LPスペース

数学において、L ^p空間は有限次元ベクトル空間のpノルムの自然な一般化を使用して定義される関数空間です。これらはアンリ・ルベーグ(Dunford & Schwartz 1958, III.3)にちなんでルベーグ空間と呼ばれることもありますが、ブルバキ群 (Bourbaki 1987)によれば、これらはフリジェス・リース(Riesz 1910) によって初めて導入されました。

L ^p空間は、関数解析におけるバナッハ空間、および位相ベクトル空間の重要なクラスを形成します。測度空間と確率空間の数学的解析における重要な役割のため、ルベーグ空間は物理学、統計学、経済学、金融、工学、およびその他の分野における問題の理論的議論にも使用されます。

次元実ベクトル空間におけるベクトルのユークリッド長さはユークリッドノルムで与えられる。 ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}$$

2 点間のユークリッド距離は、2 点間の直線の長さです。多くの場合、ユークリッド距離は特定の空間内の実際の距離を捉えるのに適しています。対照的に、格子状の街路図にいるタクシー運転手は、目的地までの直線の長さではなく、街路が互いに直交しているか平行であるかを考慮した直線距離で距離を測る必要があります。 -ノルムのクラスは、これら 2 つの例を一般化し、数学、物理学、コンピューター サイエンスの多くの分野で豊富な用途があります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \|xy\|_{2}}$${\displaystyle p}$

実数 の場合、の-ノルムまたは-ノルムはによって定義されます。 が、その簡約形式で分子が偶数である有理数であり、実数の集合またはそのサブセットの 1 つから抽出される 場合、絶対値のバーは省略できます。 ${\displaystyle p\geq 1,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$

上記のユークリッドノルムはこのクラスに分類され、-ノルムであり、 -ノルムは直線距離に対応するノルムです。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$

-ノルムまたは最大ノルム（または一様ノルム）は、次のように表されるに対する -ノルムの極限です。 ${\displaystyle L^{\infty}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p\to \infty }$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}$$

すべての-ノルムと最大ノルムは「長さ関数」（またはノルム）の特性を満たします。つまり、 ${\displaystyle p\geq 1,}$${\displaystyle p}$

• ゼロベクトルのみが長さがゼロであり、
• ベクトルの長さはスカラーの乗算に関して正同次であり（正同次性）、
• 2つのベクトルの和の長さは、ベクトルの長さの和より大きくはなりません（三角不等式）。

抽象的に言えば、これは、-ノルムとともに、ノルムベクトル空間であることを意味します。さらに、この空間は完備 であるため、バナッハ空間になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$

2 点間のグリッド距離または直線距離 (「マンハッタン距離」と呼ばれることもあります) は、それらの間の線分の長さ (ユークリッド距離または「直線距離」) よりも短くなることはありません。正式には、これは、任意のベクトルのユークリッド ノルムがその 1 ノルムによって制限されることを意味します。 $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}$$

この事実は-ノルムに一般化され、任意のベクトルの-ノルムは とともに増加しません。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \|x\|_{p}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}$任意のベクトルおよび実数およびに対して(実際、これはおよびに対しても当てはまります。)${\displaystyle x}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle a\geq 0.}$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle a\geq 0}$

反対方向については、-ノルムと-ノルムの間に次の関係があることが分かっています。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$$${\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}$$

この不等式は、基礎となるベクトル空間の次元に依存し、コーシー・シュワルツの不等式から直接導かれます。 ${\displaystyle n}$

一般に、${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle 0<r<p:}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}$$

これはヘルダーの不等式の結果です。

において、この式は に対する 絶対同次関数を定義しますが、結果として得られる関数は劣加法ではないため、ノルムを定義しません。一方、この式は 絶対同次性を失う代償として劣加法関数を定義します。ただし、次数 の同次であるF ノルム を定義します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n>1,}$$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$$${\displaystyle 0<p<1;}$$${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$$${\displaystyle p.}$

したがって、関数は 計量 を定義する。計量空間は次のように表される。$${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}$${\displaystyle \ell_{n}^{p}.}$

この計量における原点の周りの- 単位球は「凹」であるが、計量によって上に定義される位相はの通常のベクトル空間位相であり、したがって は局所的に凸な位相ベクトル空間である。この定性的な記述を超えて、 の凸性の欠如を測定する定量的な方法は、 を 単位球のスカラー倍数がの凸包を含むような最小の定数で表すことである。を固定した場合 となるという事実は、以下で定義される 無限次元シーケンス空間がもはや局所的に凸ではないことを示している 。^{[引用が必要]}${\displaystyle p}$${\displaystyle B_{n}^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle B_{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \ell_{n}^{p}}$${\displaystyle \ell_{n}^{p}}$${\displaystyle C_{p}(n)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\,B_{n}^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle B_{n}^{p},}$${\displaystyle B_{n}^{1}.}$${\displaystyle p<1}$$${\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }$$${\displaystyle \ell^{p}}$

1 つのノルムと、「ノルム」(引用符付き) と呼ばれる別の関数があります。${\displaystyle \ell_{0}}$${\displaystyle \ell_{0}}$

ノルムの数学的定義はバナッハの線型演算理論によって確立された。数列の空間は積計量上のF ノルムによって提供される完全な計量位相を持つ: ^{[要出典] -}ノルム 空間は関数解析、確率論、調和解析で研究される。 ${\displaystyle \ell_{0}}$ $${\displaystyle (x_{n})\mapsto \|x\|:=d(0,x)=\sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}}.}$$${\displaystyle \ell_{0}}$

もう一つの関数は、 David Donohoによって「ノルム」と呼ばれました。引用符は、この関数が適切なノルムではないことを警告しています。これは、ベクトルの非ゼロ要素の数です^[要出典]多くの著者は引用符を省略して用語を乱用しています。のゼロ「ノルム」の定義は、 ${\displaystyle \ell_{0}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle 0^{0}=0,}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$$

これは同次ではないため、ノルムではありません。たとえば、ベクトルを正の定数でスケーリングしても、「ノルム」は変わりません。数学的なノルムとしてはこれらの欠陥がありますが、非ゼロ計数「ノルム」は科学計算、情報理論、統計、特に信号処理や計算調和解析における圧縮センシングで使用されています。ノルムではありませんが、距離には同次性は必要ないため、 ハミング距離と呼ばれる関連するメトリックは有効な距離です。${\displaystyle x}$

-ノルムは、無限個の要素（シーケンス）を持つベクトルに拡張することができ、空間が生成されます。これには、特殊なケースとして以下が含まれます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell^{p}.}$

• ${\displaystyle \ell^{1},}$絶対収束する級数の空間、
• ${\displaystyle \ell^{2},}$平方和可能列の空間はヒルベルト空間であり、
• ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$有界シーケンスの空間。

スカラー加算と乗算を適用することにより、シーケンスの空間は自然なベクトル空間構造を持ちます。明示的には、実数 (または複素数) の無限シーケンスのベクトル和とスカラー作用は次のように与えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$$

-ノルムを定義します。 ${\displaystyle p}$$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$$

ここで、右側の級数が必ずしも収束するとは限らないという複雑な問題が生じます。そのため、たとえば、1 だけで構成される数列は、に対して無限の -ノルムを持ちます。この場合、空間は、 -ノルムが有限であるような実数 (または複素数) のすべての無限数列の集合として定義されます。 ${\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p}$

が増加するにつれて、集合が大きくなることが確認できます。たとえば、数列は では存在しませんが、 では です。これは、級数が に対して発散するためです（調和級数）。しかし、 では収束します。${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell ^{p}}$$${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$$${\displaystyle \ell ^{1},}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p>1,}$$${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle p>1.}$

また、上限: と、それに対応するすべての有界シーケンスの空間を使用して -ノルムを定義する。^[1] 右辺が有限であるか、左辺が無限である場合、次の式が成り立つことがわかる。したがって、${\displaystyle \infty }$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}$$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

このように定義された -ノルムは確かにノルムであり、このノルムとともにバナッハ空間が存在します。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \ell ^{p}}$

前述の定義と完全に類似して、一般のインデックス集合(および) 上の空間を と 定義できます。 ここで、右側の収束は、可算個数の和のみが非ゼロであることを意味します (無条件収束も参照)。 ノルムにより、 空間はバナッハ空間になります。 が有限で要素がある場合、この構成により、上で定義した-ノルムが得られます。 が可算無限の場合、これはまさに上で定義したシーケンス空間です。 非可算集合の場合、これは 非可分バナッハ空間であり、 -シーケンス空間の局所凸直接極限として見ることができます。^[2]${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$$${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}$$$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$$${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

ノルムは、​​${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ユークリッド内積 は、すべてのベクトルに対して が成り立つことを意味します分極恒等式を用いてノルムで表すことができます。その上で は次のように定義できます の場合を考えます。^{[注 1]}を定義します。 ここで、すべての^{[3][注 2]}${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$${\displaystyle \mathbf {x} .}$${\displaystyle \ell ^{2},}$$${\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}.}$$${\displaystyle p=\infty .}$ $${\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}$$${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}$$

インデックス セットは、離散 σ 代数と計数測度を与えることで測度空間に変換できます。その場合、空間はより一般的な-空間 (以下で定義) の特殊なケースになります。${\displaystyle I}$${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$${\displaystyle L^{p}}$

空間は、絶対値の - 乗がルベーグ積分可能な測定可能な関数の空間として定義され、ほぼどこでも一致する関数は同一視されます。より一般的には、を測度空間とし、^{[注 3]} のとき、からまでのすべての測定可能な関数、または絶対値の -乗が有限積分を持つ、または記号で表すと次のようになるすべての測定可能な関数の集合を考えます。 ^[4]${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$${\displaystyle p\neq \infty }$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}$$

の集合を定義するには、集合が測定可能で測度が 0 の場合、で定義された2 つの関数と は、ほぼどこでもaeと書かれて等しいと言われることを思い出してください。同様に、測定可能な関数(およびその絶対値) は、(必然的に) 測定可能な集合が測度が 0 の場合、ほぼどこでも実数 ae によって制限(または支配)されます。空間は、ほぼどこでも (ある実数 によって) 制限されるすべての測定可能な関数の集合であり、これらの制限の最小値として定義されます。 のとき、これはの絶対値の本質的な最大値と同じです。^{[注 4]}${\displaystyle p=\infty ,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle |f|\leq C}$${\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$$${\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}$$${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}$$

例えば、がほぼどこでも等しい測定可能な関数である場合^[注5] 、任意のに対して、したがってすべてのに対して${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p.}$

任意の正の に対して、測定可能な関数のにおける値とその絶対値は常に同じです (つまり、すべての に対して)。そのため、測定可能な関数が に属するのは、その絶対値が に属する場合のみです。このため、-ノルムを含む多くの式は、非負の実数値関数に対してのみ述べられます。たとえば、が測定可能、が実数、(ここでは のとき) のときは常にが成立する恒等式を考えてみましょう。非負性要件は、をに代入することで削除でき、次の式が得られます 。特に、 が有限のとき、式は-ノルムを -ノルムに関連付けることに留意してください。 ${\displaystyle p,}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle 0<p\leq \infty }$${\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}$${\displaystyle p=r}$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$

べき乗積分関数の半ノルム空間${\displaystyle p}$

関数の各集合は、加算とスカラー乗算が点ごとに定義されるとき、ベクトル空間を形成する。 ^{[注 6]} 2 つの- 乗積分可能関数の和とが再び- 乗積分可能であることは、 ^{[証明 1]から導かれるが、これは}ミンコフスキーの不等式 の結果でもある。この不等式は、 がに対して三角不等式を満たすことを示している（ に対しては三角不等式は成立しない）。 がスカラー乗算で閉じているのは、 が絶対同次であることによる。つまり、すべてのスカラーとすべての関数に対して${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle p}$${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f.}$

絶対同次性、三角不等式、非負性は、半ノルムの定義特性です。したがって、は半ノルムであり、関数 と - 乗可積分関数の集合は、半ノルムベクトル空間を定義します。一般に、を満たすがと完全に等しくない測定可能な関数が存在する可能性があるため、半ノルムはノルムではありません^{[注 5]} (がノルムであるのは、そのような関数が存在しないときのみです)。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle f}$

-半ノルムの零集合${\displaystyle p}$

が測定可能で、 aeに等しい場合、すべての正の に対して となります。 一方、が測定可能な関数で、 が存在する場合、ほぼすべての場所で となります。が有限の場合、これは上記の ケースと式からわかります。${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle p\leq \infty .}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0<p\leq \infty }$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$

したがって、が正でが任意の測定可能な関数である場合、ほぼどこでも である場合に限ります。右辺 ( ae) は について言及していないため、すべてが同じゼロセットを持つことになります( に依存しません)。したがって、この共通セットを で表します。このセットは、 すべての正の に対して のベクトル部分空間です。${\displaystyle p\leq \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f=0}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p\leq \infty .}$

商ベクトル空間

すべての半ノルムと同様に、半ノルムは、そのベクトル部分空間によって の標準商ベクトル空間上にノルム（簡単に定義）を誘導します。 このノルム商空間はルベーグ空間と呼ばれ、この記事の主題です。まず、商ベクトル空間を定義します。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$

任意のが与えられたとき、剰余類はほぼどこでもと等しいすべての測定可能な関数から構成されます。通常 で表され、 ベクトルの加算とスカラー乗算が および で定義されているとき、すべての剰余類の集合は を原点とするベクトル空間を形成します。この特定の商ベクトル空間は で表されます。2 つの剰余類が等しいのは の場合(または同値として)のみであり、これはほぼどこでも の場合のみに当てはまります。この場合、 と は商空間で同一視されます。したがって、厳密に言えば は関数の同値類から構成されます。^{[5] [6]}${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},}$$${\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}$${\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}$$${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}$$${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$

任意の剰余類上の半ノルムの値は定数であり、 に等しい。つまり、 写像は上のノルムであり、と呼ばれる。${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$${\displaystyle \|f\|_{p}}$$${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}$$${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$${\displaystyle p}$-ノルム。剰余類の値は特定の関数に依存しません。つまり、 が任意の剰余類である任意の に対して と(任意の に対して であるため)。 ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$${\displaystyle f+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}$${\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$