確率偏微分方程式

確率偏微分方程式( SPDE )は、通常の確率微分方程式が通常の微分方程式を一般化するのと同じように、ランダムな力の項と係数を介して偏微分方程式を一般化します。

これらは量子場理論、統計力学、空間モデリングと関連性がある。^{[1] [2]}

最も研究されているSPDEの1つは確率熱方程式であり、^[3]は次のように正式に記述される。

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

ここではラプラシアン、 は時空ホワイトノイズを表します。他の例としては、波動方程式^[4]やシュレーディンガー方程式^[5]などの有名な線形方程式の確率バージョンもあります。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \xi }$

1 つの難点は、規則性がないことです。1 次元空間では、確率熱方程式の解は、空間ではほぼ 1/2ヘルダー連続、時間では 1/4 ヘルダー連続です。2 次元以上では、解は関数値ではありませんが、ランダム分布として理解できます。

線形方程式の場合、通常は半群法によって穏やかな解を求めることができます。^[6]

しかし、非線形方程式を考えると問題が生じてきます。例えば

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

ここで、は多項式です。この場合、方程式の意味をどう理解すればよいのかさえ明らかではありません。また、このような方程式は、1 より大きい次元では関数値解を持たないため、点ごとの意味はありません。超関数の空間には積構造がないことはよく知られています。これが、このような理論の核心的な問題です。これにより、何らかの形式の再正規化が必要になります。 ${\displaystyle P}$

特定の方程式についてこのような問題を回避する初期の試みは、いわゆるダ・プラート・ドビュシェトリックであり、これは非線形方程式を線形方程式の摂動として研究するものでした。^[7]しかし、これは非線形因子と駆動ノイズ項の規則性の両方に依存するため、非常に制限された設定でしか使用できません。近年、この分野は劇的に拡大し、現在ではさまざまな亜臨界SPDEの局所的存在を保証する大規模な仕組みが存在しています。^[8]

• Bain, A.; Crisan, D. (2009).確率的フィルタリングの基礎. 確率的モデリングと応用確率. 第60巻. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-0387768953。
• Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. (2010).確率的偏微分方程式: モデル化、ホワイトノイズ関数アプローチ。Universitext (第 2 版)。ニューヨーク: Springer。doi : 10.1007 / 978-0-387-89488-1。ISBN 978-0-387-89487-4。
• Lindgren, F.; Rue, H.; Lindström, J. (2011). 「ガウス場とガウスマルコフランダム場との明示的な関係: 確率的偏微分方程式アプローチ」. Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology . 73 (4): 423–498. doi :10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x. hdl : 20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . ISSN  1369-7412.
• Xiu, D. (2010).確率計算のための数値手法: スペクトル法によるアプローチ. プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-14212-8。

• 「確率偏微分方程式に関するミニコース」(PDF)。2006 年。
• Hairer, Martin (2009). 「確率的偏微分方程式入門」. arXiv : 0907.4178 [math.PR].