変数変換（PDE）

多くの場合、偏微分方程式は、変数を適切に変更することで、解が既知のより単純な形に簡約できます。

この記事では、PDE の変数の変更について、以下の 2 つの方法で説明します。

1. 例示によって;
2. 方法の理論を示すことによって。

例えば、ブラック・ショールズ偏微分方程式 の次の簡略化された形

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+S{\frac {\partial V}{\partial S}}-V=0.}$

熱方程式に還元できる

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

変数の変更によって:

${\displaystyle V(S,t)=v(x(S),\tau (t))}$

${\displaystyle x(S)=\ln(S)}$

${\displaystyle \tau (t)={\frac {1}{2}}(Tt)}$

${\displaystyle v(x,\tau )=\exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )}$

次の手順で:

• を置き換えて連鎖律を適用すると、${\displaystyle V(S,t)}$${\displaystyle v(x(S),\tau (t))}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-2v(x(S),\tau )+2{\frac {\partial \tau }{\partial t}}{\frac {\partial v}{\partial \tau }}+S\left(\left(2{\frac {\partial x}{\partial S}}+S{\frac {\partial ^{2}x}{\partial S^{2}}}\right){\frac {\partial v}{\partial x}}+S\left({\frac {\partial x}{\partial S}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}\right)\right)=0.}$

• とをとに置き換えて${\displaystyle x(S)}$${\displaystyle \tau (t)}$${\displaystyle \ln(S)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(TT)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-2v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(Tt))-{\frac {\partial v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(Tt))}{\partial \tau }}+{\frac {\partial v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(Tt))}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(Tt))}{\partial x^{2}}}\right)=0.}$

• とをとで置き換え、両辺をで割ると${\displaystyle \ln(S)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(TT)}$${\displaystyle x(S)}$${\displaystyle \tau (t)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle -2v-{\frac {\partial v}{\partial \tau}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}=0.}$

• を に置き換えて を で割ると、熱方程式が得られます。${\displaystyle v(x,\tau )}$${\displaystyle \exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )}$${\displaystyle -\exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )}$

変数変換を偏微分方程式に適用することに関するアドバイスは数学者J.マイケル・スティールによって与えられている: ^[1]

「変数を変更したり、ある方程式を別の方程式に変換したりするのは特に難しいことではありませんが、退屈で複雑な要素があり、それが作業を遅らせます。この糖蜜効果に対する万能の解決策はありませんが、明確に定義された計画に従えば、計算はより速く進むようです。が方程式 (ブラック・ショールズ方程式など) を満たすことがわかっていれば、古いV を新しいvの関数として書き、新しいおよびx を古いtおよびSの関数として書き込むと、古い で定義された新しい関数の方程式を導出する際に、その方程式をうまく利用できることが保証されます。この順序により、すべてが連鎖律の直接の射線上に置かれます。偏導関数、および は簡単に計算でき、最後に元の方程式がすぐに使用できるようになります。」${\displaystyle V(S,t)}$${\displaystyle v(x,t)}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}}$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}}$

関数と変数変換があり、次のような 関数が存在すると仮定します。${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$${\displaystyle a(x,t),b(x,t)}$

${\displaystyle x_{1}=a(x,t)}$

${\displaystyle x_{2}=b(x,t)}$

そして、次のような 機能を果たす。${\displaystyle e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle x=e(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle t=f(x_{1},x_{2})}$

そしてさらに

${\displaystyle x_{1}=a(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))}$

${\displaystyle x_{2}=b(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))}$

そして

${\displaystyle x=e(a(x,t),b(x,t))}$

${\displaystyle t=f(a(x,t),b(x,t))}$

言い換えれば、古い変数セットと新しい変数セットの間に 一対一の関係があることが役に立つ。そうでなければ、

• 対応の適用範囲を、実際の問題の解決に十分な実平面上の対象に限定する（この場合も、一対一対応である必要がある）。
• それ以外の全単射が失敗する例外（極）の（ゼロ個以上の有限リスト）を列挙する（そして、これらの例外が縮小された方程式の解の元の方程式への適用可能性を制限しない理由を述べる）

一対一変換が存在しない場合は、簡約された方程式の解は一般に元の方程式の解にはなりません。

ここでは偏微分方程式の変数変換について議論します。偏微分方程式は関数に適用された微分演算子として表現できます。次のような微分演算子があると します。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}u(x,t)=0}$

そしてまた、

${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0}$

どこ

${\displaystyle v(x_{1},x_{2})=u(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))}$

からへは次のように操作します${\displaystyle {\mathcal {L}}u(x,t)=0}$${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0:}$

• 連鎖律を に適用して展開すると、式 が得られます。${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1}(x,t),x_{2}(x,t))=0}$${\displaystyle e_{1}}$
• のと を代入し、展開して、式 を得る。${\displaystyle a(x,t)}$${\displaystyle x_{1}(x,t)}$${\displaystyle b(x,t)}$${\displaystyle x_{2}(x,t)}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$
• およびをに置き換えて を生成すると、および が含まれなくなります 。${\displaystyle x}$${\displaystyle e(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

PDEの文脈では、Weizhang HuangとRobert D. Russellがさまざまな時間依存変換を詳細に定義し説明しています。^[2]

多くの場合、理論は変数変換の存在を確立することができますが、式自体は明示的に述べることはできません。 次元の積分可能なハミルトン系で、および の場合、積分 が存在します。 座標から変数のセット への変数変換が存在し、その中で運動方程式は、となり、関数は未知であり、 のみに依存します。 変数はアクション座標であり、 変数は角度座標です。したがって、システムの運動は、トーラス上の回転として視覚化できます。 特定の例として、 およびでハミルトン である単純な調和振動子を考えてみましょう。 このシステムは、と書き直すことができます。ここで、および は標準極座標です。および。詳細については、VI Arnold の「古典力学の数学的手法」を参照してください。 ^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\partial H/\partial p_{j}}$${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-\partial H/\partial x_{j}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n},p_{1},\dots ,p_{n}\}}$${\displaystyle \{I_{1},\dots I_{n},\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\}}$${\displaystyle {\dot {I}}_{i}=0}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{i}=\omega _{i}(I_{1},\dots ,I_{n})}$${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{n}}$${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}}$${\displaystyle {\dot {x}}=2p}$${\displaystyle {\dot {p}}=-2x}$${\displaystyle H(x,p)=x^{2}+p^{2}}$${\displaystyle {\dot {I}}=0}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}=1}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle I=p^{2}+q^{2}}$${\displaystyle \tan(\varphi )=p/x}$