マッケンハウプトの重み

数学において、マッケンハウプト重み A _pのクラスは、ハーディ・リトルウッド極大作用素がL ^p ( dω )上で有界となる重みωから構成される。具体的には、R ⁿ上の関数fと、それに関連する極大関数M (  f  )を次のように定義する。   

${\displaystyle M(f)(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{r^{n}}}\int _{B_{r}(x)}|f|,}$

ここで、B _r ( x )はR ⁿ内の半径rで中心がxである球体である。1 ≤ p < ∞とすると、関数ω  : R ⁿ → [0, ∞)を特徴づけたい。この関数に対しては、次の境界がある。

${\displaystyle \int |M(f)(x)|^{p}\,\omega (x)dx\leq C\int |f|^{p}\,\omega (x)\,dx,}$

ここでCはpとωのみに依存します。これはベンジャミン・ムッケンハウプトによって初めて行われました。^[1]

1 < p < ∞を固定して、 ω  : R ⁿ → [0, ∞)の重みがA _pに属するとは、ω が局所的に積分可能であり、定数Cが存在して、 R ⁿ内のすべてのボールBに対して、次が成り立つことを言う。

${\displaystyle \left({\frac {1}{|B|}}\int _{B}\omega (x)\,dx\right)\left({\frac {1}{|B|}}\int _{B}\omega (x)^{-{\frac {q}{p}}}\,dx\right)^{\frac {p}{q}}\leq C<\infty ,}$

ここで| B |はBのルベーグ測度であり、q は次の実数です: ⁠1/p⁠ + ⁠1/q⁠ = 1 .

ω  : R ⁿ → [0, ∞)がA ₁に属するとは、あるC が存在し、

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}\omega (y)\,dy\leq C\omega (x),}$

ほぼすべてのx∈BとすべてのボールBに対して。 [ 2 ^]

以下の結果は、Muckenhoupt 重みの研究における基本的な結果です。

定理。1 < p < ∞とする。重みωがA _pに含まれるのは、次のいずれかが成り立つ場合のみである。 ^[2]

(a)ハーディ・リトルウッド最大関数はL ^p ( ω ( x ) dx )で制限され、つまり

${\displaystyle \int |M(f)(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx\leq C\int |f|^{p}\,\omega (x)\,dx,}$

上記の定義のpと定数Aのみに依存するCに対して。

(b) R ⁿ上の任意の局所積分可能な関数fとすべての球Bに対して定数c が存在する。  

${\displaystyle (f_{B})^{p}\leq {\frac {c}{\omega (B)}}\int _{B}f(x)^{p}\,\omega (x)\,dx,}$

どこ：

${\displaystyle f_{B}={\frac {1}{|B|}}\int _{B}f,\qquad \omega (B)=\int _{B}\omega (x)\,dx.}$

同様に:

定理。1 < p < ∞とすると、次の両方が成り立つ場合のみ、w = e ^φ ∈ A _{pとなります。}

${\displaystyle \sup _{B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}e^{\varphi -\varphi _{B}}dx<\infty }$

${\displaystyle \sup _{B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}e^{-{\frac {\varphi -\varphi _{B}}{p-1}}}dx<\infty .}$

この同等性は、Jensen の不等式を使用して検証できます。

上記の同値性の証明の主なツールは次の結果である。^[2]次の文は同値である。

1. ω ∈ A _p （ 1 ≤ p < ∞）である。
2. 0 < δ、γ < 1が存在し、すべての球Bと部分集合E ⊂ Bに対して、| E | ≤ γ  | B |であればω ( E ) ≤ δ  ω ( B )が成立します。
3. 1 < qとc (どちらもωに依存)が存在し、すべてのボールBに対して次が成り立ちます。

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}\omega ^{q}\leq \left({\frac {c}{|B|}}\int _{B}\omega \right)^{q}.}$

3 番目の定式化の不等式は、逆ヘルダー不等式 と呼ばれるものです。これは、逆不等式が任意の非負関数に対してヘルダー不等式から直接導かれるためです。上記の 3 つの同等の条件のいずれかが成り立つ場合、 ω はA _∞に属すると言えます。

A _p重みの定義と逆ヘルダー不等式は、そのような重みが急激に悪化したり増加したりしないことを示しています。この特性は、重みの対数がどれだけ振動するかという観点から同等に表現できます。

(a) w∈Ap（p≥1）の場合、 log ( w ) ∈BMO （つまりlog ( _w )は平均振動が制限されている）となる。

(b) f   ∈ BMOの場合、 δ > 0が十分に小さいとき、 p ≥ 1に対してe ^δf ∈ A _pが成り立ちます。 

この同値性は、上記の重みの指数特性、Jensenの不等式、およびJohn-Nirenbergの不等式を使用することで確立できます。

部分(b)のδ > 0の小ささの仮定は、結果が真になるために必要であり、−log| x | ∈ BMOであることに注意してください。ただし、

${\displaystyle e^{-\log |x|}={\frac {1}{e^{\log |x|}}}={\frac {1}{|x|}}}$

どのA _pにも存在しません。

ここでは、重みに関するさまざまな特性をいくつか挙げます。そのうちのいくつかは定義を使用して検証できますが、その他は重要な結果です。

${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{p}\subseteq A_{\infty },\qquad 1\leq p\leq \infty .}$

${\displaystyle A_{\infty }=\bigcup _{p<\infty }A_{p}.}$

w ∈ A _pの場合、w  dx は倍増測度を定義します。つまり、任意の球Bについて、2 B が半径の 2 倍の球である場合、w (2 B ) ≤ Cw ( B )となります。ここで、C > 1はwに依存する定数です。

w ∈ A _pの場合、w ^δ ∈ A _pとなるδ > 1が存在します。

w∈A∞ならば_δ > 0となり、重みはとなる。^[3 ]${\displaystyle w_{1},w_{2}\in A_{1}}$${\displaystyle w=w_{1}w_{2}^{-\delta }}$

これらの重み付きL ^p空間上で有界となるのはハーディ・リトルウッド極大作用素だけではありません。実際、カルデロン・ジグムント特異積分作用素もこれらの空間上で有界となります。^[4]ここで、これをより簡単に説明します。^[2] L ² ( dx )上で有界となる作用素Tがあるとします。

${\displaystyle \forall f\in C_{c}^{\infty }:\qquad \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}}.}$

また、次の意味でT をカーネルKに対する畳み込みとして実現できると仮定します。 f  、gが滑らかで、サポートが互いに素である場合、次のようになります。  

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(xy)f(y)\,dy\,dx.}$

最後に、カーネルKのサイズと滑らかさの条件を仮定します。

${\displaystyle \forall x\neq 0,\forall |\alpha |\leq 1:\qquad \left|\partial ^{\alpha }K\right|\leq C|x|^{-n-\alpha }.}$

すると、 1 < p < ∞かつω∈A pのそれぞれに対して、TはL ^p ( ω ( x ) dx )上の有界作用素となる。つまり、推定値 _は

${\displaystyle \int |T(f)(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx\leq C\int |f(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx,}$

右辺が有限である すべてのfに対して。  

上記の3つの条件に加えて、核Kの非退化条件を仮定すると、固定された単位ベクトルu _{0に対して}

${\displaystyle |K(x)|\geq a|x|^{-n}}$

−∞ < t < ∞のときはいつでも逆が成り立つ。 ${\displaystyle x=t{\dot {u}}_{0}}$

${\displaystyle \int |T(f)(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx\leq C\int |f(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx,}$

ある固定された1 < p < ∞とあるωに対して、ω∈Apとなる_。 [ ^2]

K > 1の場合、K -準等角写像は同相写像f   : R ⁿ → R ⁿであり、  

${\displaystyle f\in W_{loc}^{1,2}(\mathbf {R} ^{n}),\quad {\text{ および }}\quad {\frac {\|Df(x)\|^{n}}{J(f,x)}}\leq K,}$

ここで、Df  ( x )はxにおけるfの微分であり、J (  f  , x )=det( Df  ( x ))はヤコビアンです。   

^{ゲーリングの}定理^[5]によれば、すべての^K準共形関数f   : Rn → Rnに対して、 J (  f  , x )∈Apが成り立ち、 pはK_に依存する。  

単連結な領域Ω ⊆ Cがある場合、Γ内の任意の 2 点z、wに対して、長さが K | z − w | 以下の z と w を接続する曲線 γ ⊆ Γ が存在するとき、その境界曲線Γ = ∂ΩはK弦弧であるという。そのような境界を持つ領域とΩ内の任意のz ₀に対して、調和測度w ( ⋅ ) = w ( z ₀、 Ω、 ⋅ )は 1 次元ハウスドルフ測度に関して絶対連続であり、そのラドン・ニコディム導関数はA _∞にある。^[6]（この場合、基礎となる測度が 1 次元ハウスドルフ測度である場合に重みの定義を適合させる必要があることに注意）。

• ガーネット、ジョン(2007)。有界解析関数。シュプリンガー。