特性法

数学において、特性曲線法は特定の偏微分方程式を解くための手法である。通常、この方法は1階微分方程式に適用されるが、一般に双曲型および放物型偏微分方程式に対しても特性曲線を見出すことができる。この方法は、偏微分方程式（PDE）を、適切な超曲面上で与えられた初期データから解を積分できる常微分方程式（ODE）の族に変換するものである。

1 階偏微分方程式の場合、特性曲線法は、偏微分方程式が常微分方程式になるような特性曲線を見つけます。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}常微分方程式が見つかると、特性曲線に沿って解くことができ、元の偏微分方程式の解に変換できます。

N次元線形および準線形偏微分方程式

ここで、次の形式の偏微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).}$

この偏微分方程式が線形であるためには、係数a _{i は}空間変数のみの関数であり、uとは無関係でなければならない。準線形であるためには、^{[ 6 ]} a _{i は}関数の値にも依存するが、導関数には依存しない。この 2 つのケースの区別は、ここでの議論には重要ではない。

線形または準線形偏微分方程式の場合、特性曲線は次のようにパラメトリックに与えられる。

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},u)=(X_{1}(s),\dots ,X_{n}(s),U(s))}$

${\displaystyle u(\mathbf {X} (s))=U(s)}$

一部の単変数関数について${\displaystyle s\mapsto (X_{i}(s))_{i},U(s)}$ 1つの実変数${\displaystyle s}$ 以下の常微分方程式系を満たす

式（4）と（5）は偏微分方程式の特性を示している。

例として、移流方程式を考えてみましょう（この例では、偏微分方程式の表記法と基本的な常微分方程式の解法に精通していることを前提としています）。

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

どこ${\displaystyle a}$は定数であり、${\displaystyle u}$は関数である${\displaystyle x}$そして${\displaystyle t}$この線形1階偏微分方程式を、適切な曲線に沿った常微分方程式に変換したい。つまり、次のような形式にしたい。

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),}$

どこ${\displaystyle (x(s),t(s))}$は特性線です。まず、

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}$

連鎖律により。${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$そして${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$私たちは

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

これは、最初に扱った偏微分方程式の左辺です。したがって

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}$

つまり、特性線に沿って${\displaystyle (x(s),t(s))}$元の偏微分方程式は常微分方程式になる${\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}$つまり、特性曲線に沿って解は一定である。したがって、${\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}$どこ${\displaystyle (x_{s},t_{s})\,}$そして${\displaystyle (x_{0},0)}$これらは同じ特性上に位置する。したがって、一般解を求めるには、常微分方程式の特性系を解いて特性を求めるだけで十分である。

• ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$許可する${\displaystyle t(0)=0}$私たちは知っています${\displaystyle t=s}$、
• ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$許可する${\displaystyle x(0)=x_{0}}$私たちは知っています${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}}$、
• ${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}$許可する${\displaystyle u(0)=f(x_{0})}$私たちは知っています${\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)}$。

この場合、特性線は傾きのある直線です。${\displaystyle a}$、そしてその価値は${\displaystyle u}$どの特性線に沿っても一定に保たれる。

Xを微分可能多様体とし、Pを線形微分作用素とする。

${\displaystyle P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}$

k次。ローカル座標系x ⁱでは、

${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}$

ここでαは多重添え字を表す。Pの主記号σ _Pは、これらの局所座標で定義される余接束T ^∗ X上の関数である。

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }}$

ここで、ξ _iは座標微分dx ⁱによって誘導される余接束上のファイバー座標である。これは特定の座標系を用いて定義されているが、 ξ _iとx ⁱを関連付ける変換法則により、 σ _{P は}余接束上で明確に定義された関数となる。

関数σ _Pは、 ξ変数に関して次数kの同次関数です。T ^∗ Xの零点から離れたσ _Pの零点は、 Pの特性です。方程式F ( x ) = cで定義されるXの超曲面は、次の場合にxにおける特性超曲面と呼ばれます。  

${\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x))=0.}$

常に、特性超曲面とは、共法束がPの特性集合に含まれる超曲面のことである。

特性は、偏微分方程式に関する定性的な洞察を得るための強力なツールでもある。

特性曲線の交点を利用して、圧縮性流体中のポテンシャル流れの衝撃波を求めることができる。直感的には、各特性線は解を意味すると考えることができる。${\displaystyle u}$それ自体に沿って。したがって、2 つの特性が交差すると、関数は多値になり、非物理的な解が生じます。物理的には、この矛盾は衝撃波、接線不連続または弱い不連続の形成によって解消され、初期仮定に違反する非ポテンシャル流をもたらす可能性があります。^{[ 8 ]}

特性曲線が偏微分方程式の定義域の一部をカバーできない場合があります。これは希薄化と呼ばれ、解が通常、弱い、すなわち積分方程式の意味でのみ存在することを示しています。

特性線の方向は、上記の例が示すように、解を通る値の流れを示します。このような知識は、偏微分方程式を数値的に解く際に、どの有限差分法が問題に最適かを判断するのに役立つため、有用です。

• 量子特性法

• クーラント、リチャード；ヒルベルト、デイヴィッド（1962）、『数理物理学の方法、第2巻』、ワイリー・インターサイエンス
• Demidov, SS (1982). 「18世紀および19世紀における1階偏微分方程式の研究」. Archive for History of Exact Sciences . 26 (4). Springer Science and Business Media LLC: 325–350 . doi : 10.1007 /bf00418753 . ISSN 0003-9519 . 
• エヴァンス、ローレンス C. (1998)、偏微分方程式、プロビデンス：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0772-2
• ジョン、フリッツ（1991）。偏微分方程式（第4 版）。ニューヨーク：シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。ISBN 978-0-387-90609-6。
• ザウデラー、エーリッヒ（2006）。応用数学の偏微分方程式。Wiley。doi：10.1002 /9781118033302。ISBN 978-0-471-69073-3。* Polyanin, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
• ピンチョバー、イェフダ；ルービンシュタイン、ジェイコブ（2005）。偏微分方程式入門。ケンブリッジ大学出版局。doi ： 10.1017 / cbo9780511801228。ISBN 978-0-511-80122-8。
• Polyanin, AD (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
• Sarra, Scott (2003)、「特性曲線法とその保存則への応用」、Journal of Online Mathematics and Its Applications
• Streeter, VL; Wylie, EB (1998),流体力学（国際版第9版改訂 版）, McGraw-Hill Higher Education
• ザックマノグルー、EC；トー、デールW.（1986）。偏微分方程式入門とその応用。ニューヨーク：クーリエ・コーポレーション。ISBN 0-486-65251-3。

• スコット・サラ教授による特性曲線法に関するチュートリアル
• アラン・フッド教授による特性曲線法に関するチュートリアル