微分方程式に適用されるラプラス変換

数学において、ラプラス変換は、関数を時間領域からs領域に変換するために使用される強力な積分変換です。ラプラス変換は、与えられた初期条件を持つ線形微分方程式を解くために使用できる場合があります。

まず、ラプラス変換の次の性質について考えてみましょう。

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)}$

帰納法によって証明できるのは

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\sum _{i=1}^{n}s^{ni}f^{(i-1)}(0)}$

次に、以下の微分方程式を考えます。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t)}$

与えられた初期条件の下で

${\displaystyle f^{(i)}(0)=c_{i}}$

ラプラス変換の線形性を用いると、方程式を次のように書き換えることができる。

$\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}}$

取得

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{ij}f^{(j-1)}(0)={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}}$

方程式を解く${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}}$そして代入する${\displaystyle f^{(i)}(0)}$と${\displaystyle c_{i}}$得られるもの

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{ij}c_{j-1}}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}}}$

f ( t )の解は、逆ラプラス変換を適用することによって得られます。$\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$

初期条件がすべてゼロの場合、つまり

${\displaystyle f^{(i)}(0)=c_{i}=0\quad \forall i\in \{0,1,2,...\ n\}}$

すると式は次のように簡略化されます

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{{\mathcal {L}}\{\phi (t)\} \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}\right\}}$

私たちは解決したい

${\displaystyle f''(t)+4f(t)=\sin(2t)}$

初期条件はf (0) = 0 およびf ′ (0) = 0 です。

我々は以下の点に留意する。

${\displaystyle \phi (t)=\sin(2t)}$

そして私たちは

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\phi (t)\}={\frac {2}{s^{2}+4}}}$

この方程式は、

${\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}}$

我々は推論する

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {2}{(s^{2}+4)^{2}}}}$

ここでラプラス逆変換を適用すると、

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{8}}\sin(2t)-{\frac {t}{4}}\cos(2t)}$

• AD ポリアニーン著、『エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック』、チャップマン＆ホール/CRCプレス、ボカラトン、2002年。ISBN 1-58488-299-9