中心傾向

統計学において、中心傾向（または中心傾向の尺度）とは、確率分布の中心値または典型的な値である。^[1]

口語的には、中心傾向の尺度は平均と呼ばれることが多い。中心傾向という用語は1920年代後半に登場した。^[2]

中心傾向の最も一般的な尺度は、算術平均、中央値、および最頻値です。中間傾向は、有限の値のセットまたは正規分布などの理論的な分布のいずれかに対して計算できます。著者は時々、中心傾向を「定量的データが中心値の周りに集まる傾向」を示すために使用します。 ^{[2] [3]}

分布の中心傾向は、通常、その分散または変動性と対比されます。分散と中心傾向は、分布の特徴としてよく挙げられる特性です。分析では、分散に基づいて、データの中心傾向が強いか弱いかを判断する場合があります。

以下は 1 次元データに適用できます。状況によっては、中心傾向を計算する前にデータを変換することが適切な場合があります。例としては、値を二乗したり、対数を取ることが挙げられます。変換が適切かどうか、またどのような変換を行うべきかは、分析対象のデータに大きく依存します。

算術平均 または単に平均

すべての測定値の合計をデータセット内の観測値の数で割ったもの。

中央値

データ セットの上位半分と下位半分を分ける中間の値。中央値と最頻値は、値が相対的にランク付けされるが絶対的に測定されない順序データに使用できる唯一の中心傾向の尺度です。

モード

データ セット内で最も頻繁に発生する値。これは、純粋に質的なカテゴリ割り当てを持つ名目データで使用できる唯一の中心傾向の尺度です。

一般化平均

ピタゴラスの定理の一般化は、指数によって指定されます。

幾何平均

データ値の積のn乗根。この値はn個あります。この測定は、厳密に正のスケールで測定されたデータに対してのみ有効です。

調和平均

データ値の逆数の算術平均の逆数。この測定は、厳密に正または負のスケールで測定されたデータに対してのみ有効です。

加重算術平均

特定のデータ要素に重み付けを組み込んだ算術平均。

切り捨て平均 またはトリム平均

最高値と最低値の一定数または一定割合のデータ値を破棄した後のデータ値の算術平均。

四分位平均

四分位範囲内のデータに基づく切り捨て平均。

ミッドレンジ

データ セットの最大値と最小値の算術平均。

ミッドヒンジ

第 1 四分位数と第 3 四分位数の算術平均。

準算術平均

連続した単射関数によって指定される一般化平均の一般化。

トリメアン

中央値と 2 つの四分位数の加重算術平均。

ウィンザー化平均

極端な値が中央値に近い値に置き換えられた算術平均。

上記はいずれも多次元データの各次元に適用できますが、結果は多次元空間の回転に対して不変ではない可能性があります。

幾何平均線

サンプル ポイントのセットまでの距離の合計を最小化する点。これは、1 次元データに適用した場合の中央値と同じですが、各次元の中央値を個別に取得するのとは異なります。異なる次元の異なる再スケーリングに対して不変ではありません。

二次平均（ 二乗平均平方根とも呼ばれる）

工学では役立ちますが、統計ではあまり使用されません。分布に負の値が含まれている場合、分布の中心を示すのに適した指標ではないためです。

単体の深さ

与えられた分布から頂点をランダムに選んだ単体が与えられた中心を含む確率

テューキー中央値

それを含むすべての半空間には多くの標本点も含まれるという性質を持つ点

中心傾向のいくつかの尺度は、変分法の意味で変分問題を解くこと、つまり中心からの偏差を最小化するものとして特徴付けることができます。つまり、統計的分散の尺度が与えられた場合、偏差を最小化する中心傾向の尺度を求めます。つまり、中心からの偏差がすべての中心の選択の中で最小となるようにするのです。皮肉なことに、「分散は場所に先行する」のです。これらの尺度は最初は 1 次元で定義されますが、複数の次元に一般化できます。この中心は一意である場合もそうでない場合もあります。L p 空間の意味で、対応は次 ^{のようになります。}

関連する関数はpノルムと呼ばれ、それぞれ 0-「ノルム」、1-ノルム、2-ノルム、∞-ノルムです。L 0 空間に対応する関数はノルムではないため、引用符で囲んで 0-「ノルム」と呼ばれる^ことがよくあります。

方程式では、与えられた（有限の）データ セットXをベクトルx = ( x ₁ ,…, x _n )として考えた場合、点c の周りの分散は、 pノルム（点の数 n で正規化）における定数ベクトルc = ( c ,…, c )への「距離」です。

${\displaystyle f_{p}(c)=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|_{p}:={\bigg (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-c\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}}$

p = 0およびp = ∞の場合、これらの関数は、それぞれp → 0およびp → ∞として極限を取ることによって定義されます。p = 0の場合、極限値は0 ⁰ = 0およびa ⁰ = 0またはa ≠ 0であるため、差は単純に等しくなり、0 ノルムは不等点の数を数えます。p = ∞の場合、最大数が優勢であるため、∞ ノルムが最大差になります。

平均（L ²中心）と中間範囲（L ^∞中心）は一意ですが（存在する場合）、中央値（L ¹中心）と最頻値（L ⁰中心）は一般に一意ではありません。これは、関連する関数（強制関数）の凸性の観点から理解できます。

2 ノルムと ∞ ノルムは厳密に凸であるため、（凸最適化により）最小化関数は（存在する場合）一意であり、有界分布に対して存在します。したがって、平均に関する標準偏差は他のどの点に関する標準偏差よりも低く、中間範囲に関する最大偏差は他のどの点に関する最大偏差よりも低くなります。

1 ノルムは厳密には凸ではありませんが、最小化関数の一意性を保証するには厳密な凸性が必要です。同様に、中央値 (この意味での最小化) は一般に一意ではなく、実際には離散分布の 2 つの中心点間の任意の点が平均絶対偏差を最小化します。

0 の「ノルム」は凸ではありません (したがってノルムではありません)。それに応じて、モードは一意ではありません。たとえば、一様分布では、任意の点がモードになります。

単一の中心点の代わりに、複数の点を求めることで、これらの点からの変動が最小化されるようにすることができます。これにより、データセット内の各点が最も近い「中心」にクラスタリングされるクラスター分析が行われます。最も一般的な方法は、2 ノルムを使用すると平均がk平均クラスタリングに一般化され、1 ノルムを使用すると (幾何) 中央値がk中央値クラスタリングに一般化されます。0 ノルムを使用すると、モード (最も一般的な値) がk 個の最も一般的な値を中心として使用するように一般化されるだけです。

単一中心統計とは異なり、この多中心クラスタリングは一般に閉形式の式で計算することはできず、代わりに反復法で計算または近似する必要があります。一般的なアプローチの 1 つは、期待値最大化アルゴリズムです。

変動を最小化する「中心」という概念は、情報幾何学では、データセットからの発散（一般化された距離）を最小化する分布として一般化できます。最も一般的なケースは最大尤度推定です。最大尤度推定（MLE）は尤度を最大化（期待される驚きを最小化）し、これは変動を測定するエントロピーを使用して幾何学的に解釈できます。つまり、MLE はクロスエントロピー（相対エントロピー、カルバック・ライブラー・ダイバージェンスと同等）を最小化します。

この簡単な例は、名目データの中心です。モード（唯一の単一値の「中心」）を使用する代わりに、経験的尺度（頻度分布をサンプルサイズで割ったもの）を「中心」として使用することがよくあります。たとえば、表か裏かというバイナリデータが与えられた場合、データセットが 2 つの表と 1 つの裏で構成されている場合、モードは「表」ですが、経験的尺度は 2/3 表、1/3 裏であり、データセットからのクロスエントロピー（総サプライズ）を最小化します。この観点は回帰分析でも使用され、最小二乗法はそこからの距離を最小化する解を見つけます。同様に、ロジスティック回帰では、最大尤度推定によってサプライズ（情報距離）を最小化します。

単峰性分布の場合、以下の境界が明確であることが知られている：^[4]

${\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}},}$

${\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

ここで、μは平均、νは中央値、θは最頻値、σ は標準偏差です。

あらゆる分布において、^{[5] [6]}

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq 1.}$

• 中心的瞬間
• 期待値
• 位置パラメータ
• 平均
• 人口平均
• サンプル平均