偏微分代数方程式

数学において、偏微分代数方程式 (PDAE)セットは、代数方程式のセットで閉じられた偏微分方程式の不完全なシステムです。

一般的な PDAE は次のように定義されます。

${\displaystyle 0=\mathbf {F} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}},{\frac {\partial ^{2}y_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}},\ldots ,\mathbf {z} \right),}$

どこ：

• F は任意の関数の集合です。
• x は独立変数の集合です。
• yは偏微分が定義されている従属変数の集合であり、
• z は偏導関数が定義されていない従属変数の集合です。

PDAE と偏微分方程式(PDE) の関係は、常微分方程式(ODE) と微分代数方程式(DAE)の関係に似ています。

この一般的な形式のPDAEは解くのが困難です。簡略化された形式は文献でより詳細に研究されています。^{[1] [2] [3]} 2000年という最近の時点でも、「PDAE」という用語は関連分野の人々には馴染みのない用語として扱われていました。^[4]

半離散化は、時間と空間を独立変数とするPDAEを解くための一般的な方法であり、数十年にわたって使用されてきました。^{[5] [6]} この方法では、有限体積法などの離散化法を使用して空間変数を削除し、結果として得られる線形方程式を代数関係の一部として組み込みます。これにより、システムはDAEに縮小され、従来の解法を使用できます。