ推移的に作用される。多様体M は向き付けられていると仮定されるため、 Mの最初の Stiefel–Whitney クラスw ₁ ( M ) ∈ H ¹ ( M , Z ₂ )も消える。 （多様体MのStiefel–Whitney類w _i ( M ) ∈ H ⁱ ( M , Z _{2 )は、その}接束TMのStiefel–Whitney類として定義される。）

M上のスピノルの束 π _S : S → Mは、M上のスピンフレームの対応する主束 π P : P → M と、スピノル空間 Δ n 上の構造群 Spin( n ) のスピン表現に関連付けられた複素ベクトル_束です。束Sは、_M上の特定のスピン構造に対するスピノル束と呼ばれます。

多様体上のスピン構造の正確な定義は、ファイバー束の概念が導入されて初めて可能になった。アンドレ・ヘフリガー（1956）は、向き付け可能なリーマン多様体上のスピン構造の存在に対する位相的な障害を発見し、マックス・カルービ（1968）はこの結果を向き付け不可能な擬似リーマン多様体の場合に拡張した。^{[4] [5]}

向き付けられたベクトル束を持つ向き付けられた リーマン多様体 上のスピン構造は、 二重被覆に関する正規直交フレーム束の同変リフトである。言い換えれば、ペアはSO( n )主束上のスピン構造であり、 ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$${\displaystyle \rho :\operatorname {スピン} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle (P_{\operatorname {Spin} },\phi )}$${\displaystyle \pi :P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

a) は 上の主 Spin( n )-バンドルであり、${\displaystyle \pi _{P}:P_{\operatorname {スピン} }\rightarrow M}$${\displaystyle M}$

b )は、​​${\displaystyle \phi :P_{\operatorname {スピン} }\rightarrow P_{\operatorname {SO} }(E)}$

${\displaystyle \pi \circ \phi =\pi _{P}\quad }$そして、すべてのおよびに対して。${\displaystyle \quad \phi (pq)=\phi (p)\rho (q)\quad }$${\displaystyle p\in P_{\operatorname {スピン} }}$${\displaystyle q\in \operatorname {スピン} (n)}$

同じ向きのリーマン多様体上の2つのスピン構造とが「同値」であるとは、スピン( n )同変写像が存在し、 ${\displaystyle (P_{1},\phi _{1})}$${\displaystyle (P_{2},\phi _{2})}$${\displaystyle f:P_{1}\rightarrow P_{2}}$

${\displaystyle \phi _{2}\circ f=\phi _{1}\quad }$そして、すべてのおよびに対して。${\displaystyle \quad f(pq)=f(p)q\quad }$${\displaystyle p\in P_{1}}$${\displaystyle q\in \operatorname {スピン} (n)}$

この場合、 と は2 つの同等の二重被覆です。 ${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$

主バンドル上のスピン構造としてのスピン構造の定義は、André Haefliger (1956) によるものです。${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

Haefliger ^[1]は、向き付けられたリーマン多様体 ( M、g ) 上のスピン構造が存在するための必要十分条件を発見しました。スピン構造を持つことに対する障害は、H ² ( M、Z _{2 ) の特定の元 [} k ] です。スピン構造の場合、クラス [ k ] はMの2 番目のStiefel-Whitney クラスw ₂ ( M ) ∈ H ² ( M、Z _{2 ) です。したがって、} Mの 2 番目の Stiefel-Whitney クラスw ₂ ( M ) ∈ H ² ( M、Z ₂ )が消える場合のみ、スピン構造は存在します。

M をパラ コンパクト位相多様体とし、E をファイバー計量を備えたn次元のM上の有向ベクトル束とする。これは、 Mの各点において、 Eのファイバーが内積空間であることを意味する。 Eのスピノル束は、スピン表現をMのすべての点に一貫して関連付けるための処方箋である。これを可能にするには位相的な障害があり、その結果、与えられた束E はスピノル束をまったく許容しない可能性がある。許容する場合、束E はスピンであると言われる。

これは主バンドルという言語によって厳密に説明できる。ベクトルバンドルの向き付けられた正規直交フレームの集合は、フレームバンドル P _SO ( E ) を形成し、これ_は特殊直交群SO( n )の作用下で主バンドルとなる 。P SO ( E )のスピン構造は、スピン群Spin( n )の作用下でP _SO ( E )を主バンドルP _Spin ( E ) に持ち上げたものであり、これはバンドルマップP _Spin ( E ) → P _SO ( E ) が存在し、${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \phi (pg)=\phi (p)\rho (g)}$、すべてのp∈P Spin ( E )およびg∈Spin ₍ n )に対して、

ここでρ  :Spin( n )→SO( n )はスピン群をSO( n )の二重被覆として表す群の写像である。

Eが基本多様体M上の接線バンドル TMである特殊なケースでは、スピン構造が存在する場合、M はスピン多様体であると言えます。同様に、 Mの接線ファイバーの正規直交基底のSO( n ) 主バンドルが主スピンバンドルの Z ₂商である場合、 Mはスピンです。

多様体にセル分解または三角形分割がある場合、スピン構造は、2 次元スケルトン上に拡張された1 次元スケルトン上の接線バンドルの自明化のホモトピー類として同等に考えることができます。次元が 3 より小さい場合、まず自明な直線バンドルとのホイットニー和をとります。

有向 ベクトル束 に対して、スピン構造が 上に存在できるのは、2番目のスティフェル・ホイットニー類がゼロになる場合のみである。これは、アルマン・ボレルとフリードリヒ・ヒルツェブルッフの結果である。^[6]さらに、 がスピンの場合、スピン構造の数は と一対一である。これらの結果は、関連する主-束のスペクトル列の議論を使用して簡単に証明できる^{[7] 110-111 ページ。これにより、}ファイバ化が与えられることに注意。${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle w_{2}(E)}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle P_{E}\to M}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\to P_{E}\to M}$

したがって、セールスペクトル列を適用することができる。スペクトル列の一般理論から、正確な列が存在する。

${\displaystyle 0\to E_{3}^{0,1}\to E_{2}^{0,1}\xrightarrow {d_{2}} E_{2}^{2,0}\to E_{3}^{2,0}\to 0}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$

さらに、およびを のフィルタリングに対して適用すると、マップ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}}$${\displaystyle E_{\infty}^{0,1}=H^{1}(P_{E},\mathbb{Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbb{Z} /2))}$${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}}$

正確な順序を示す

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\to H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$

さて、スピン構造はまさに可換図式への適合の二重被覆である。${\displaystyle P_{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (n)&\to &{\tilde {P}}_{E}&\to &M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {SO} (n)&\to &P_{E}&\to &M\end{matrix}}}$

ここで、2 つの左垂直写像は二重被覆写像である。ここで、 の二重被覆はの指数部分群と一対一であり、 は群射の集合と一対一である。しかし、Hurewicz の定理と係数の変更から、これはまさにコホモロジー群 である。同じ議論を に適用すると、非自明な被覆はに対応し、 への写像はまさに第 2 スティフェル・ホイットニー類の であり、したがって である。 が消える場合、写像の下での の逆像は${\displaystyle P_{E}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \pi _{1}(P_{E})}$${\displaystyle {\text{Hom}}(\pi _{1}(E),\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2}$${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle w_{2}(1)=w_{2}(E)}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

はスピン構造を与える二重被覆の集合である。ここで、 のこの部分集合はと同一視することができ、この後者のコホモロジー群がベクトル束 上のさまざまなスピン構造を分類することを示す。これは、ファイバ化のホモトピー群の長い正確な列を見ることによって行うことができる。${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{1}(P_{E})\to \pi _{1}(M)\to 1}$

を適用して、コホモロジー群の列を与える。${\displaystyle {\text{Hom}}(-,\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

はカーネルであり、 の逆像はカーネルと一対一である ため、目的の結果が得られました。${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

スピン構造が存在する場合、多様体上の非同値なスピン構造は H ¹ ( M , Z ₂ ) の要素と 1 対 1 の対応 (標準ではない) を持ち、普遍係数定理により H ₁ ( M , Z ₂ )と同型になります。より正確には、スピン構造の同型類の空間はH ¹ ( M , Z ₂ )上のアフィン空間です。

直感的には、 M上の各非自明サイクルに対して、スピン構造は、ループを一周するときにSO( N ) バンドルのセクションがシートを切り替えるかどうかのバイナリ選択に対応します。 w ₂ ^[8]がゼロの場合、これらの選択は 2スケルトンに拡張され、次に (障害理論) M全体に自動的に拡張されます。粒子物理学では、これは各ループを回るフェルミオンの周期的または反周期的な境界条件の選択に対応します。 複素多様体では、2 番目の Stiefel-Whitney クラスは最初のchern クラスとして計算できることに留意してください。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{mod }}2}$

1. 種数 gの リーマン面は2 ^{2 g の}非同値なスピン構造を許容します。θ特性を参照してください。
2. H ² ( M , Z ₂ ) がゼロの場合、 Mはスピンです。たとえば、S ^{n は}すべての に対してスピンです。( S ²もスピンですが、理由は異なります。以下を参照してください。)${\displaystyle n\neq 2}$
3. 複素射影平面 CP ^2はスピンではありません。
4. より一般的には、すべての偶数次元複素射影空間 CP ^{2 n は}スピンではありません。
5. すべての奇数次元複素射影空間 CP ^2n+1はスピンです。
6. 次元 3以下のすべてのコンパクトで向き付け可能な多様体はスピンです。
7. すべてのカラビ・ヤウ多様体はスピンです。

• スピン多様体の種数は整数であり、さらに次元が 4 mod 8 である場合は偶数になります。

  一般に、種数は任意の多様体に対して定義される有理不変量ですが、一般には整数ではありません。

  これはもともとヒルツェブルフとボレルによって証明され、アティヤ・シンガーの指数定理によって、種数をディラック演算子の指数として実現することによって証明できます。ディラック演算子は2次演算子の平方根であり、スピン構造が「平方根」であるために存在します。これは指数定理の動機となる例でした。

スピン^C構造は、有向リーマン多様体上のスピン構造に類似しているが^[9]、スピン^C群を使用する。スピンC群は、正確なシーケンスによって定義される。

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

これを説明するために、κ  : Spin( n ) → U( N )が複素スピノル表現であると仮定する。U( N ) の中心は、包含i  : U(1) → U( N )から来る対角要素、すなわち恒等式のスカラー倍から構成される。したがって、準同型が存在する。

${\displaystyle \kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).}$

これは常に核に元(−1,−1)を持つ。この元を法として商を取ると、群Spin ^C ( n )が得られる。これはねじれ積である。

${\displaystyle {\mathrm {Spin} }^{\mathbb {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,}$

ここでU(1) = SO(2) = S ¹である。言い換えれば、スピン^C ( n )群はSO( n )のS ^1による中心拡大である。

別の見方をすると、スピン^C ( n ) は、スピン ( n ) × スピン ( 2 )から、それぞれスピン ( n ) → SO ( n )とスピン ( 2 ) → SO ( 2 )の被覆変換のペアによって生成される法線Z ₂に関して得られる商群です。これにより、スピン^C群は、繊維 Spin ( n )を持つ円上の束と、繊維が円である SO ( n ) 上の束の両方になります。^{[10] [11]}

基本群π1 _（スピン^C（n））は、n≠2の場合にはZと同型であり、n = 2の場合にはZ⊕Zと同型である。

多様体がセル分解または三角形分割を持つ場合、スピン^C構造は、 3 次元骨格上に拡張された 2 次元骨格上の複素構造のホモトピー類として同等に考えることができます。スピン構造の場合と同様に、多様体が奇数次元の場合は、自明な直線束とのホイットニー和をとります。

さらに別の定義では、多様体N上のスピン^C構造は、 N上の複素線束LとT N ⊕ L上のスピン構造を組み合わせたものであるとされています。

スピン^C構造は、バンドルが向き付け可能で、バンドルEの 2 番目のStiefel–Whitney クラスがマップH ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z )の像内にあるとき(言い換えると、3 番目の積分 Stiefel–Whitney クラスが消える) に存在します。この場合、E はスピン^Cであると言えます。直感的には、リフトは、得られた任意のスピン^Cバンドルの U(1) 部分の 2 乗のChern クラスを与えます。Hopf と Hirzebruch の定理により、閉じた向き付け可能な 4 次元多様体は常にスピン^C構造を許容します。

多様体がスピン^C構造を持つ場合、スピン^C構造の集合はアフィン空間を形成します。さらに、スピン^{C構造の集合は}H ² ( M , Z )の自由な推移作用を持ちます。したがって、スピン^{C構造は、自然な方法ではありませんが、} H ² ( M , Z )の要素に対応します。

これには、エドワード・ウィッテンによる次のような幾何学的解釈がある。スピン^C構造がゼロでない場合、この平方根バンドルは非整数チャーン類を持ち、これは三重重なり条件を満たさないことを意味する。特に、三方向交差点の遷移関数の積は、主バンドルに必要な 1 に常に等しいとは限らない。代わりに、-1 になることもある。

この失敗は、妨害されたスピンバンドルの遷移関数の三重積における同一の失敗とまったく同じ交差点で発生します。したがって、完全なスピン^cバンドルの遷移関数の三重積（スピンバンドルと U(1) 成分バンドルの三重積の積）は、1 ² = 1または(−1) ² = 1のいずれかであり、スピン^Cバンドルは三重重なり条件を満たし、したがって正当なバンドルです。

上記の直感的な幾何学的図は、次のように具体化できる。短完全列 0 → Z → Z → Z ₂ → 0を考える。ここで、2番目の矢印は2の乗算、3番目の矢印は2を法とする縮約である。これはコホモロジー上の長完全列を誘導し、これには以下が含まれる。

${\displaystyle \dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}$

ここで、2番目の矢印は2の乗算によって誘導され、3番目は2を法とする制限によって誘導され、4番目は関連するボックシュタイン準同型 βです。

スピンバンドルの存在に対する障害は、 H ² ( M , Z ₂ )の元w ₂です。これは、 SO(n) バンドルをスピンバンドルに局所的に持ち上げることができるが、各遷移関数のZ ₂持ち上げを選択する必要があり、これは符号の選択であるという事実を反映しています。三重重なりのこれら 3 つの符号の積が -1 のときは持ち上げは存在せず、これはw _2のチェフコホモロジー図をもたらします。

この障害をキャンセルするには、このスピンバンドルを、同じ障害w _{2を持つ U(1) バンドルでテンソル化します。}スピンバンドルも U(1) バンドルも三重重なり条件を満たさず、どちらも実際にはバンドルではないため、 これはバンドルという言葉の乱用であることに注意してください。

正当な U(1) バンドルは、そのチャーン類(H ² ( M , Z )の要素)によって分類されます。このクラスを上記の正確なシーケンスの最初の要素と同一視します。次の矢印はこのチャーン類を 2 倍にするため、正当なバンドルは 2 番目のH ² ( M , Z )の偶数要素に対応し、奇数要素は三重重なり条件を満たさないバンドルに対応します。障害は、2 番目の H ² ( M , Z )の要素が矢印の像に含まれないことによって分類されますが、これは正確には、次の矢印の下の H ² ( M , Z ₂ )の像によって分類されます。

スピンバンドル内の対応する障害をキャンセルするには、この像はw ₂である必要があります。特に、w _{2 が矢印の像にない場合、障害が}w ₂に等しい U(1) バンドルは存在しないため、障害をキャンセルすることはできません。正確には、w _{2が前の矢印の像にあるのは、次の矢印の核にある場合のみであり、これは}ボクシュタイン準同型βであることを思い出してください。つまり、障害をキャンセルするための条件は次のとおりです。

${\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}$

ここで、第3の積分Stiefel-Whitney類W _{3 は第2のStiefel-Whitney類}w ₂のBocksteinであるという事実を利用している（これはW ₃の定義としてとらえることができる）。

この議論は、第二スティフェル・ホイットニー類がZ ₂コホモロジーだけでなく、1 つ高い次数の整コホモロジーの元も定義することを示しています。実際、これはすべての偶数スティフェル・ホイットニー類に当てはまります。結果として得られる奇数次類には大文字のW を使用するのが慣例で、これらの類は整数スティフェル・ホイットニー類と呼ばれ、次数 (常に奇数) でラベル付けされます。

1. 4次元以下の有向 滑らかな多様体はすべてスピン^Cである。^[12]
2. ほぼ複素多様体はすべてスピン^Cです。
3. すべてのスピン多様体はスピン^Cです。

素粒子物理学におけるスピン統計定理は、荷電されていないフェルミオンの波動関数が、 SO( N )バンドルEのスピンリフトに関連するベクトルバンドルのセクションであることを意味します。したがって、スピン構造の選択は、波動関数を定義するために必要なデータの一部であり、多くの場合、分割関数でこれらの選択を合計する必要があります。多くの物理理論では、Eは接バンドルですが、弦理論のDブレーンの世界体積上のフェルミオンの場合は、通常のバンドルです。

量子場理論では、荷電スピノルは関連するスピン^c束のセクションであり、特にスピン^cでない空間には荷電スピノルは存在できない。一部の超重力理論では、追加の相互作用により他の場が第 3 スティフェル-ホイットニー類をキャンセルする可能性があるという例外が発生する。超重力と弦理論におけるスピノルの数学的記述は特に微妙な未解決問題であり、最近参考文献で取り上げられた。 ^{[13] [14]}スピン構造の標準的な概念は超重力と弦理論への応用には制限が厳しすぎることが判明しており、これらの理論の数学的定式化のためのスピノル構造の正しい概念は「リプシッツ構造」である。^{[13] [15]}

• メタプレクティック構造
• 正規直交フレームバンドル
• スピノール

• ローソン、H.ブレイン; ミシェルソン、マリー・ルイーズ (1989)。スピンジオメトリ。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-08542-5。
• フリードリヒ、トーマス (2000)。『リーマン幾何学におけるディラック演算子』アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-2055-1。
• カロウビ、マックス (2008). K-理論. シュプリンガー. pp. 212–214. ISBN 978-3-540-79889-7。
• Greub, Werner; Petry, Herbert-Rainer (2006) [1978]. 「構造群の持ち上げについて」.数理物理学における微分幾何学的手法 II . 数学の講義ノート. 第 676 巻. Springer-Verlag. pp. 217–246. doi :10.1007/BFb0063673. ISBN 9783540357216。
• Scorpan, Alexandru (2005)。「4.5 注釈 スピン構造、構造群の定義、定義の同値性」。4次元多様体のワイルドワールド。アメリカ数学会。pp. 174–189。ISBN 9780821837498。

• Sven-S. Porst 著の Something on Spin Structures は、数学を学ぶ学生のための、方向とスピン構造の簡単な入門書です。