ホモトピー原理

数学において、ホモトピー原理（またはh 原理）は偏微分方程式（PDE）、より一般的には偏微分関係（PDR）を解くための非常に一般的な方法です。h 原理は、浸漬問題、等尺浸漬問題、流体力学などの 劣決定PDE または PDR に適しています。

この理論は、ヤコフ・エリアシュバーグ、ミハイル・グロモフ、アンソニー・V・フィリップスによって始められました。これは、特にはめ込みに関して、偏微分関係をホモトピーに還元した以前の結果に基づいています。h-原理の最初の証拠は、ホイットニー・グラウシュタインの定理に現れました。これに続いて、ナッシュ・カイパー等長C ¹埋め込み定理とスメール・ヒルシュのはめ込み定理が生まれました。

座標 において次数の偏微分方程式を満たす関数を見つけたいとします。これを次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})}$

${\displaystyle \Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},J_{f}^{k})=0}$

ここで は の次数まで のすべての偏微分を表します。 のすべての変数を新しい独立変数に置き換えると、方程式は次のようになります。 ${\displaystyle J_{f}^{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle J_{f}^{k}}$${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}}$

${\displaystyle \Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0}$

そして、次のような方程式がいくつかある。

${\displaystyle y_{j}={\partial ^{k}f \over \partial u_{j_{1}}\ldots \partial u_{j_{k}}}.}$

解決策

${\displaystyle \Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0}$

は非ホロノミック解と呼ばれ、元の偏微分方程式の解でもある系の解はホロノミック解と呼ばれます。

元の方程式の解が存在するかどうかを確認するには、まず非ホロノミック解が存在するかどうかを確認します。通常、これは非常に簡単で、非ホロノミック解が存在しない場合は、元の方程式に解が存在しないことになります。

PDE は、非ホロノミック解のクラスで任意の非ホロノミック解をホロノミック解に変形できる場合、 -原理を満たします。したがって、h-原理が存在する場合、微分位相問題は代数位相問題に帰着します。より明確に言えば、これは位相障害以外にホロノミック解の存在を妨げる障害が存在しないことを意味します。${\displaystyle h}$非ホロノミック解を見つける位相問題は扱いがはるかに簡単で、位相バンドルの障害理論で対処できます。

多くの不確定偏微分方程式は h 原理を満たしますが、そのうちの 1 つが偽であることも興味深い主張です。直感的にこれは、研究対象のオブジェクトが、位相に還元できない非自明な幾何学を持つことを意味します。たとえば、シンプレクティック多様体に埋め込まれたラグランジアンではh 原理が満たされません。これを証明するために、たとえば擬似正則曲線から生じる不変量を探すことができます。

おそらく最も単純な偏微分関係は、導関数がゼロにならないことです。これは 1 つの変数の関数であるため 、正確には常微分関係です。${\displaystyle f'(x)\neq 0.}$

この関係のホロノミック解は、導関数がどこにもゼロにならない関数、つまり、増加または減少のいずれかの厳密に単調な微分可能な関数です。このような関数の空間は、増加する凸集合と減少する凸集合という 2 つの互いに素な凸集合で構成され、2 点のホモトピー型を持ちます。

この関係の非ホロノミック解は、微分可能関数 f(x) と連続関数 g(x) の 2 つの関数のデータで構成され、g(x) はどこにも消滅しません。ホロノミック解は、g(x) = f'(x) とすることで非ホロノミック解を生み出します。非ホロノミック解の空間は、g(x) が正か負かに応じて、2 つの互いに素な凸集合で構成されます。

したがって、ホロノミック解を非ホロノミック解に含めると、h 原理が満たされます。

この自明な例には、非自明な一般化があります。これを円のそれ自身への浸漬に拡張すると、写像を普遍被覆空間に持ち上げて、結果として生じる単調写像に上記の分析を適用することによって、それらを順序 (または回転数) で分類します。線型写像は、角度: (複素数) を掛けることに対応します。ここでは、順序 0 の浸漬は存在しないことに注意してください。それらの浸漬は、自分自身に戻る必要があるためです。これを平面に浸漬された円に拡張すると、浸漬条件は、まさに導関数がゼロにならないという条件です。ホイットニー-グラウシュタインの定理は、ガウス写像のホモトピー類を考慮して、これが h 原理を満たすことを示すことにより、これらを回転数で分類しました。ここでも、順序 0 はより複雑です。 ${\displaystyle \theta \mapsto n\theta }$${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

スメールによる球面の浸漬をシュティーフェル多様体のホモトピー群として分類する分類、およびこれを多様体の浸漬をフレームバンドルの写像のホモトピー類として分類するというヒルシュの一般化は、はるかに広範囲にわたる一般化であり、はるかに複雑ですが、原理的には似ています。浸漬では、導関数が階数k を持つ必要があり、そのためには各方向の偏導関数がゼロにならず、線形独立である必要があります。その結果得られるガウス写像の類似物は、シュティーフェル多様体への写像、またはより一般的にはフレームバンドル間の写像です。

もう1つの簡単な例として、平面上を移動する自動車を考えてみましょう。平面上の自動車の位置は、3つのパラメータ、すなわち、2つの座標と位置（後輪の中間点の位置が適切です）、および自動車の向きを表す角度によって決まります。自動車の動きは、次の式を満たします。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle {\dot {x}}\sin \alpha ={\dot {y}}\cos \alpha .}$

滑らない車は車輪の方向に移動する必要があるためです。ロボット工学の観点では、タスク空間内のすべてのパスがホロノミックであるわけではありません。

この場合の非ホロノミック解は、大まかに言えば、平面内を滑る車の動きに対応します。この場合、非ホロノミック解はホロノミック解に同型であるだけでなく、ホロノミック解によって任意に近似することもできます (限られたスペースでの縦列駐車のように、前後に移動することによって)。これにより、車の位置と角度の両方が任意に近くなることに注意してください。これは、理論的には、車の長さよりも長いスペースであればどこにでも縦列駐車できることを意味します。また、接触 3 多様体では、どの曲線もルジャンドリアン曲線に -近いことも意味します。この最後の特性は、一般的な h 原理よりも強力で、 -稠密な h 原理と呼ばれます。 ${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{0}}$

この例は単純ですが、ナッシュ埋め込み定理、特にナッシュ・カイパー定理と比較すると、またはそれ以上のの短く滑らかな ( ) 埋め込みまたは浸漬は、等長埋め込み (それぞれ浸漬) によって任意に近似できることがわかります。これも稠密な h 原理であり、飛行機内の自動車と本質的に同様の「しわ」、またはむしろ円を描く手法によって証明できますが、はるかに複雑です。 ${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle M^{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{m+1}}$${\displaystyle C^{1}}$

• グロモフとエリアシュバーグが開発した特異点除去技術
• スメールとハーシュの研究に基づいた束技法。^{[1] [2]}
• ナッシュとカイパーの研究に基づく凸積分。^{[3] [4] [5]}

ここでは、h 原理を適用することで証明できる、直感に反する結果をいくつか挙げます。

• 円錐反転。 [ 6 ^] R2上の^原点のない関数f ( x )=| x |を考える。すると、、および任意のに対して、がどの点でもゼロにならないような連続した1パラメータ関数族が存在する。${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{0}=f}$${\displaystyle f_{1}=-f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \operatorname {grad} (f_{t})}$
• 任意の開多様体は、正（または負）の曲率の（非完全な）リーマン計量を許容します。
• の浸漬を使用すると、しわや裂け目が生じることなく球の外転を行うことができます。${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$
• ナッシュ・カイパー C ¹等長埋め込み定理は、特に、の任意の小さな球への円の等長浸漬が存在することを意味しています。この浸漬は ではあり得ません。なぜなら、小さな振動球は主曲率に大きな下限値を与え、したがって浸漬された球のガウス曲率にも大きな下限値を与えるからです。しかし、一方で、浸漬が の場合、これはどこでも 1 に等しくなければならず、ガウスの定理エグレギウムにより、標準 のガウス曲率になります。${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

• 安達昌久『埋め込みと浸漬』、翻訳：キキ・ハドソン
• Eliashberg, Y.; Mishachev, N.; Ariki, S. (2002). h-原理入門. アメリカ数学会. ISBN 9780821832271。
• グロモフ、M. (1986)。偏微分関係。シュプリンガー。ISBN 3-540-12177-3。
• デ・レリス、カミーロ。セーケリヒディ、ラズロ ジュニア (2012)。 「h 原理と流体力学の方程式」。ブル。アメル。数学。社会。49 : 347–375。arXiv : 1111.2700。土井：10.1090/S0273-0979-2012-01376-9。