分離可能な偏微分方程式

変数分離法を用いることで、変数分離可能な偏微分方程式を、より低次元（独立変数が少ない）の方程式群に分解することができます。この方法は一般的に、問題が何らかの特別な形式や対称性を持っていることを前提としています。このようにして、偏微分方程式（PDE）は、より単純なPDE群を解くことで解くことができ、問題が一次元方程式に分解できる場合は、常微分方程式（ODE）を解くことさえ可能です。

変数分離の最も一般的な形式は、単純な変数分離です。各座標の関数の積で与えられる形式の解を仮定することで解が得られます。変数分離には、${\displaystyle R}$-変数分離法は、解を座標の特定の固定関数に各座標の関数の積を掛けたものとして記述することによって達成されます。ラプラス方程式は$\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$は、次の解を持つ偏微分方程式の例です。${\displaystyle R}$-変数分離法。3次元の場合、6次元球面座標を使用します。

（これは、変数分離可能な常微分方程式の場合と混同してはならない。変数分離可能な常微分方程式は、2つの積分に分解できる、やや異なる種類の問題を指す。変数分離を参照のこと。）

例えば、時間に依存しないシュレーディンガー方程式を考えてみよう。

${\displaystyle [-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )}$

関数について${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$（簡略化のため、無次元単位を使用）。（同様に、非斉次ヘルムホルツ方程式を考えます。）関数が${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$3次元では、

${\displaystyle V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),}$

すると、この問題は関数に関する3つの1次元常微分方程式に分解できることがわかる。${\displaystyle \psi _{1}(x_{1})}$、${\displaystyle \psi _{2}(x_{2})}$、 そして${\displaystyle \psi _{3}(x_{3})}$最終的な解は次のように表すことができます。${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\psi _{1}(x_{1})\cdot \psi _{2}(x_{2})\cdot \psi _{3}(x_{3})}$（より一般的には、シュレーディンガー方程式の分離可能なケースは、1948年にアイゼンハルトによって列挙された。^{[ 1 ]}）