ホモトピー解析法

ホモトピー解析法（HAM ）は、非線形常微分方程式／偏微分方程式を解くための半解析的手法です。ホモトピー解析法は、位相幾何学におけるホモトピーの概念を用いて、非線形システムの収束級数解を生成します。これは、システムの非線形性を扱うためにホモトピー・マクローリン級数を利用することによって可能になります。

HAMは、1988年にアーヘン工科大学のクラウス・ヒレブランドによって、非線形微分方程式系を解くことで、不均一なサブミクロン構造における高温電子の弾道輸送を計算するために初めて適用されました。これは1989年に彼の学位論文で発表されました（参考文献参照）。HAMは、1992年に上海交通大学の廖世軍が博士論文^{[ 1 ]}で初めて考案し、1997年にさらに改良され^{[ 2 ]} 、収束制御パラメータc0と呼ばれる非ゼロの補助パラメータを導入して、一般形式の微分システム上にホモトピーを構築しました^[ ₃ ^{] 。}収束制御パラメータは、 解の級数の収束を検証および強制する簡単な方法を提供する非物理的な変数です。HAMが級数解の収束を自然に示せる能力は、非線形偏微分方程式に対する解析的および半解析的アプローチでは珍しいものです。

HAMは、他のさまざまな解析手法とは4つの重要な点で異なります。第一に、 HAMは、物理パラメータの大小に直接依存しない級数展開法です。そのため、弱非線形問題だけでなく強非線形問題にも適用でき、標準的な摂動法の固有の制限のいくつかを超越します。第二に、HAMは、リアプノフ人工小パラメータ法、デルタ展開法、アドミアン分解法^{[ 4 ]}、およびホモトピー摂動法^{[ 5 ] [ 6 ]}を統一した手法です。 この手法の汎用性が高いため、多くの場合、より広い空間領域とパラメータ領域にわたって解の強い収束が可能になります。第三に、HAMは、解の表現方法と解の明示的な取得方法において優れた柔軟性を提供します。目的の解の基底関数と、対応するホモトピーの補助線形演算子を選択する自由度が非常に高いです。最後に、他の解析近似手法とは異なり、HAMは解級数の収束を保証する簡単な方法を提供します。

ホモトピー解析法は、スペクトル法^{[ 7 ]}やパデ近似法など、非線形微分方程式に用いられる他の手法と組み合わせることもできます。さらに、境界要素法などの計算手法と組み合わせることで、線形手法を用いて非線形システムを解くことも可能です。ホモトピー連続法という数値的手法とは異なり、ホモトピー解析法は離散的な計算手法ではなく、解析的な近似手法です。さらに、HAMはホモトピーパラメータを理論的なレベルでのみ使用し、非線形システムが無限個の線形システムに分割できることを示します。解析的に解かれる問題である一方、連続法では、非線形システムを解くためにホモトピーパラメータを変化させながら離散線形システムを解く必要がある。

過去 20 年間、HAM は科学、金融、工学における非線形常微分方程式や偏微分方程式の解法としてますます多く適用されてきた。 ^{[ 8 ] [ 9 ]}例えば、任意の数の進行重力波の波の共鳴基準により 、深水有限水深における複数の定常共鳴波^{[ 10 ]}が発見された。これは、振幅の小さい 4 つの波に対する Phillips の基準と一致した。さらに、HAM を適用した統一波モデル^{[ 11 ]}は、従来の滑らかな進行周期波/孤立波だけでなく、有限水深におけるピークを持つ進行孤立波も許容する。このモデルは、ピークを持つ孤立波が既知の滑らかな波と並んで一貫性のある解であることを示している。さらに、HAMは、非線形熱伝達^{[ 12 ]}、非線形動的システムの極限サイクル[13]、アメリカン・^{プット・オプション}[ 14 ^]、厳密なナビエ・ストークス方程式^{[ 15} ] 、確率的変動性の下でのオプション価格設定[16 ^]、電気流体力学的流れ^{[ 17 ]}、半導体デバイスのポアソン・ボルツマン方程式[ ^{18 ]など、他の多くの}非線形問題にも適用されています。

一般的な非線形微分方程式を考える

$\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}$、

どこ$\displaystyle {\mathcal {N}}}$は非線形演算子である。$\displaystyle {\mathcal {L}}}$はそれぞれ補助線形演算子、u ₀ ( x ) はu ( x )の初期推定値、c ₀は定数 (収束制御パラメータと呼ばれる) を表す。ホモトピー理論からの埋め込みパラメータq ∈ [0,1] を使用すると、方程式の族を構築できる。

${\displaystyle (1-q){\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=c_{0}\,q\,{\mathcal {N}}[U(x;q)],}$

これはゼロ次変形方程式と呼ばれ、その解は埋め込みパラメータq ∈ [0,1]に関して連続的に変化する。これは線形方程式である。

${\displaystyle {\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=0,}$

既知の初期推定値U ( x ; 0) = u ₀ ( x )はq = 0 のときに成り立つが、これは元の非線形方程式と等価である。$\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}$q = 1の場合、つまりU ( x ; 1) = u ( x ) となります。したがって、qが 0 から 1 に増加すると、ゼロ次変形方程式の解U ( x ; q ) は、選択された初期推定値u ₀ ( x ) から、考慮されている非線形方程式の解u ( x ) へと変化（または変形）します。

U ( x ; q )をq =0の周りでテイラー級数展開すると、ホモトピー・マクローリン級数が得られる。

${\displaystyle U(x;q)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x)\,q^{m}.}$

ゼロ次変形方程式のいわゆる収束制御パラメータc _{0 が適切に選択され、上記の級数が}q = 1 で収束すると仮定すると、ホモトピー級数解が得られる。

$u(x)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x).$

ゼロ次変形方程式から、u _m ( x )の支配方程式を直接導出することができる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}[u_{m}(x)-\chi _{m}u_{m-1}(x)]=c_{0}\,R_{m}[u_{0},u_{1},\ldots ,u_{m-1}],}$

m^次変形方程式と呼ばれる。$\displaystyle \chi _{1}=0}$そして${\displaystyle \chi _{k}=1}$k > 1の場合、右辺R _mは既知の結果u ₀、u ₁、 ...、u _{m  −  1のみに依存し、}数式処理ソフトウェアを使用して容易に得ることができます。このようにして、元の非線形方程式は、物理パラメータの大小に関する仮定なしに、無限個の線形方程式に変換されます。

HAMはホモトピーに基づいているため、初期推定値u ₀ ( x )、補助線形演算子の選択には大きな自由度がある。$\displaystyle {\mathcal {L}}}$収束制御パラメータc ₀は、ゼロ次変形方程式に含まれています。したがって、HAM は、数学者に高次変形方程式の方程式タイプとその解の基底関数を選択する自由を与えます。収束制御パラメータc ₀の最適値は、選択された初期推定値と線形演算子に対して一般形を解いた後の支配方程式および/または境界条件の二乗残差誤差の最小値によって決定されます。したがって、収束制御パラメータc ₀は、ホモトピー級数解の収束を保証する簡単な方法であり、HAM を他の解析的近似法と区別するものです。この方法は全体として、ホモトピーの概念の有用な一般化を提供します。

HAMは、「数値ではなく関数で計算する」ことを目標に、コンピュータ時代向けに設計された解析的近似法です。MathematicaやMapleなどの数式処理システムと組み合わせることで、HAMを用いて、高度に非線形な問題の解析的近似をわずか数秒で任意の高次まで得ることができます。近年、HAMが様々な分野で成功を収めていることに触発され、非線形境界値問題を解くためのHAMベースのMathematicaパッケージであるBVPhがオンラインで公開されています。BVPhは、有限区間または無限区間における特異点、複数の解、および多点境界条件を持つ高度に非線形な常微分方程式（ODE）のためのソルバーパッケージであり、特定の種類の非線形偏微分方程式（PDE）もサポートしています。^{[ 8 ]} また、HAMベースのMathematicaコードであるAPOhは、アメリカン・プット・オプションの最適な行使境界の明示的な解析的近似を解くために作成されており、オンラインでも入手可能です。。

HAMは最近、非線形周波数応答方程式の解析解を得るのに有用であることが報告されている。このような解は、発振器の硬化型、軟化型、混合型などのさまざまな非線形挙動を捉えることができる。^{[ 19 ] [ 20 ]}これらの解析方程式は、非線形システムのカオスの予測にも有用である。^{[ 21 ]}

• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm