等長法

数学において、等長変換（または合同変換、合同変換）は、距離を保つ距離空間間の変換であり、通常は全単射であると仮定されます。^[a]等長変換という語は、古代ギリシャ語のἴσος isos（「等しい」）と μέτρον metron （「測定」）に由来しています。変換が距離空間からそれ自体への変換である場合、それは運動と呼ばれる一種の幾何学的変換です。

距離空間（大まかに言えば、集合と、その集合の要素間に距離を割り当てる方式）が与えられた場合、等長変換とは、新しい距離空間の画像要素間の距離が元の距離空間の要素間の距離と等しくなるように、要素を同じまたは別の距離空間にマッピングする変換です。2次元または3次元のユークリッド空間では、2つの幾何図形が等長変換で関連付けられている場合、それらの図形は合同です。 ^[b] それらを関連付ける等長変換は、剛体運動（並進または回転）か、剛体運動と反射の合成です。

等長変換は、ある空間が別の空間に埋め込まれる構成でよく使用されます。たとえば、距離空間の完備化には、から 上のコーシー列の空間の商集合への等長変換が含まれます。したがって、 元の空間は完全な距離空間の部分空間に等長同型であり、通常はこの部分空間と同一視されます。その他の埋め込み構成では、すべての距離空間が何らかのノルム付きベクトル空間の閉部分集合に等長同型であり、すべての完全な距離空間が何らかのバナッハ空間の閉部分集合に等長同型であることが示されています。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M',}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle M}$

ヒルベルト空間上の等長射影線型作用素はユニタリ作用素と呼ばれます。

およびを計量空間と し 、任意のに対して、​​​ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\textstyle d_{X}}$${\textstyle d_{Y}.}$ ${\textstyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle a,b\in X}$

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^{[4] [c]}

等長変換は自動的に単射である。^[a]そうでなければ、2つの異なる点aとb が同じ点に写像され、計量dの一致公理、すなわち の場合のみに矛盾する。この証明は、半順序集合間の順序埋め込みが単射であることの証明に似ている。明らかに、計量空間間のすべての等長変換は位相埋め込みである。 ${\displaystyle d(a,b)=0}$${\displaystyle a=b}$

大域的等長写像、等長同型写像、または合同写像は、全単射の等長写像です。他の全単射と同様に、大域的等長写像には逆関数があります。大域的等長写像の逆写像も大域的等長写像です。

2 つの距離空間XとY は、 XからYへの全単射等長写像が存在する場合、等長写像と呼ばれます。距離空間からそれ自身への全単射等長写像の集合は、関数合成に関して群を形成し、等長写像群と呼ばれます。

パス等長変換または弧状等長変換というより弱い概念もあります。

パス等長写像または弧状等長写像は、曲線の長さを保存する写像である。このような写像は、必ずしも距離を保存する意味での等長写像ではなく、必ずしも全単射である必要はなく、単射でさえある必要もない。^{[5] [6]この用語はしばしば単に}等長写像と短縮されるため、文脈からどのタイプを意図しているかを判断するように注意する必要がある。

例

• あらゆる鏡映、平行移動、回転はユークリッド空間上の大域的等長変換です。ユークリッド群とユークリッド空間 § 等長変換も参照してください。
• の写像はパス等長写像ですが、(一般的な)等長写像ではありません。等長写像とは異なり、このパス等長写像は単射である必要がないことに注意してください。${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

次の定理は Mazur と Ulam によるものです。

定義: ^[7]ベクトル空間における2つの要素xとyの 中点はベクトル⁠1/2⁠ ( x + y )。

2 つのノルム付きベクトル空間 と線型等長写像が与えられると、ノルムを保存する 線型写像が得られます。${\displaystyle V}$${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle A:V\to W}$

${\displaystyle \|Av\|_{W}=\|v\|_{V}}$

^[9]線型 等長写像は上記の意味で距離を保存する写像である。線型等長写像が大域等長写像であるためには、射影写像でなければならない。 ${\displaystyle v\in V.}$

内積空間では、上記の定義は次のように簡約される。

${\displaystyle \langle v,v\rangle _{V}=\langle Av,Av\rangle _{W}}$

すべてに対して、これは次のようになる。これはまた、等長変換は内積を保存することも意味する。 ${\displaystyle v\in V,}$${\displaystyle A^{\dagger }A=\operatorname {Id} _{V}.}$

${\displaystyle \langle Au,Av\rangle _{W}=\langle u,A^{\dagger }Av\rangle _{V}=\langle u,v\rangle _{V}}$。

ただし、線形等長変換は常にユニタリ演算子であるとは限りません。これは、線形等長変換では、さらに および が要求されるからです(つまり、定義域と余定義域が一致し、余等長変換を定義します)。 ${\displaystyle V=W}$${\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {Id} _{V}}$${\displaystyle A}$

マズール・ウラム定理により、 上の任意のノルムベクトル空間の等長変換はアフィンである。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

線形等長変換も必然的に角度を保存するため、線形等長変換は等角線形変換です。

例

• から への線型写像は、その行列がユニタリ である場合に限り、 （内積に対して）等長写像となる。^{[10] [11] [12] [13]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

多様体の等長写像とは、多様体からそれ自身への写像、または点間の距離の概念を保持する別の多様体への写像のことです。等長写像の定義には、多様体上の計量の概念が必要です。(正定値の)計量を持つ多様体はリーマン多様体であり、不定計量を持つ多様体は擬似リーマン多様体です。したがって、等長写像はリーマン幾何学で研究されます。

ある（擬似）リーマン多様体から別のリーマン多様体への局所等長写像は、 2 番目の多様体の計量テンソルを1 番目の多様体の計量テンソルに引き戻す写像です。このような写像が微分同相写像でもある場合、このような写像は等長写像（または等長同型写像）と呼ばれ、リーマン多様体の カテゴリRmにおける同型（「同一性」）の概念を提供します。

とを2つの（擬）リーマン多様体とし、を微分同相写像とする。このとき、を等長写像（または等長同型写像） と呼ぶのは、${\displaystyle R=(M,g)}$${\displaystyle R'=(M',g')}$${\displaystyle f:R\to R'}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle g=f^{*}g',}$

ここで、階数 (0, 2) の計量テンソルの による引き戻しを表します。同様に、押し出しの観点から、上の任意の 2 つのベクトル場(つまり、接線バンドルのセクション) に対して、 ${\displaystyle f^{*}g'}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*},}$${\displaystyle v,w}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} M}$

${\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).}$

が局所微分同相写像で、となる場合、 は局所等長写像と呼ばれる。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g=f^{*}g',}$${\displaystyle f}$

等長変換の集合は、通常、等長変換群と呼ばれる群を形成します。群が連続群である場合、群の微小生成元はキリング ベクトル場です。

マイヤーズ・スティーンロッド定理は、連結された 2 つのリーマン多様体間の等長変換はすべて滑らか (微分可能) であると述べています。この定理の 2 番目の形式は、リーマン多様体の等長変換群がリー群であると述べています。

対称空間は、あらゆる点で等長変換が定義されているリーマン多様体の重要な例です。

• 正の実数εが与えられたとき、ε等長写像またはほぼ等長写像（ハウスドルフ近似とも呼ばれる）は、距離空間間の 写像であり、${\displaystyle f\colon X\to Y}$
  1. なぜなら、​${\displaystyle x,x'\in X}$${\displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,}$
  2. 任意の点には、${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon }$

つまり、ε等長変換はε内の距離を保存し、領域の要素の像からεより離れた共域の要素を残しません。ε等長変換は連続であるとは想定されていないことに注意してください。

• 制限された等長特性は、スパースベクトルのほぼ等長行列を特徴付けます。
• 準等長法は、もう一つの有用な一般化です。
• 抽象単位 C*-代数の要素を等長変換として定義することもできます。

  ${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$は等長変換である。${\displaystyle a^{*}\cdot a=1.}$

導入部で述べたように、左逆元が右逆元であるということが一般にはあり得ないため、これは必ずしもユニタリ元ではないことに注意してください。

• 擬ユークリッド空間では、等長写像という用語は絶対値を保存する線型一対一写像を意味します。二次空間も参照してください。