Lp合計

数学、特に関数解析において、バナッハ空間族のL ^p和は、族のメンバーの積集合の部分集合をそれ自体のバナッハ空間に変える方法です。この構築は古典的なL ^p空間に触発されています。^[1]

をバナッハ空間の族とし、 は任意に大きな濃度を持つことができます。 積ベクトル空間を設定します。 ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle P:=\prod _{i\in I}X_{i},}$$

指数集合は、その計数測度（ と表記する）が与えられたときに測度空間となり、各要素は関数 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in P}$$${\displaystyle I\to \mathbb {R} 、i\mapsto \|x_{i}\|。}$$

このように関数を定義し 、 ノルムと合わせて 設定します。$${\displaystyle \Phi :P\to \mathbb {R} \cup \{\infty \},(x_{i})_{i\in I}\mapsto \int _{I}\|x_{i}\|^{p}\,d\mu (i)}$$$${\displaystyle \sideset {}{^{p}}\bigoplus \limits _{i\in I}X_{i}:=\{(x_{i})_{i\in I}\in P\mid \Phi ((x_{i})_{i\in I})<\infty \}}$$$${\displaystyle \|(x_{i})_{i\in I}\|:=\left(\int _{i\in I}\|x_{i}\|^{p}\,d\mu (i)\right)^{1/p}.}$$

結果はノルムバナッハ空間であり、これは^まさに${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}.}$

• 無限に多くの非ゼロ要素が含まれる場合、上記のノルムによって誘導されるトポロジーは、厳密には積トポロジーとボックス トポロジーの中間になります。${\displaystyle X_{i}}$
• の無限個にゼロ以外の要素が含まれる場合、L ^{p の}合計は積でも余積でもありません。${\displaystyle X_{i}}$