ラグランジアン力学

物理学において、ラグランジュ力学は、定常作用原理（最小作用原理としても知られる）に基づく古典力学の定式化である。これは、イタリア系フランス人の数学者で天文学者のジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが1760年にトリノ科学アカデミーで発表した際に導入され^{[1] 、1788年に彼の大作で}ある解析力学で最高潮に達した。^[2]

ラグランジュ力学は、機械システムを、配置空間Mとその空間内のラグランジュと呼ばれる滑らかな関数からなるペア( M、L )として記述します。多くのシステムでは、L = T − Vであり、ここでTとV はそれぞれシステムの運動エネルギーと位置エネルギーです。 ^[3] ${\textstyle L}$

定常作用原理は、Lから導かれるシステムの作用関数が、システムの時間発展を通して定常点（最大値、最小値、または鞍点）に留まらなければならないことを要求する。この制約により、ラグランジュ方程式を使用してシステムの運動方程式を計算することができる。^[4]

ニュートンの法則と力の概念は、機械システムについて教える際の通常の出発点です。^[5]この方法は多くの問題に有効ですが、他の問題ではこのアプローチは悪夢のように複雑です。^[6]たとえば、真珠が内部で滑っている水平面上を転がるトーラスの動きを計算する場合、トーラスの角速度などの時間変化する制約力、トーラスに対する真珠の動きにより、ニュートン方程式でトーラスの動きを決定することが困難でした。^[7]ラグランジュ力学は、力ではなくエネルギーを基本要素として採用し、^[5]より複雑な問題に取り組むことができるより抽象的な方程式につながります。^[6]

特に、ラグランジュのアプローチは、すべての物体の位置と速度に独立した一般化座標を設定するというもので、これによりラグランジュの一般形（全運動エネルギーからシステムの位置エネルギーを引いたもの）を記述できるようになり、これを粒子の運動の可能なすべての経路にわたって合計すると「作用」の式が得られ、彼はこれを最小化して一般化された方程式のセットを作成した。この合計量は、粒子が実際にたどる経路に沿って最小化される。この選択により、結果として得られる一般化された方程式系に拘束力を入れる必要がなくなる。特定の瞬間に粒子に及ぼす拘束の影響を直接計算しないため、方程式の数が少なくなる。^[7]

さまざまな物理システムにおいて、質量のある物体のサイズと形状が無視できる場合は、それを点粒子として扱うと簡略化に役立ちます。質量がm ₁、m ₂、...、m _NであるN個の点粒子のシステムでは、各粒子には位置ベクトルがあり、 r ₁、r ₂、...、r _Nと表記されます。多くの場合、直交座標で十分なので、r ₁ = ( x ₁、y ₁、z ₁ )、r ₂ = ( x ₂、y ₂、z ₂ )などとなります。3次元空間では、各位置ベクトルには、点の位置を一意に定義するために 3 つの座標が必要なので、システムの構成を一意に定義するには 3 N 個の座標があります。これらはすべて、粒子を配置するための空間内の特定の点です。空間内の一般的な点は、 r = ( x、y、z )と表記されます。各粒子の速度は、粒子が運動経路に沿って移動する速さであり、位置の 時間微分です。したがって 、ニュートン力学では、運動方程式はニュートンの法則によって与えられます。第 2 法則「正味の力は質量と加速度の積に等しい」は、 各粒子に適用されます。3次元のN粒子システムの場合、粒子の位置に関する 3 N個の 2 次常微分方程式を解く必要があります。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {d\mathbf {r} _{1}}{dt}},\mathbf {v} _{2}={\frac {d\mathbf {r} _{2}}{dt}},\ldots ,\mathbf {v} _{N}={\frac {d\mathbf {r} _{N}}{dt}}.}$$$${\displaystyle \sum \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},}$$

ラグランジアン力学では、力の代わりにシステム内のエネルギーを使用します。ラグランジアン力学の中心となる量はラグランジアンで、これはシステム全体のダイナミクスを要約する関数です。全体として、ラグランジアンにはエネルギーの単位がありますが、すべての物理システムに対応する単一の表現はありません。物理法則に従って正しい運動方程式を生成する関数はすべて、ラグランジアンとして考えることができます。それでも、多くの用途に対して一般的な表現を作成することは可能です。電磁場のない粒子システムの非相対論的ラグランジアンは^、[8] で与えられます。 ここで、 は システムの 全運動エネルギーであり、粒子の運動エネルギーの合計Σ に等しくなります。ラベルの付いた各粒子には質量があり、v _k ² = v _k · v _kは速度の 2 乗の大きさで、速度と粒子自身のドット積に等しくなります。 ^[9]$${\displaystyle L=T-V,}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m_{k},}$

運動エネルギーT はシステムの運動のエネルギーであり、速度v _kのみの関数であり、位置r _kや時間tの関数ではないため、T = T ( v ₁、v ₂、 ...) となります。

システムの位置エネルギーVは、粒子間の相互作用のエネルギー、つまり、任意の 1 つの粒子が他のすべての粒子と外部の影響によってどれだけのエネルギーを持っているかを反映します。保存力(例:ニュートンの重力) の場合、これは粒子の位置ベクトルのみの関数であるため、V = V ( r ₁、r ₂、...) となります。適切なポテンシャル (例:電磁ポテンシャル) から導出できる非保存力の場合、速度も現れ、V = V ( r ₁、r ₂、...、v ₁、v ₂、...) となります。時間とともに変化する外部フィールドまたは外部駆動力がある場合、ポテンシャルは時間とともに変化するため、最も一般的にはV = V ( r ₁、r ₂、...、v ₁、v ₂、...、t ) となります。

すでに述べたように、この形式のLは多くの重要なシステム クラスに適用できますが、どこにでも適用できるわけではありません。相対論的ラグランジアン力学の場合、特殊相対論 (ローレンツ変換の下でのスカラー) または一般相対論 (4 スカラー) と一致する関数に全体を置き換える必要があります。^[10]磁場が存在する場合、位置エネルギーの式を再述する必要があります。^[要出典]また、散逸力 (例:摩擦) の場合、エネルギー損失を説明するために、ラグランジアンとともに「レイリー散逸関数」と呼ばれる別の関数を導入する必要があります。^[11]

1 つ以上の粒子はそれぞれ、1 つ以上のホロノミック制約を受けることがあります。このような制約は、 f ( r、t ) = 0 という形式の方程式で記述されます。システム内の制約の数がCの場合、各制約には方程式f ₁ ( r、t ) = 0、 f ₂ ( r、t ) = 0、 ...、f _C ( r、t ) = 0 があり、それぞれがどの粒子にも適用できます。粒子kが制約iを受ける場合、f _i ( r _k、t ) = 0です。どの瞬間でも、制約された粒子の座標は互いにリンクされており、独立していません。制約方程式は、粒子が移動できる許容パスを決定しますが、すべての瞬間における粒子の位置や速度は決定しません。非ホロノミック制約は、粒子の速度、加速度、または位置の高次導関数に依存します。ラグランジュ力学は、制約条件がすべてホロノミックであるシステムにのみ適用できます。非ホロノミック制約条件の例としては、^[12]制約式が積分不可能な場合、制約条件に不等式がある場合、または制約条件に摩擦などの複雑な非保存力が含まれる場合が挙げられます。非ホロノミック制約条件には特別な扱いが必要であり、ニュートン力学に戻ったり、他の方法を使用したりする必要があるかもしれません。^[13]

TまたはVまたはその両方が、時間によって変化する制約または外部の影響により時間に明示的に依存する場合、ラグランジアンL ( r ₁、r ₂、... v ₁、v ₂、... t )は明示的に時間に依存します。位置エネルギーも運動エネルギーも時間に依存しない場合、ラグランジアンL ( r ₁、r ₂、... v ₁、v ₂、...) は時間から明示的に独立しています。どちらの場合でも、ラグランジアンには、一般化座標を通じて常に暗黙的な時間依存性があります。

これらの定義によれば、第一種ラグランジュ方程式は[ ^14]

ここで、k = 1, 2, ..., N は粒子にラベルを付け、各制約方程式f _iに対してラグランジュ乗数 λ _iがあり、 それぞれが示された変数に関する偏微分∂/∂ のベクトルの省略形です（ベクトル全体に関する微分ではありません）。 ^{[注 1]各オーバードットは}時間微分の省略形です。この手順では、位置座標と乗数に 3 N個の結合した 2 次微分方程式と、 C 個の制約方程式があるため、ニュートンの法則と比較して、解くべき方程式の数が 3 Nから3 N + Cに増えます。ただし、粒子の位置座標と一緒に解くと、乗数から制約力に関する情報が得られます。制約方程式を解くことで座標を削除する必要はありません。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac {\partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}_{k}}}\right)}$$

ラグランジアンでは、位置座標と速度成分はすべて独立変数であり、ラグランジアンの導関数は通常の微分規則に従ってこれらに関して別々に取られます（たとえば、 v _{z ,2} = dz ₂ / dtで定義される粒子 2 のz速度成分に関するLの偏導関数は、単に∂ L /∂ v _{z ,2}です。速度成分を対応する座標z ₂に関連付けるために、扱いにくい連鎖律や全導関数を使用する必要はありません）。

各制約方程式では、1 つの座標が他の座標から決定されるため冗長です。したがって、独立した座標の数はn = 3 N − Cです。各位置ベクトルを、各位置ベクトル (つまり位置座標) を一般化座標と時間の関数として表すことで、n組q = ( q ₁、q ₂、 ... q _n )として便宜的に記述されるn個の一般化座標の 共通セットに変換できます。 $${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} ,t)={\big (}x_{k}(\mathbf {q} ,t),y_{k}(\mathbf {q} ,t),z_{k}(\mathbf {q} ,t),t{\big )}.}$$

ベクトルqは、システムの配置空間内の点である。一般化座標の時間微分は一般化速度と呼ばれ、各粒子の速度ベクトルの変換、つまり時間に関する位置の 全微分は、$${\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}},\quad \mathbf {v} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}.}$$

このv _kが与えられた場合、一般化座標における運動エネルギーは、一般化速度、一般化座標、および時間に依存する（位置ベクトルが時間変動制約により明示的に時間に依存する場合）。${\displaystyle T=T(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t).}$

これらの定義により、オイラー・ラグランジュ方程式、または第二種ラグランジュ方程式^{[15] [16] [17]}

は変分法からの数学的結果であり、力学でも使用できます。ラグランジアンL ( q、 d q /d t、t )を代入すると、システムの運動方程式が得られます。方程式の数は、ニュートン力学と比較して、一般化座標で 3 Nからn = 3 N − Cの結合された 2 次微分方程式に減少しています。これらの方程式には拘束力がまったく含まれていないため、非拘束力のみを考慮する必要があります。

運動方程式には偏導関数が含まれていますが、偏導関数の結果は、粒子の位置座標における常微分方程式のままです。 d/d tで示される全時間導関数には、暗黙の微分が含まれることがよくあります。 どちらの方程式もラグランジアンでは線形ですが、一般に座標では非線形の結合方程式です。

簡単にするために、ニュートンの法則は、一般性をあまり失うことなく 1 つの粒子について示すことができます ( N個の粒子のシステムでは、これらの方程式はすべてシステム内の各粒子に適用されます)。一定質量mの粒子の運動方程式は、1687 年のニュートンの第 2 法則を現代のベクトル表記で表した ものです。 ここで、 aは粒子の加速度、F は粒子に作用する合力です。質量が変化するところでは、運動量の時間微分を取るために方程式を一般化する必要があります。3 つの空間次元では、このベクトル方程式には 3 つの要素があるため、解くべき 3 つの結合した 2 次常微分方程式のシステムになります。解は、 t = 0 のときのrとvの初期条件に従う、時間tにおける粒子の位置ベクトルrです。$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$

ニュートンの法則は直交座標では簡単に使用できますが、直交座標は必ずしも便利ではなく、他の座標系では運動方程式が複雑になることがあります。曲線座標のセット ξ = ( ξ ¹、ξ ²、ξ ³ ) では、テンソル指数表記の法則は「ラグランジアン形式」です^{[18] [19]。} ここで、F ^aは粒子に作用する合力のa番目の反変成分、 Γ ^a _bcは第 2 種の クリストッフェル記号、 は粒子の運動エネルギー、g _{bc は曲線座標系の}計量テンソルの共変成分です。すべての指数a、b、cはそれぞれ 1、2、3 の値を取ります。曲線座標は一般化座標と同じではありません。 $${\displaystyle F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^{a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right),\quad {\dot {\xi }}^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}},}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}}$$

ニュートンの法則をこの形にするのは複雑すぎるように思えるかもしれないが、利点もある。クリストッフェル記号で表される加速成分は、代わりに運動エネルギーの導関数を評価することで避けることができる。粒子に作用する合力がない場合、F = 0、粒子は加速せず、等速直線上を移動します。数学的には、微分方程式の解は測地線、つまり空間内の 2 点間の極値長の曲線です (これらは最終的に最小、つまり最短経路になることもありますが、必ずしもそうとは限りません)。平坦な 3D 実空間では、測地線は単なる直線です。したがって、自由粒子の場合、ニュートンの第 2 法則は測地線方程式と一致し、自由粒子は測地線、つまり粒子が移動できる極値軌道に従うと述べています。粒子が力F ≠ 0の影響を受ける場合、粒子は作用する力によって加速し、自由であれば従う測地線から外れます。ここで平坦な3次元空間で与えられた量を4次元の曲がった時空に適切に拡張すると、上記のニュートンの法則の形はアインシュタインの一般相対性理論にも引き継がれ、その場合、自由粒子はもはや通常の意味での「直線」ではない曲がった時空内の測地線に従います。^[20]

しかし、粒子に作用する合力Fの総和を知る必要があり、それには合力非拘束力Nと合力拘束力Cが必要である。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} .}$$

制約力は一般に時間に依存するため、複雑になる可能性があります。また、制約がある場合、曲線座標は独立ではなく、1 つ以上の制約方程式によって関連付けられます。

拘束力は運動方程式から除去して非拘束力のみを残すことも、拘束方程式を運動方程式に含めることによって含めることもできます。

解析力学における基本的な結果はダランベールの原理である。これは1708年にジャック・ベルヌーイが静的平衡を理解するために導入し、 1743年にダランベールが動的問題を解くために発展させたものである。^{[21]この原理は}N個の粒子に対して仮想仕事、すなわち仮想変位δ r _kに沿った仕事はゼロであると主張している。^[9] $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.}$$

仮想変位δ r _kは、定義により、ある瞬間にシステムに作用する拘束力と一致するシステムの構成の微小な変化です^{[22] 、}つまり、拘束力が拘束された運動を維持するような変化です。これらは、粒子を加速して移動させるために粒子に作用する合力の拘束力と非拘束力によって引き起こされるシステム内の実際の変位と同じではありません。^{[nb 2]} 仮想仕事とは、任意の力（拘束力または非拘束力）に対して仮想変位に沿って行われる仕事です。

拘束力はシステム内の各粒子の運動に対して垂直に作用して拘束を維持するため、システムに作用する拘束力による全仮想仕事はゼロである: ^{[23] [nb 3]} 。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0,}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.}$$

このようにダランベールの原理により、拘束されていない力のみに集中し、運動方程式から拘束力を除外することができます。^{[24] [25]}示されている形式は、座標の選択にも依存しません。ただし、変位δ r _{k は}拘束方程式によって接続されている可能性があり、 N個の個々の加数を 0 に設定できないため、任意の座標系で運動方程式を設定するために簡単に使用することはできません。したがって、個々の加数が 0 の場合にのみ合計が 0 になる、相互に独立した座標系を求めます。各加数を 0 に設定すると、最終的に分離された運動方程式が得られます。

粒子kに制約がある場合、位置の座標r _k = ( x _k , y _k , z _k )は制約方程式によって結び付けられるため、仮想変位 δ r _k = ( δx _k , δy _k , δz _k )の座標も制約方程式によって結び付けられます。一般化座標は独立しているため、一般化座標の仮想変位に変換することでδ r _kの複雑さを回避できます。これらは、全微分と同じ形式で関連しています。^[9] $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$$

これは仮想的な変位であり、ある瞬間の制約に沿った変位であるため、時間に時間増分を乗じた値に関して部分的な時間微分は存在しません。

上記のダランベールの原理の最初の項は、仮想変位δ r _kに沿った非拘束力N _kによって行われる仮想仕事であり、一般性を失うことなく、一般化された力の定義によって一般化された類似物に変換できる ため、 $${\displaystyle Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}},}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}Q_{j}\delta q_{j}.}$$

これは一般化座標への変換の半分です。残っているのは加速度項を一般化座標に変換することですが、これはすぐには分かりません。ニュートンの第2法則のラグランジュ形式を思い出すと、一般化座標と速度に関する運動エネルギーの偏微分が求められ、望ましい結果が得られます。^[9] $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}.}$$

ダランベールの原理は、要求どおりに一般化座標系で表され 、これらの仮想変位δq _jは独立かつ非ゼロであるため、係数はゼロと等しくすることができ、ラグランジュ方程式^{[26] [27]}または一般化運動方程式^[28]が得られる。$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\right]\delta q_{j}=0,}$$ $${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}}$$

これらの方程式は、非拘束力に対するニュートンの法則と同等である。この方程式の一般化された力は、非拘束力のみから導かれる。拘束力はダランベールの原理から除外されており、見つける必要はない。一般化された力は、ダランベールの原理を満たす限り、非保存的であってもよい。^[29]

速度に依存する非保存力の場合、位置と速度に依存するポテンシャルエネルギー関数Vを見つけることができるかもしれません。一般化された力Q _iがポテンシャルVから導かれ、 ^{[31] [32]} ラグランジュ方程式に等しく、ラグランジアンをL = T − Vと定義すると、第2種のラグランジュ方程式またはオイラー・ラグランジュの運動 方程式が得られます。 $${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0.}$$

ただし、オイラー・ラグランジュ方程式は、図のようにポテンシャルが見つかる場合にのみ、非保存力を考慮することができます。これは、非保存力に対して常に可能であるとは限りません。また、ラグランジュ方程式にはポテンシャルは含まれず、一般化された力のみが含まれるため、オイラー・ラグランジュ方程式よりも一般的です。

オイラー・ラグランジュ方程式も変分法から導かれる。ラグランジアン 変分はLの全微分 に似た形をしているが、仮想変位とその時間微分が微分に置き換わり、仮想変位の定義に従って時間増分はない。時間に関する部分積分はδq _jの時間微分を ∂ L /∂(d q _j /d t ) に転送することができ、その過程で d( δq _j )/d tがδq _jに交換され、独立した仮想変位をラグランジアンの微分から因数分解することができる。 $${\displaystyle \delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right),\quad \delta {\dot {q}}_{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j})}{\mathrm {d} t}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$$

ここで、条件δq _j ( t ₁ ) = δq _j ( t ₂ ) = 0がすべてのjに対して成立する場合、積分されない項はゼロになります。さらに、δLの時間積分全体がゼロである場合、δq _{j は}独立であり、定積分がゼロになる唯一の方法は被積分関数がゼロに等しい場合であるため、 δq _jの各係数もゼロでなければなりません。次に、運動方程式を取得します。これは、ハミルトンの原理によって要約できます。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0.}$$

ラグランジアンの時間積分は作用と呼ばれる別の量であり、^[33] で定義され、 関数である。これは、 t ₁からt ₂までのすべての時間についてラグランジアン関数を取り込み、スカラー値を返す。その次元は、[角運動量]、[エネルギー] · [時間]、または [長さ]·[運動量]と同じである。この定義では、ハミルトンの原理は次のようになる。 $${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t,}$$$${\displaystyle \delta S=0.}$$

加えられた力に応じて粒子が加速すると考える代わりに、配置空間内の経路の終点が最初と最後の時間に固定された状態で、粒子が静止した作用で経路を選択すると考えることもできる。ハミルトンの原理は、いくつかの作用原理の1つである。^[34]

歴史的に、力を受けて粒子がたどることができる最短経路を見つけるというアイデアは、1696年にジャン・ベルヌーイによって解決された最速降下問題、および同時期にライプニッツ、ダニエル・ベルヌーイ、ロピタル、そして翌年にニュートンによって解決された変分法などの力学問題への最初の応用の動機となりました。 ^[35]ニュートン自身も変分法に沿って考えていましたが、出版しませんでした。^[35]これらのアイデアは、フェルマー、モーペルテュイ、オイラー、ハミルトンなどの力学の変分原理につながりました。

ハミルトンの原理は、制約方程式を座標における一次微分の線形結合という特定の形式にまとめることができれば、非ホロノミック制約にも適用できる。結果として得られる制約方程式は、一次微分方程式に再構成することができる。^[36]ここでは説明しない。

ラグランジアンLは、 N個の粒子に対して、直交座標r _k座標で変化させることができる。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.}$$

ハミルトンの原理は、 Lが表現される座標が独立でなくても（ここではr _k ） 、依然として有効であるが、制約は依然としてホロノミックであると仮定される。^[37]いつものように、端点はすべての k に対して δ r k ( t 1 ) = δ r k ( t 2 ) = 0 に固定される。δ r kは独立で_はないため_、単純にδ _r kの_係数をゼロに_等しくすることはできない。代わりに、ラグランジュ乗数法を使用し_て制約を含めることができる。各制約方程式f _i ( r _k , t ) = 0にi = 1, 2, ..., Cのラグランジュ乗数λ _{i を}乗じ、その結果を元のラグランジアンに加えると、新しいラグランジアンが得られる。 $${\displaystyle L'=L(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}(t)f_{i}(\mathbf {r} _{k},t).}$$

ラグランジュ乗数は時間tの任意の関数であるが、座標r _kの関数ではないため、乗数は位置座標と同等である。この新しいラグランジアンを変化させ、時間に関して積分すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L'\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.}$$

導入された乗数は、 r _kが独立でなくても、δ r _kの係数がゼロになるように見つけることができます。運動方程式は次のようになります。前の分析から、この積分の解を得ることは、第一種ラグランジュ方程式 であるステートメントと同等です 。また、新しいラグランジアンに対するλ _iオイラー-ラグランジュ方程式は、制約方程式を返します。 $${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \lambda _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\lambda }}_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)=0.}$$

r _k座標のみの関数であるポテンシャルエネルギーVの勾配によって与えられる保存力の場合、ラグランジアンL = T − Vを代入して運動エネルギーの微分を（負の）合力として識別し 、ポテンシャルの微分を非拘束力に等しくすると、拘束力は 拘束方程式とラグランジュ乗数によって明示的に与えられることがわかります。 $${\displaystyle \underbrace {{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}} _{-\mathbf {F} _{k}}+\underbrace {-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{k}}}} _{\mathbf {N} _{k}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,}$$$${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}},}$$

与えられたシステムのラグランジアンは一意ではない。ラグランジアンL は非ゼロ定数aで乗算され、任意の定数bでシフトされ、新しいラグランジアンL ′ = aL + bはLと同じ動きを記述する。上記のように、与えられた時間間隔[ t _st、t _fin ] } にわたる軌道qと固定された端点P _st = q ( t _st )およびP _fin = q ( t _fin )に制限すると、同じシステムを記述する 2 つのラグランジアンは関数f ( q、t )の「全時間微分」によって異なる可能性がある。^[38] ここで、は $${\displaystyle L'(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)+{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}},}$$${\textstyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}}$${\textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}.}$

ラグランジアンLとL ′は両方とも同じ運動方程式を生成します^{[39] [40]。}これは対応する作用SとS ′が、 qに依存しない 最後の2つの成分f ( P _fin、t _fin )とf ( P _st、t _st )を介して関連しているためです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S'[\mathbf {q} ]&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt\\&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt+\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} (t),t)}{\mathrm {d} t}}\,dt\\&=S[\mathbf {q} ]+f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})-f(P_{\text{st}},t_{\text{st}}),\end{aligned}}}$$

一般化座標qが与えられたとき、これらの変数を点変換Q = Q ( q , t )に従って新しい一般化座標Qに変換すると、これはq = q ( Q , t )と逆変換でき、新しいラグランジアンL ′ は新しい座標の関数となり 、偏微分に関する連鎖律 により、ラグランジュ方程式はこの変換に対して不変である。^[41] $${\displaystyle L'(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=L(\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,t),{\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t),t),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial Q_{i}}}.}$$

これにより、運動方程式が簡素化される可能性があります。

ラグランジアンの重要な性質は、保存量が簡単に読み取れることである。座標q _iに「正準共役な」一般化運動量は次のように定義される。 $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$$

ラグランジアンL が何らかの座標q _iに依存しない場合、オイラー・ラグランジュ方程式から、次の式が直ちに導かれ 、積分すると、対応する一般化運動量が定数、つまり保存量に等しいことが示される。これは、ノイマンの定理の特殊なケースである。このような座標は、「巡回」または「無視可能」と呼ばれる。 $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$$

たとえば、あるシステムには、 rとzが直線に沿った長さ、 sが何らかの曲線に沿った弧の長さ、θとφ が角度であるラグランジアンがあるとします。z、s、φ は、その速度がラグランジアンに存在していても、すべて存在しないことに注意してください。この場合、運動量は すべて保存量です。各一般化運動量の単位と性質は、対応する座標によって異なります。この場合、p _zはz方向の並進運動量、p _sも曲線sが測定される並進運動量、p _{φ は}角度φが測定される平面内の角運動量です。システムの動きがどんなに複雑でも、すべての座標と速度は、これらの運動量が保存されるように変化します。 $${\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {s}},{\dot {z}},{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }},t),}$$$${\displaystyle p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}},\quad p_{s}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}},\quad p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}},}$$

ラグランジアンが与えられた場合、対応する機械システムのハミルトニアンは定義により、 一般化座標が自然座標である場合、つまり位置ベクトルを表現するときに明示的な時間依存性がない場合、この量はエネルギーに等しくなります。 から: ここで、は導出のために定義された対称行列です。 ${\displaystyle L,}$$${\displaystyle H={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}-L.}$$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},\cdots ,q_{n})}$$${\displaystyle T={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}={\frac {m}{2}}\left(2\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)=2T}$$ $${\displaystyle H=\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-L=2T-(T-V)=T+V=E}$$${\displaystyle a_{ij}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}}$

どの時点tにおいても、エネルギーは配置空間座標の変化q → Qに対して不変です。つまり、(自然座標を使用) この結果の他に、以下の証明は、このような座標の変化に対して、導関数が線形形式の係数として変化することを示しています。 $${\displaystyle E(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=E(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t).}$$${\displaystyle \partial L/\partial {\dot {q}}_{i}}$

ラグランジアン力学では、ラグランジアンが明示的に時間に依存しない場合にのみ、システムは閉じています。エネルギー保存則は、閉じたシステムのエネルギーは運動の積分であると規定しています。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$

より正確には、q = q ( t )を極値とします。（言い換えると、q はオイラー・ラグランジュ方程式を満たします）。この極値に沿ってLの全時間微分をとり、EL方程式を使用すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dL}{dt}}&={\dot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\ddot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}\\-{\frac {\partial L}{\partial t}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}+{\ddot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}-{\dot {L}}\\-{\frac {\partial L}{\partial t}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\mathbf {\dot {q}} -L\right)={\frac {dH}{dt}}\end{aligned}}}$$

ラグランジアンL が時間に明示的に依存しない場合、∂ L /∂ t = 0となり、H は粒子の時間発展、つまり運動の積分によって変化しません。したがって 、選択された座標が自然座標であれば、エネルギーは保存されます。 $${\displaystyle H(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)={\text{constant of time}}.}$$

これらすべての状況下で、^[42]定数 はシステムの全エネルギーです。運動エネルギーと位置エネルギーはシステムが進化するにつれて変化しますが、システムの運動はそれらの合計、つまり全エネルギーが一定になるように行われます。これは貴重な単純化です。なぜなら、エネルギーEは積分定数であり、問​​題の任意の定数としてカウントされるため、このエネルギー関係か​​ら速度を積分して座標を解くことができる可能性があるからです。 $${\displaystyle E=T+V}$$

位置エネルギーが座標の同次関数で時間に依存しない場合、 ^[43]すべての位置ベクトルが同じ非ゼロ定数αでスケーリングされ、r _k ′ = α r _kとなり、 時間が係数β でスケーリングされ、t ′ = βtとなると、速度v _{k は}係数α / βでスケーリングされ、運動エネルギーTは( α / β ) ²でスケーリングされます。ラグランジアン全体が同じ係数でスケーリングされている場合、 $${\displaystyle V(\alpha \mathbf {r} _{1},\alpha \mathbf {r} _{2},\ldots ,\alpha \mathbf {r} _{N})=\alpha ^{N}V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}$$$${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}=\alpha ^{N}\quad \Rightarrow \quad \beta =\alpha ^{1-{\frac {N}{2}}}.}$$

長さと時間がスケール化されているため、システム内の粒子の軌道は、大きさは異なるものの、幾何学的に類似した経路をたどります。元の軌道で時間tで通過した長さlは、新しい軌道で時間t ′で通過した新しい長さl ′に対応し、次の比で与えられます。 $${\displaystyle {\frac {t'}{t}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {N}{2}}}.}$$

あるシステムにおいて、2つのサブシステムAとBが相互作用しない場合_、システム全体のラグランジアン_{LはサブシステムのラグランジアンLAとLB}の合計となる。 [ 38 ^] $${\displaystyle L=L_{A}+L_{B}.}$$

もし相互作用するなら、これは不可能である。状況によっては、システムLのラグランジアンを、相互作用しないラグランジアンの合計と、相互作用に関する情報を含む 別のラグランジアンL _{ABに分離することが可能な場合がある。}$${\displaystyle L=L_{A}+L_{B}+L_{AB}.}$$

これは、相互作用しないラグランジアンを運動エネルギーのみと見なし、相互作用するラグランジアンをシステム全体の位置エネルギーと見なすことによって物理的に動機付けられる可能性があります。また、相互作用が無視できる極限ケースでは、L _{AB は}ゼロに近づき、上記の相互作用しないケースに還元されます。

2 つ以上の相互作用しないサブシステムへの拡張は簡単です。全体のラグランジアンは、各サブシステムの個別のラグランジアンの合計です。相互作用がある場合は、相互作用ラグランジアンを追加できます。

オイラー-ラグランジュ方程式から次のことがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\\&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial q_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {dq_{j}}{dt}}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {d{\dot {q}}_{j}}{dt}}+{\frac {\partial L}{\partial t}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\\&\sum _{j}W_{ij}(q,{\dot {q}},t){\ddot {q}}_{j}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}-\sum _{j}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{i}\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j},\\\end{aligned}}}$$

ここで行列は と定義される。行列が正則であれば、上記の方程式を解いて をの関数として表すことができる。行列が逆行列でない場合、すべてのを の関数として表すことはできないが、ハミルトン運動方程式は標準形を取らない。^[44]${\displaystyle W_{ij}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{i}\partial {\dot {q}}_{j}}}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\ddot {q}}}$${\displaystyle ({\dot {q}},q,t)}$${\displaystyle {\ddot {q}}}$${\displaystyle ({\dot {q}},q,t)}$

次の例では、第 2 種のラグランジュ方程式を機械問題に適用します。

質量mの粒子はスカラーポテンシャルの勾配∇から導かれる保存力の影響下で運動する。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(\mathbf {r} ).}$$

より多くの粒子がある場合、上記の結果に従って、総運動エネルギーはすべての粒子の運動エネルギーの合計となり、ポテンシャルはすべての座標の関数となります。

粒子のラグランジアンは次のように書ける。 $${\displaystyle L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-V(x,y,z).}$$

粒子の運動方程式は、x座標 にオイラー・ラグランジュ方程式を適用して求められ 、 導関数 も適用されます。y座標とz座標 についても同様です。方程式をベクトル形式で集めると、保存力を受ける粒子のニュートンの運動の第二法則 がわかります 。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial x}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}},\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}},}$$$${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},}$$$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\boldsymbol {\nabla }}V}$$

物理学で一般的に使用される球面座標( r、θ、φ ) (ISO 80000-2:2019 規則) を使用すると、 rは原点からの半径距離、θは極角 (余緯度、天頂角、法線角、または傾斜角とも呼ばれる)、φは方位角となり、中心ポテンシャルのラグランジアンは次のようになります。 したがって、球面座標では、オイラー–ラグランジュ方程式は次のようになります 。 φ座標はラグランジアンには現れないため巡回的であり、したがってシステムで保存される運動量は、 r、θ 、およびdφ / dt がすべて時間とともに変化できる角運動量 ですが、 p _φが一定である場合に限られます。 $${\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r).}$$$${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {\partial V}{\partial r}}=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0.}$$$${\displaystyle p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }},}$$

2次元極座標のラグランジアンは、θ を定数値π /2 に固定することによって復元されます。

質量m、長さℓの振り子を考えます。この振り子は質量Mの支持台に取り付けられており、 -方向に直線に沿って移動できます。を支持台の直線に沿った座標とし、振り子の位置を垂直からの 角度で表します。振り子の重りの座標と速度成分は、${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{array}{rll}&x_{\mathrm {pend} }=x+\ell \sin \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {x}}_{\mathrm {pend} }={\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \\&y_{\mathrm {pend} }=-\ell \cos \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {y}}_{\mathrm {pend} }=\ell {\dot {\theta }}\sin \theta .\end{array}}}$$

一般化座標は ととすることができる。すると、システムの運動エネルギーは となり 、位置エネルギーは ラグランジアン を与える。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{\mathrm {pend} }^{2}+{\dot {y}}_{\mathrm {pend} }^{2}\right)}$$$${\displaystyle V=mgy_{\mathrm {pend} }}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}L&=&T-V\\&=&{\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mg\ell \cos \theta \\&=&{\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}+m{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mg\ell \cos \theta .\end{array}}}$$

ラグランジアンには xがないので、巡回座標である。保存される運動量は 、そして支持座標のラグランジュ方程式は、 $${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m\ell {\dot {\theta }}\cos \theta ,}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle (M+m){\ddot {x}}+m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta -m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0.}$$

角度θのラグランジュ方程式は 、簡略化すると $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[m({\dot {x}}\ell \cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }})\right]+m\ell ({\dot {x}}{\dot {\theta }}+g)\sin \theta =0;}$$$${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {x}}{\ell }}\cos \theta +{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.}$$

これらの方程式は非常に複雑に見えるかもしれませんが、ニュートンの法則でこれらを見つけるには、すべての力を注意深く特定する必要があり、それははるかに面倒で間違いを起こしやすいものだったでしょう。極限の場合を考慮すると、このシステムの正しさを検証できます。たとえば、は、何らかの慣性系内で静止している単純な振り子の運動方程式を与えるはずですが、 は常に加速しているシステム 内の振り子の方程式を与えるはずです。さらに、適切な開始条件と選択した時間ステップが与えられれば、結果を で反復的にステップ実行することで、結果を数値的に取得することは簡単です。 ${\displaystyle {\ddot {x}}\to 0}$${\displaystyle {\ddot {\theta }}\to 0}$

位置ベクトルr ₁とr ₂を持つ質量m ₁とm ₂の 2 つの物体は、中心引力ポテンシャルVにより互いの周りを公転しています。位置座標でラグランジアンをそのまま記述することもできますが、2 体問題を 1 体問題に変換する手順は次のように確立されています。ヤコビ座標、つまり物体間の距離r = r ₂ − r ₁と質量中心の位置R = ( m ₁ r ₁ + m ₂ r ₂ )/( m ₁ + m ₂ )を導入します。するとラグランジアンは次のようになります^{[45] [46] [nb 4]。} ここでM = m ₁ + m ₂は全質量、μ = m ₁ m ₂ /( m ₁ + m ₂ )は換算質量、V は距離の大きさ| r | = |のみに依存するラジアル力のポテンシャルです。 r ₂ − r ₁ |。ラグランジアンは質量中心項L _cmと相対運動項L _relに分割されます。 $${\displaystyle L=\underbrace {{\frac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}} _{L_{\text{cm}}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(|\mathbf {r} |)} _{L_{\text{rel}}}}$$

Rのオイラー・ラグランジュ方程式は、 質量の中心が一定速度で直線上を移動することを示す 単純な方程式です 。$${\displaystyle M{\ddot {\mathbf {R} }}=0,}$$

相対運動は分離の大きさにのみ依存するため、極座標（r、θ）を使用し、r = | r |とするのが理想的です。 したがって、 θは対応する保存された（角）運動量を持つ周期座標です。 $${\displaystyle L_{\text{rel}}={\frac {1}{2}}\mu \left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-V(r),}$$$${\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L_{\text{rel}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\mu r^{2}{\dot {\theta }}=\ell .}$$

半径座標rと角速度d θ /d tは時間とともに変化しますが、 ℓが一定である限り変化します。rのラグランジュ方程式は $${\displaystyle \mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {dV}{dr}}=\mu {\ddot {r}}.}$$

この方程式は、ニュートンの法則を用いて共回転参照系、つまり縮減された質量とともに回転し、静止しているように見える系で得られる動径方程式と同一である。この動径方程式^{[47]から角速度}d θ /d tを消去すると、これは質量μ の粒子が内向きの中心力−d V /d rと、この文脈では（ラグランジュ）遠心力と呼ばれる第2の外向きの力を受ける1次元の問題の運動方程式である（遠心力#用語のその他の用法を参照）。 $${\displaystyle \mu {\ddot {r}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}+{\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}.}$$$${\displaystyle F_{\mathrm {cf} }=\mu r{\dot {\theta }}^{2}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}.}$$

もちろん、完全に 1 次元の定式化にとどまる場合、ℓ は外部の外向きの力の課されたパラメータとしてのみ入力され、角運動量としてのその解釈は、1 次元の問題の起源であるより一般的な 2 次元の問題に依存します。

ニュートン力学を共回転フレームで使用してこの式に到達した場合、そのフレーム内の遠心力はフレーム自体の回転によるものであると解釈するのは明らかです。一般化座標( r , θ )を使用し、フレームについてまったく考えずにラグランジアン定式化に従って直接この式に到達した場合、遠心力は極座標の使用から生じたものであると解釈されます。ヒルデブラントは次のように述べています。^[48]

「このような量は真の物理的力ではないため、慣性力と呼ばれることが多い。慣性力の有無は、特定の問題ではなく、選択した座標系によって決まる。」特に、直交座標を選択した場合、遠心力は消え、定式化には中心力のみが含まれるようになり、曲線運動の 向心力を提供します。

架空の力が座標の選択から生じるというこの見解は、ラグランジュ法の利用者によってしばしば表明される。この見解は、ラグランジュのアプローチでは自然に生じる。なぜなら、座標の選択によって参照フレームが（おそらく無意識に）選択されるからである。例えば、慣性参照フレームと非慣性参照フレームにおけるラグランジュ関数の比較については、 ^{[49] を参照のこと。また、「全体」および「更新」ラグランジュ定式化に関する議論も参照のこと。 [50]}残念ながら、この「慣性力」の使用は、ニュートンの慣性力の考え方と矛盾する。ニュートンの見解では、慣性力は座標系の選択から生じるのではなく、観測フレームの加速から生じる（慣性参照フレームではないという事実から生じる）。物事を明確にするために、ラグランジュの慣性力を一般化慣性力と呼び、ニュートンのベクトル慣性力と区別するのが最も安全である。つまり、ヒルデブランドが「我々は常に一般化された力、速度、加速度、運動量を扱っています。簡潔にするために、形容詞「一般化された」は頻繁に省略します」と述べている（155 ページ）。

システムのラグランジアンは一意ではないことが知られています。ラグランジアン形式論では、ニュートンの架空の力は、架空の力が消える代替ラグランジアンの存在によって識別することができ、システムの対称性を利用して発見されることもあります。^[51]

散逸（すなわち非保存システム）も、自由度をある一定の倍数にして定式化された有効ラグランジアンで扱うことができる。^{[52] [53] [54] [55]}

より一般的な定式化では、力は保存力と粘性力の両方を持つ可能性がある。適切な変換がFiから見つかる場合、レイリーは_次のような形の散逸関数Dを使用することを提案している。[ 56 ]ここ^で C jk_は物理システムの減衰係数に関連する定数であるが、必ずしもそれらと等しいとは限らない。Dがこのように定義されると、 [ ^56] および $${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},}$$ $${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0.}$$

テスト粒子とは、質量と電荷が非常に小さいと想定される粒子で、外部システムへの影響は重要ではありません。テスト粒子は、多くの場合、質量と電荷以外の特性を持たない、単純化された仮想的な点粒子です。電子やアップクォークなどの実際の粒子はより複雑で、ラグランジアンに追加の項があります。場は非保存的ポテンシャルを形成できるだけでなく、これらのポテンシャルは速度に依存することもあります。

電磁場と相互作用する電荷qを持つ荷電粒子のラグランジアンは、速度依存ポテンシャルの典型的な例です。電気スカラーポテンシャルϕ = ϕ ( r , t )と磁気ベクトルポテンシャルA = A ( r , t ) は、電場E = E ( r , t )と磁場B = B ( r , t )から次のように定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\quad \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$$

電磁場中の質量のある荷電粒子のラグランジアンは、 最小結合と 呼ばれます。これは、ラグランジアンが運動エネルギーから位置エネルギーを引いたものであるという一般的な経験則が間違っている良い例です。オイラー・ラグランジュ方程式と組み合わせると、ローレンツ力の法則 が生成されます。$${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+q\,{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} -q\phi ,}$$$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} }$$

ゲージ変換では、 f ( r , t ) が空間と時間の任意のスカラー関数である 場合、前述のラグランジアン は次のように変換されます 。これにより、同じローレンツ力の法則が生成されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}f,\quad \phi \rightarrow \phi -{\dot {f}},}$$$${\displaystyle L\rightarrow L+q\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)f=L+q{\frac {df}{dt}},}$$

正準運動量（位置rに共役）は運動運動量にAフィールドからの寄与（潜在的運動量と呼ばれる） を加えたものであることに注意してください。$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} .}$$

この関係は、量子力学と量子場の理論における最小結合規定にも使用されます。この表現から、正準運動量p はゲージ不変ではなく、したがって測定可能な物理量ではないことがわかります。ただし、 rが巡回している場合（つまり、ラグランジアンが位置rに依存していない場合）、これはϕフィールドとAフィールドが均一である場合に発生しますが、ここで与えられたこの正準運動量p は保存された運動量ですが、測定可能な物理的な運動量m v は保存された運動量ではありません。

ラグランジアン力学の考え方は物理学の他の分野にも数多く応用されており、変分法からの一般化された結果を採用することができます。

古典力学の密接に関連する定式化はハミルトン力学です。ハミルトニアンは次のように定義され 、ラグランジアンに対してルジャンドル変換 を行うことで得られます。ルジャンドル変換では、元の変数に正準共役な新しい変数が導入されます。たとえば、一般化座標のセットが与えられた場合、正準共役な変数は一般化運動量です。これにより変数の数は 2 倍になりますが、微分方程式は 1 次になります。ハミルトニアンは、量子力学において特によく見られる量です( 「ハミルトニアン (量子力学) 」を参照)。 $${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L}$$

ルーシアン力学はラグランジアン力学とハミルトン力学のハイブリッド定式化であり、実際にはあまり使用されませんが、巡回座標に対しては効率的な定式化です。

オイラー・ラグランジュ方程式は、一般化座標ではなく一般化運動量で定式化することもできます。一般化座標ラグランジアンL ( q , d q /d t , t )にルジャンドル変換を実行すると、元のラグランジアンによる一般化運動量ラグランジアンL ′( p , d p /d t , t )と、一般化運動量による EL 方程式が得られます。両方のラグランジアンに同じ情報が含まれており、どちらを使用してもシステムの運動を解くことができます。実際には、一般化座標の方が一般化運動量よりも使用および解釈が便利です。

一般化座標の導関数を1次のみに制限する数学的根拠はない。より高次の導関数を含むラグランジアンに対して修正されたEL方程式を導くことは可能である。詳細はオイラー・ラグランジュ方程式を参照のこと。しかし、物理的観点からは、1次よりも高い時間導関数を含めることには障害がある。これは、オストログラツキーによる非退化高次導関数ラグランジアンに対する標準形式の構築によって暗示されている。オストログラツキー不安定性を参照のこと。

ラグランジュ力学は、変分原理を媒体内の光線に適用することで幾何光学に適用でき、EL方程式を解くことで光線がたどる経路の方程式が得られます。

ラグランジアン力学は、特殊相対性理論と一般相対性理論で定式化できます。ラグランジアン力学のいくつかの特徴は相対論的理論に保持されていますが、他の点ではすぐに困難が生じます。特に、EL方程式は同じ形式を取り、巡回座標と運動量保存の関係は依然として適用されますが、ラグランジアンは修正する必要があり、粒子の運動エネルギーから位置エネルギーを引いただけのものではありません。また、多粒子系を明白に共変な方法で処理するのは簡単ではありませんが、特定の参照フレームが選択されれば可能になる場合があります。

量子力学では、作用と量子力学的位相はプランク定数を介して関連しており、定常作用の原理は波動関数の建設的干渉の観点から理解することができます。

1948年、ファインマンは最小作用の原理を電子と光子の量子力学に拡張した経路積分定式化を発見した。この定式化では、粒子は初期状態と最終状態の間のあらゆる可能な経路をたどり、特定の最終状態の確率はそこに至るすべての可能な軌道を合計することで得られる。古典的領域では、経路積分定式化はハミルトンの原理と光学におけるフェルマーの原理をきれいに再現する。

ラグランジュ力学では、一般化座標はシステムの構成を定義する離散的な変数の集合を形成します。古典的な場の理論では、物理システムは離散的な粒子の集合ではなく、3D 空間の領域で定義された連続的な場ϕ ( r , t )です。場と関連しているのは、場所rと時間t における場とその空間および時間の導関数によって定義されたラグランジュ密度 です。粒子の場合と同様に、非相対論的アプリケーションでは、ラグランジュ密度は場の運動エネルギー密度からその位置エネルギー密度を引いたものでもあります (これは一般には当てはまらず、ラグランジュ密度は「リバース エンジニアリング」する必要があります)。ラグランジアンは、3D 空間でのラグランジュ密度の 体積積分であり 、 d ³ r は3D微分体積要素です。ラグランジアン密度は場を介して暗黙的な空間依存性を持ち、明示的な空間依存性を持つ場合もあるため、ラグランジアンは時間の関数ですが、積分ではこれらは除去され、ラグランジアンの変数として時間のみが残ります。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,{\dot {\phi }},\mathbf {r} ,t)}$$$${\displaystyle L(t)=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$$

作用原理とラグランジアン形式論は、物理的保存量を物理システムの 連続対称性と結び付けるノイマンの定理と密接に結びついています。

ラグランジアンが対称性の下で不変であれば、結果として得られる運動方程式もその対称性の下で不変です。この特性は、理論が特殊相対性理論または一般相対性理論のいずれかと一致することを示すのに非常に役立ちます。

• グプタ、キラン・チャンドラ、「粒子と剛体の古典力学」（Wiley、1988 年）。
• Cassel, Kevin (2013)。変分法の科学と工学への応用。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-02258-4。
• Goldstein、Herbert他著「古典力学」第3版、Pearson、2002年。

• David Tong. 「Cambridge Lecture Notes on Classical Dynamics」. DAMTP . 2017-06-08閲覧。
• 最小作用の原理インタラクティブ 優れたインタラクティブな説明/ウェブページ
• Joseph Louis de Lagrange - āuvres complètes (Gallica-Math)
• 制約された運動と一般化座標、4 ページ