ロビン境界条件

数学において、ロビン境界条件（/ ˈrɒbɪn / ROB - in、フランス語: [ ʁɔbɛ̃ ] ）、または第三型境界条件は、ヴィクトル・ギュスターヴ・ロビン（1855–1897）にちなんで名付けられた境界条件の一種である。 ^{[ 1 ]}これは偏微分方程式や常微分方程式を解く際に使用される。

ロビン境界条件は、与えられた領域の境界における関数の値とその導関数の値の線形結合を指定します。これは、関数の値のみを指定するディリクレ境界条件と、関数の導関数のみを指定するノイマン境界条件の一般化です。一般的な物理的例としては、熱伝達が挙げられます。熱伝達では、表面が対流によって周囲環境に熱を放出することがあります。熱流束（温度の導関数に関連）は、表面温度（温度関数の値）と周囲温度の差に比例します。

他に同義語としてフーリエ型条件や放射条件などがある。^{[ 2 ]}

ロビン境界条件は、ディリクレ境界条件とノイマン境界条件の重み付き組み合わせです。これは、境界の異なる部分集合上で異なる種類の境界条件が指定される混合境界条件とは対照的です。ロビン境界条件は、電磁気問題への応用からインピーダンス境界条件、または熱伝達問題への応用から対流境界条件とも呼ばれます（Hahn、2012）。

Ω が与えられた方程式を解く領域であり、∂Ω がその境界を表す場合、ロビン境界条件は次のようになります。^{[ 3 ]}

${\displaystyle au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g\qquad {\text{on }}\partial \Omega }$

非ゼロ定数 aおよびbと、 ∂Ω 上で定義された関数gに対して、 u はΩ 上で定義された未知の解であり、∂ u / ∂ nは境界における法線微分を表します。より一般的には、aおよびbは定数ではなく、（与えられた）関数であっても構いません。

一次元の場合、例えばΩ  = [0,1]であれば、ロビン境界条件は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}au(0)-bu'(0)&=g(0)\\au(1)+bu'(1)&=g(1)\end{aligned}}}$

導関数を含む項の前の符号が変わっていることに注目してください。これは、0 における [0,1] の法線が負の方向を向いているのに対し、1 では正の方向を向いているためです。

ロビン境界条件は、科学や工学の多くの分野で現れるシュトゥルム・リウヴィル問題を解く際によく用いられる。

さらに、ロビン境界条件は、対流拡散方程式における断熱境界条件の一般形である。ここでは、境界における対流フラックスと拡散フラックスの合計はゼロとなる。

${\displaystyle u_{x}(0)\,c(0)-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}=0}$

ここで、Dは拡散定数、uは境界での対流速度、cは濃度です。第 2 項はフィックの拡散法則の結果です。

静電ポテンシャルに関するロビン境界条件${\displaystyle \phi }$絶縁誘電体によって分離されたイオン性または半導体性電子媒体を含む静電容量または電界効果を効率的にモデル化する場合、ロビン境界条件は導体の表面をモデル化します。このモデルでは、表面電荷デバイ層の線形「柔らかさ」、すなわち通常の誘電体の幾何学的容量と直列に現れる線形量子容量が存在します。^{[ 4 ]}単一のロビン境界条件は、${\displaystyle \phi }$また、 Stern層をモデル化する場合など、1次元のような（平行平板コンデンサまたは平面界面）ケースにおける幾何学的容量を完全に捉えることもできます。^{[ 5 ]}

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• Gustafson, K. および T. Abe、（1998b）。（ヴィクトル）ギュスターヴ・ロビン：1855–1897、The Mathematical Intelligencer、20、# 2、47–53。
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