ラクロスペア

結果は不変量を用いて示すこともできる。${\displaystyle \operatorname {tr} (L^{n})}$いかなる場合でも${\displaystyle n}$これらは満たします $$\displaystyle {\frac {d}{dt}}\operatorname {tr} (L^{n})=0}$$ ラックス方程式により、特性多項式はこれらのトレースで表すことができるため、スペクトルは流れによって保存される。^{[ 1 ]}

上記の性質は逆散乱法の基礎となる。この方法では、LとPは関数空間（したがってψ = ψ ( t , x )）上で作用し、決定すべき未知の関数u ( t , x )に依存する。一般に、 u (0, x )は既知であり、散乱領域ではPはuに依存しないと仮定される。   ${\displaystyle \|x\|\to \infty .}$ この方法は、以下の形式をとる。

1. スペクトルを計算する${\displaystyle L(0)}$与える${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \psi (0,x).}$
2. 散乱領域では${\displaystyle P}$知られている、伝播する${\displaystyle \psi }$時間内に${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)}$初期条件付き${\displaystyle \psi (0,x).}$
3. 知っている${\displaystyle \psi }$散乱領域で計算する${\displaystyle L(t)}$および/または${\displaystyle u(t,x).}$

ラックス行列がさらに複素パラメータに解析的に依存する場合${\displaystyle z}$（例えばサイン・ゴルドンの場合のように）、変形は等スペクトルであり、方程式は $${\displaystyle \det {\big (}wI-L(z){\big )}=0,}$$ 分析サブセットを定義する${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$座標付き${\displaystyle w,z,}$適切な仮定の下では、特異点を除去した後、曲線となることが多い。等スペクトル性により、この曲線は時間変換の下で保存される。これは、適切なコンパクト化を行った後、スペクトル曲線と呼ばれることが多い。L のzへの依存性が代数的である場合、それは代数曲線である。このような曲線は、ヒッチン系の理論に現れる。^{[ 2 ]}

ゼロ曲率方程式は、一対の行列値関数によって記述される。${\displaystyle A_{x}(x,t),A_{t}(x,t),}$ここで、添え字は導関数ではなく座標インデックスを表します。多くの場合、${\displaystyle (x,t)}$依存関係は単一のスカラー関数を介しています${\displaystyle \varphi (x,t)}$そしてその導関数。ゼロ曲率方程式は次のようになる。 $${\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0.}$$これは曲率テンソル の消失に対応するため、このように呼ばれています。この場合、${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]=-\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]}$これは、従来の表現とはマイナス記号がいくつか異なるが、最終的には重要ではない。

ラックス演算子の固有解については${\displaystyle L}$1つは $${\displaystyle L\psi =\lambda \psi ,\psi _{t}+A\psi =0.}$$ 代わりにこれらを強制すると、${\displaystyle \lambda }$その代わりに、ラックス方程式は過剰決定系に対する整合性方程式として現れる。

ラクロスペア${\displaystyle (L,P)}$接続コンポーネントを定義するために使用できます${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$偏微分方程式がゼロ曲率表現を許容するがラックス方程式表現を許容しない場合、接続成分は${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$これらはラックスペアと呼ばれ、その接続はラックス接続と呼ばれます。

コルテヴェーグ・ド・フリース方程式

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}}$

ラックス方程式として再定式化できる

${\displaystyle L_{t}=[P,L]}$

と

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}$（シュトゥルム＝リウヴィル演算子）

${\displaystyle P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x},}$

ここで、すべての導関数は右辺のすべての対象に作用する。これが、KdV方程式の第一積分が無限に存在する理由である。

前述の例では無限次元ヒルベルト空間を用いたが、有限次元ヒルベルト空間を用いた例も可能である。例えば、コバレフスカヤ・トップや、電場を含む一般化などが挙げられる。${\displaystyle {\vec {h}}}$[ ^{4 ]​}

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1}\\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}},\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3}+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

量子力学のハイゼンベルク描像では、明示的な時間t依存性を持たない観測量A は、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],}$

ここで、Hはハミルトニアン、ħは換算プランク定数である。ある因子を除けば、この描像における観測量（明示的な時間依存性を持たないもの）は、ハミルトニアンとともにラックス対を形成すると考えられる。シュレーディンガー描像は、これらの観測量の等スペクトル進化による別の表現として解釈される。

ラックスペアとして定式化できる連立方程式のその他の例としては、以下のようなものがある。

• ベンジャミン・オノ方程式
• 1次元3次非線形シュレディンガー方程式
• デイヴィー・スチュワートソンシステム
• 接触ラックス対を持つ可積分システム^{[ 5 ]}
• カドムツェフ・ペトヴィアシュヴィリ方程式
• コルテヴェーク・ド・フリース方程式
• KdV階層
• マルチェンコ方程式
• 修正されたコルテヴェーグ・ド・フリース方程式
• サイン・ゴルドン方程式
• 戸田格子
• ラグランジュ、オイラー、コバレフスカヤがトップ
• ベリンスキー・ザハロフ変換、一般相対性理論。

最後の点は注目に値する。なぜなら、シュワルツシルト計量とカー計量の両方がソリトンとして理解できることを示唆しているからである。