音波方程式

理想気体の法則から始めましょう

${\displaystyle P=\rho R_{\text{specific}}T,}$

どこ${\displaystyle T}$気体の絶対温度と比気体定数${\displaystyle R_{\text{specific}}}$すると、プロセスが断熱的であると仮定すると、圧力${\displaystyle P(\rho )}$密度の関数と考えることができる${\displaystyle \rho }$。

質量保存則と運動量保存則は、 2 つの方程式の閉じたシステムとして記述できます^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{t}+(\rho u)_{x}&=0,\\(\rho u)_{t}+(\rho u^{2}+P(\rho ))_{x}&=0.\end{aligned}}}$$ この2つの非線形保存則からなる連成システムは、ベクトル形式で次のように表すことができます。 $${\displaystyle q_{t}+f(q)_{x}=0,}$$ と $${\displaystyle q={\begin{bmatrix}\rho \\\rho u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}q_{(1)}\\q_{(2)}\end{bmatrix}},\quad f(q)={\begin{bmatrix}\rho u\\\rho u^{2}+P(\rho )\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}q_{(2)}\\q_{(2)}^{2}/q_{(1)}+P(q_{(1)})\end{bmatrix}}.}$$

この方程式を線形化するために、^{[ 4 ]}$${\displaystyle q(x,t)=q_{0}+{\tilde {q}}(x,t),}$$ どこ${\displaystyle q_{0}=(\rho _{0},\rho _{0}u_{0})}$は（一定の）背景状態であり、$\displaystyle {\tilde {q}}}$は十分に小さな摂動、すなわち、のべき乗または積$\displaystyle {\tilde {q}}}$は破棄できる。したがって、テイラー展開は${\displaystyle f(q)}$与える： $${\displaystyle f(q_{0}+{\tilde {q}})\approx f(q_{0})+f'(q_{0}){\tilde {q}}}$$ どこ $${\displaystyle f'(q)={\begin{bmatrix}\partial f_{(1)}/\partial q_{(1)}&\partial f_{(1)}/\partial q_{(2)}\\\partial f_{(2)}/\partial q_{(1)}&\partial f_{(2)}/\partial q_{(2)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-u^{2}+P'(\rho )&2u\end{bmatrix}}.}$$ これにより、線形化された方程式が得られます。 $$\left\{$$ 同様に、${\displaystyle q}$次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle \rho u=(\rho _{0}+{\tilde {\rho }})(u_{0}+{\tilde {u}})=\rho _{0}u_{0}+{\tilde {\rho }}u_{0}+\rho _{0}{\tilde {u}}+{\tilde {\rho }}{\tilde {u}}}$$ そのため $${\displaystyle {\widetilde {\rho u}}\approx {\tilde {\rho }}u_{0}+\rho _{0}{\tilde {u}},}$$ 圧力摂動は密度摂動と次のように関係する。 $${\displaystyle p=p_{0}+{\tilde {p}}=P(\rho _{0}+{\tilde {\rho }})=P(\rho _{0})+P'(\rho _{0}){\tilde {\rho }}+\dots }$$ すなわち、 $${\displaystyle p_{0}=P(\rho _{0}),\quad {\tilde {p}}\approx P'(\rho _{0}){\tilde {\rho }},}$$ どこ${\displaystyle P'(\rho _{0})}$は定数であり、線形音響方程式の別の形式が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {p}}_{t}+u_{0}{\tilde {p}}_{x}+K_{0}{\tilde {u}}_{x}&=0,\\\rho _{0}{\tilde {u}}_{t}+{\tilde {p}}_{x}+\rho _{0}u_{0}{\tilde {u}}_{x}&=0.\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle K_{0}=\rho _{0}P'(\rho _{0})}$は体積弾性率である。便宜上チルダを削除すると、線形一次システムは次のように記述できる。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}p\\u\end{bmatrix}}_{t}+{\begin{bmatrix}u_{0}&K_{0}\\1/\rho _{0}&u_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\u\end{bmatrix}}_{x}=0.}$$ 一般的には、背景速度がゼロでないことはあり得るが（例えば、一定強度の風の中での音の伝播を研究する場合など）、${\displaystyle u_{0}=0}$すると、線形システムは2階波動方程式に帰着する。 $${\displaystyle p_{tt}=-K_{0}u_{xt}=-K_{0}u_{tx}=K_{0}\left({\frac {1}{\rho _{0}}}p_{x}\right)_{x}=c_{0}^{2}p_{xx},}$$ と${\displaystyle c_{0}={\sqrt {K_{0}/\rho _{0}}}}$音速。​

したがって、音響方程式は、物理学から直接導かれる一次 移流方程式のシステム、すなわち第一積分から導出できる。 $${\displaystyle q_{t}+Aq_{x}=0,}$$ と $${\displaystyle q={\begin{bmatrix}p\\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&K_{0}\\1/\rho _{0}&0\end{bmatrix}}.}$$ 逆に、2次方程式が与えられた場合${\displaystyle p_{tt}=c_{0}^{2}p_{xx}}$一次システムを導出できる。 $${\displaystyle q_{t}+{\hat {A}}q_{x}=0,}$$ と $${\displaystyle q={\begin{bmatrix}p_{t}\\-p_{x}\end{bmatrix}},\quad {\hat {A}}={\begin{bmatrix}0&c_{0}^{2}\\1&0\end{bmatrix}},}$$ ここで行列${\displaystyle A}$そして${\displaystyle {\hat {A}}}$類似している。^{[ 5 ]}

速度が${\displaystyle c}$は定数であり、周波数に依存しない（分散のない場合）ので、最も一般的な解は次のようになる。

${\displaystyle p=f(ct-x)+g(ct+x)}$

どこ${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$は任意の２つの２回微分可能な関数である。これは、任意のプロファイルの２つの波形の重ね合わせとしてイメージすることができる。${\displaystyle f}$）x軸に沿って上昇し、もう一方の（${\displaystyle g}$）x軸に沿って速度で下降${\displaystyle c}$正弦波が一方向に伝搬する特定のケースは、以下のいずれかを選択することによって得られます。${\displaystyle f}$または${\displaystyle g}$片方は正弦波、もう片方はゼロとなり、

${\displaystyle p=p_{0}\sin(\omega t\mp kx)}$。

どこ${\displaystyle \omega }$は波の角周波数であり、${\displaystyle k}$は波数です。

ファインマン^{[ 6 ]}は、3次元における音の波動方程式を次のように導出している。

${\displaystyle \nabla ^{2}p-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0,}$

どこ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ラプラス演算子は、${\displaystyle p}$は音圧（周囲圧力からの局所的な偏差）であり、${\displaystyle c}$は音速です。

粒子速度ベクトル場 に対する同様の波動方程式は次のように与えられる。

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} \;-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {u} \; \over \partial t^{2}}=0}$。

場合によっては、次のような形式の抽象的なスカラー場速度ポテンシャルの波動方程式を解く方が都合が良い。

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial t^{2}}=0}$

そして、以下の式（粒子速度の場合は定義）によって、物理量である粒子速度と音圧を導出します。

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \Phi \;}$、

${\displaystyle p=-\rho {\partial \over \partial t}\Phi }$。

以下の解は、異なる座標系での変数分離によって得られる。これらはフェーザ解であり、暗黙の時間依存係数を持つ。${\displaystyle e^{i\omega t}}$どこ${\displaystyle \omega =2\pi f}$は角周波数である。明示的な時間依存性は次のように与えられる。

${\displaystyle p(r,t,k)=\operatorname {Real} \left[p(r,k)e^{i\omega t}\right]}$

ここ${\displaystyle k=\omega /c\ }$は波数です。