数学 において 、 ペティス積分 または ゲルファンド–ペティス積分は 、 イスラエル・M・ゲルファンド と ビリー・ジェームズ・ペティスにちなんで名付けられ、 双対性 を利用して、 ルベーグ積分 の定義を 測度空間 上のベクトル値関数に拡張したものです。この積分は、測度空間が ルベーグ測度 を持つ区間である場合のためにゲルファンドによって導入されました。この積分は 、強積分である
ボホナー積分 に対して 弱積分 とも呼ばれます。
意味 が測度空間であり、 が点を分離する 連続的な双対空間を持つ 位相ベクトル空間 (TVS) である とします (つまり、がゼロでない場合は、 となるような ものが存在する )。たとえば、が ノルム空間 である か、(より一般的には) ハウスドルフ 局所凸TVS である場合、関数の評価は、 の 双対性ペア として記述できます 。
ふ : バツ → 五
{\displaystyle f:X\to V}
（ バツ 、 Σ 、 μ ）
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
五
{\displaystyle V}
五 ′
{\displaystyle V'}
x ∈ 五
{\displaystyle x\in V}
l ∈
五 ′
{\displaystyle l\in V'}
l （ x ） ≠ 0
{\displaystyle l(x)\neq 0}
五
{\displaystyle V}
⟨ φ 、 x ⟩ = φ [ x ] 。
{\displaystyle \langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x].}
この地図 は
ふ : バツ → 五
{\displaystyle f:X\to V}
弱可測 とは、すべての スカラー値写像 が 可測写像で 。弱可測写像 は、
φ ∈
五 ′
、
{\displaystyle \varphi \in V',}
φ ∘ ふ
{\displaystyle \varphi \circ f}
ふ : バツ → 五
{\displaystyle f:X\to V}
が弱積分可能で
バツ
{\displaystyle X}
あるとは、任意のスカラー値写像 に対して ルベーグ積分可能 （ つまり、 ）
ものが存在するとき で
e ∈ 五
{\displaystyle e\in V}
φ ∈
五 ′
、
{\displaystyle \varphi \in V',}
φ ∘ ふ
{\displaystyle \varphi \circ f}
φ ∘ ふ ∈
ら
1
（
バツ 、 Σ 、 μ
）
{\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}
φ （ e ） =
∫
バツ
φ （ ふ （ x ） ）
d
μ （ x ） 。
{\displaystyle \varphi (e)=\int _{X}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x).}
この地図 は
ふ : バツ → 五
{\displaystyle f:X\to V}
ペティスが積分可能である とは、 すべてのベクトルに対して 、またすべてのベクトルに対して ベクトルが存在することを 。
φ ∘ ふ ∈
ら
1
（
バツ 、 Σ 、 μ
）
{\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}
φ ∈
五
′
{\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}
あ ∈ Σ
{\displaystyle A\in \Sigma }
e
あ
∈ 五
{\displaystyle e_{A}\in V}
⟨ φ 、
e
あ
⟩ =
∫
あ
⟨ φ 、 ふ （ x ） ⟩
d
μ （ x ）
全ての
φ ∈
五 ′
。
{\displaystyle \langle \varphi ,e_{A}\rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{すべての }}\varphi \in V'。}
この場合 は、
e
あ
{\displaystyle e_{A}}
の ペティス積分 ペティス積分の一般的な表記法 に 以下のものがある。
ふ
{\displaystyle f}
あ 。
{\displaystyle A.}
e
あ
{\displaystyle e_{A}}
∫
あ
ふ
d
μ 、
∫
あ
ふ （ x ）
d
μ （ x ） 、
そして、もし
あ = バツ
理解され、
μ [ ふ ] 。
{\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\quad {\text{そして、}}~A=X~{\text{が理解される場合、}}\quad \mu [f]。}
「弱積分可能」の定義の背後にある動機を理解するには、 が 基礎となるスカラー体である特殊なケース、つまり または の場合を考えます。 この場合、 上のすべての線形関数は、 あるスカラーに対して という 形式になります (つまり、 は定数によるスカラー乗算に過ぎません)。条件
は
に簡略化されます。
特に、この特殊なケースでは、がルベーグ積分可能である 場合にのみ、 は 上で弱積分可能です 。
五
{\displaystyle V}
五 =
R
{\displaystyle V=\mathbb {R} }
五 =
Ｃ
。
{\displaystyle V=\mathbb {C} .}
φ
{\displaystyle \varphi}
五
{\displaystyle V}
φ （ ええ ） = s ええ
{\displaystyle \varphi (y)=sy}
s ∈ 五
{\displaystyle s\in V}
φ
{\displaystyle \varphi}
φ （ e ） =
∫
あ
φ （ ふ （ x ） ）
d
μ （ x ）
全ての
φ ∈
五 ′
、
{\displaystyle \varphi (e)=\int _{A}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{for all}}~\varphi \in V',}
s e =
∫
あ
s ふ （ x ）
d
μ （ x ）
すべてのスカラーに対して
s 。
{\displaystyle se=\int _{A}sf(x)\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{すべてのスカラーに対して}}~s.}
ふ
{\displaystyle f}
バツ
{\displaystyle X}
ふ
{\displaystyle f}
ダンフォード積分との関係 この地図 は
ふ : バツ → 五
{\displaystyle f:X\to V}
ダンフォード積分可能と は、 すべてのものに対して 、またすべてのもの に対して 、
φ ∘ ふ ∈
ら
1
（
バツ 、 Σ 、 μ
）
{\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}
φ ∈
五
′
{\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}
あ ∈ Σ
{\displaystyle A\in \Sigma }
d
あ
∈
五 ″
、
{\displaystyle d_{A}\in V'',}
ダン
フォード 積分
は 、
ふ
{\displaystyle f}
あ 、
{\displaystyle A,}
⟨
d
あ
、 φ ⟩ =
∫
あ
⟨ φ 、 ふ （ x ） ⟩
d
μ （ x ）
全ての
φ ∈
五 ′
{\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{すべての場合 }}\varphi \in V'}
⟨
d
あ
、 φ ⟩ =
d
あ
（ φ ） 。
{\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =d_{A}(\varphi ).}
あらゆるベクトルを 、 によって定義される 上のスカラー値関数の写像と同一視する 。この割り当てにより、標準評価写像と呼ばれる写像が誘導され、それを通じて、 は二重双対 のベクトル部分空間として同一視される。
空間が 半 反射空間 となるのは、この写像が 射影的で ある場合に限る。 は、 あらゆる に対して となる場合に限る。
x ∈ 五
{\displaystyle x\in V}
五 ′
{\displaystyle V'}
φ ∈
五 ′
↦ φ （ x ） 。
{\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x).}
五
{\displaystyle V}
五 ″
。
{\displaystyle V''.}
五
{\displaystyle V}
ふ : バツ → 五
{\displaystyle f:X\to V}
d
あ
∈ 五
{\displaystyle d_{A}\in V}
あ ∈ Σ 。
{\displaystyle A\in \Sigma .}
プロパティ 定義から直接導かれる結論は、ペティス積分は連続線型作用素と互換性があるということである。 が線型かつ連続であり、 ペティス積分可能であるならば、 ペティス積分可能であり、
Φ :
五
1
→
五
2
{\displaystyle \Phi \colon V_{1}\to V_{2}}
ふ : バツ →
五
1
{\displaystyle f\colon X\to V_{1}}
Φ ∘ ふ
{\displaystyle \Phi \circ f}
∫
バツ
Φ （ ふ （ x ） ） d μ （ x ） = Φ
（
∫
バツ
ふ （ x ） d μ （ x ）
）
。
{\displaystyle \int _{X}\Phi (f(x))\,d\mu (x)=\Phi \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right).}
実数値および複素数値関数の 標準推定値は、次の意味でペティス積分に一般化されます。すべての連続半ノルム とすべてのペティス積分可能に対して 、 が成り立ちます。右辺は 値関数の下ルベーグ積分で、つまり、 です。下ルベーグ積分を取る必要があるのは、被積分関数が 測定可能でない可能性があるためです。これは、 ハーン・バナッハの定理 から導かれます。なぜなら、すべてのベクトルに対して 、 かつすべての に対して と なる 連続 関数が存在する必要があるからです 。 これを に適用すると、 結果が得られます。
|
∫
バツ
ふ （ x ） d μ （ x ）
|
≤
∫
バツ
|
ふ （ x ）
|
d μ （ x ）
{\displaystyle \left|\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right|\leq \int _{X}|f(x)|\,d\mu (x)}
p : 五 →
R
{\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }
ふ : バツ → 五
{\displaystyle f\colon X\to V}
p
（
∫
バツ
ふ （ x ） d μ （ x ）
）
≤
∫
バツ
_
p （ ふ （ x ） ） d μ （ x ）
{\displaystyle p\left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)\leq {\underline {\int _{X}}}p(f(x))\,d\mu (x)}
[ 0 、 ∞ ]
{\displaystyle [0,\infty ]}
∫
バツ
_
グ d μ := すする
{
∫
バツ
h d μ
|
h : バツ → [ 0 、 ∞ ]
測定可能であり、
0 ≤ h ≤ グ
}
。
{\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \;\right|\;h\colon X\to [0,\infty ]{\text{ は測定可能であり、}}0\leq h\leq g\right\} です。}
p ∘ ふ
{\displaystyle p\circ f}
ヴ ∈ 五
{\displaystyle v\in V}
φ ∈
五
∗
{\displaystyle \varphi \in V^{*}}
φ （ ヴ ） = p （ ヴ ）
{\displaystyle \varphi (v)=p(v)}
わ ∈ 五
{\displaystyle w\in V}
|
φ （ わ ）
|
≤ p （ わ ）
{\displaystyle |\varphi (w)|\leq p(w)}
ヴ :=
∫
バツ
ふ d μ
{\displaystyle v:=\int _{X}f\,d\mu }
平均値定理 重要な性質は、有限測度に関するペティス積分が、 積分領域の測度によってスケールされた値の
凸包の閉包に含まれることです。
μ （ あ ） < ∞
暗示する
∫
あ
ふ d μ ∈ μ （ あ ） ⋅
共同 （ ふ （ あ ） ）
¯
{\displaystyle \mu (A)<\infty {\text{ implies }}\int _{A}f\,d\mu \in \mu (A)\cdot {\overline {\operatorname {co} (f(A))}}}
これはハーン・バナッハの定理 の結果であり 、 実数値関数の積分に対する平均値定理 を一般化したものです。 の場合 、閉凸集合は単なる区間であり、 の場合 、次の不等式が成り立ちます。
V
=
R
{\displaystyle V=\mathbb {R} }
f
:
X
→
[
a
,
b
]
{\displaystyle f\colon X\to [a,b]}
μ
(
A
)
a
≤
∫
A
f
d
μ
≤
μ
(
A
)
b
.
{\displaystyle \mu (A)a~\leq ~\int _{A}f\,d\mu ~\leq ~\mu (A)b.}
存在 が有限次元である 場合、 の座標
のそれぞれがルベーグ積分可能であるときに限り、 はペティス積分可能です。
V
=
R
n
{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
がペティス積分可能で、 がの測定可能な部分集合である 場合 、定義により 、 およびもペティス積分可能であり、
f
{\displaystyle f}
A
∈
Σ
{\displaystyle A\in \Sigma }
X
{\displaystyle X}
f
|
A
:
A
→
V
{\displaystyle f_{|A}\colon A\to V}
f
⋅
1
A
:
X
→
V
{\displaystyle f\cdot 1_{A}\colon X\to V}
∫
A
f
|
A
d
μ
=
∫
X
f
⋅
1
A
d
μ
.
{\displaystyle \int _{A}f_{|A}\,d\mu =\int _{X}f\cdot 1_{A}\,d\mu .}
が位相空間である 場合、 その ボレル 代数 （ 有限値をコンパクト部分集合に割り当てるボレル測度） は 準 完全 （ つまり、すべての 有界 コーシーネットは 収束する）であり、 がコンパクトな台と連続である場合、 は ペティス積分可能である。より一般的には、 が弱測定可能であり、 となるコンパクト凸 零集合が 存在する場合 、 は ペティス積分可能である。
X
{\displaystyle X}
Σ
=
B
X
{\displaystyle \Sigma ={\mathfrak {B}}_{X}}
σ
{\displaystyle \sigma }
μ
{\displaystyle \mu }
V
{\displaystyle V}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
C
⊆
V
{\displaystyle C\subseteq V}
N
⊆
X
{\displaystyle N\subseteq X}
f
(
X
∖
N
)
⊆
C
{\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq C}
f
{\displaystyle f}
ペティス積分可能確率変数に対する大数の法則 を確率空間とし 、を 点を分離する双対空間を持つ位相ベクトル空間とします。を ペティス積分可能なランダム変数の列とし、 （ 上） のペティス積分について と書きます。 は の（非ランダム）ベクトルであり 、 はスカラー値ではない
ことに注意してください。
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}
V
{\displaystyle V}
v
n
:
Ω
→
V
{\displaystyle v_{n}:\Omega \to V}
E
[
v
n
]
{\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}
v
n
{\displaystyle v_{n}}
X
{\displaystyle X}
E
[
v
n
]
{\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}
V
,
{\displaystyle V,}
標本平均を表す とし
ます。線形性により、 ペティス積分可能であり、
v
¯
N
:=
1
N
∑
n
=
1
N
v
n
{\displaystyle {\bar {v}}_{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}v_{n}}
v
¯
N
{\displaystyle {\bar {v}}_{N}}
E
[
v
¯
N
]
=
1
N
∑
n
=
1
N
E
[
v
n
]
∈
V
.
{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.}
の部分和が、
和の並び替えがすべて単一のベクトルに収束するという意味において 、の
位相において絶対収束すると仮定する 。大数の弱法則は、任意 の関数に対して、従って、 上の 弱位相 において、
1
N
∑
n
=
1
N
E
[
v
¯
n
]
{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]}
V
,
{\displaystyle V,}
λ
∈
V
.
{\displaystyle \lambda \in V.}
⟨
φ
,
E
[
v
¯
N
]
−
λ
⟩
→
0
{\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}
φ
∈
V
∗
.
{\displaystyle \varphi \in V^{*}.}
E
[
v
¯
N
]
→
λ
{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda }
X
.
{\displaystyle X.}
さらなる仮定がなければ、 は[ 引用が必要 ] に収束しない 可能性があります 。強い収束を得るには、さらなる仮定が必要です。 [ 引用が必要 ]
E
[
v
¯
N
]
{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]}
λ
.
{\displaystyle \lambda .}
参照
参考文献
ジェームズ・K・ブルックス「 バナッハ空間における弱積分と強積分の表現 」、 米国科学アカデミー紀要 63、1969年、266-270。全文 MR 0274697 Israel M. Gel'fand 、 Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires 、Commun。研究所科学。数学。エト・メカン大学Kharkoff et Soc.数学。ハリコフ、IV。サー。 13、1936、35–40 Zbl 0014.16202 ミシェル・タラグラン 、 『ペティス積分と測度論』 、AMS 紀要第 307 号 (1984) MR 0756174 ソボレフ、VI (2001) [1994]、「ペティス積分」、 数学百科事典 、 EMS プレス
![{\displaystyle \langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92584443166736d482e32139463a5eddea49c1d2)
![{\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\quad {\text{そして、}}~A=X~{\text{が理解される場合、}}\quad \mu [f]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9eec809a28e7d6c6e2e4a307ee58fbbbb1fbdc)
![{\displaystyle [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52088d5605716e18068a460dec118214954a68e9)
![{\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \;\right|\;h\colon X\to [0,\infty ]{\text{ は測定可能であり、}}0\leq h\leq g\right\} です。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7131bfd237f02e8e06f56c05225a15da5c3bafa)
![{\displaystyle f\colon X\to [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77d6d43168af8c6664334539c54facc05f077e6)
![{\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05e6167389c46c59808b6c999058fe86796fabe)
![{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [ v_{n}]\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf9cb2d6a7643bc95c6999887f0f5816c9737db)
![{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a2ef26625246c8cc99949aa469f9fdee2e085c)
![{\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56671ce061d998074a6fca038c2c78fce886b854)
![{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ed2a98fe8adf477397c8140daf38006bd7c336)
![{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42c60cd4f73ca1b7130db48e4ebe3630624a085)
