Homogeneous function

In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if

${\displaystyle f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

for every ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ and ${\displaystyle s\neq 0.}$ This is also referred to a kth-degree or kth-order homogeneous function.

For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.

The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a fieldF: a function ${\displaystyle f:V\to W}$ between two F-vector spaces is homogeneous of degree ${\displaystyle k}$ if

for all nonzero ${\displaystyle s\in F}$ and ${\displaystyle v\in V.}$ This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that ${\displaystyle \mathbf {v} \in C}$ implies ${\displaystyle s\mathbf {v} \in C}$ for every nonzero scalar s.

In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for ${\displaystyle s>0,}$ and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point.

A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.

同次関数の概念は、もともと複数の実変数を持つ関数に対して導入されたものでした。19世紀末にベクトル空間が定義されると、変数値の組を座標ベクトルとみなせることから、この概念はベクトル空間間の関数にも自然に拡張されました。本稿では、このより一般的な観点について解説します。

一般的に用いられる定義は2つあります。一般的な定義は任意の体上のベクトル空間に適用でき、同次度が整数である場合に限定されます。

2つ目の定義は、実数体、より一般的には順序体上で動作することを想定しています。この定義では、定義に現れるスケーリング係数を正の値に限定するため、正の同次性と呼ばれます。ただし、混同の恐れがない場合は、修飾語の「正」は省略されることがよくあります。正の同次性により、より多くの関数を同次関数とみなすことができます。例えば、絶対値とすべてのノルムは、同次関数ではないものの、正の同次関数です。

スケーリング係数を正の実数値に限定することで、同次度が任意の実数である同次関数も考慮に入れることができる。

大まかに言えば、オイラーの同次関数定理は、与えられた次数の正同次関数が、特定の偏微分方程式の解と完全に一致することを主張している。より正確には、次のようになる。

その結果、もし${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$連続的に微分可能で次数が同次である${\displaystyle k,}$その1階偏導関数${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$次数が同質である${\displaystyle k-1.}$ これは、偏微分方程式を1つの変数に関して微分することにより、オイラーの定理から得られる結果である。

単一の実変数の関数の場合（${\displaystyle n=1}$）定理は、次数kの連続微分可能かつ正同次関数が次の形式であることを意味する。${\displaystyle f(x)=c_{+}x^{k}}$のために${\displaystyle x>0}$そして${\displaystyle f(x)=c_{-}x^{k}}$のために${\displaystyle x<0.}$定数${\displaystyle c_{+}}$そして${\displaystyle c_{-}}$絶対値の場合と同様に、必ずしも同じとは限りません。

代替${\displaystyle v=y/x}$常微分方程式を変換する$${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$$ どこ${\displaystyle I}$そして${\displaystyle J}$同じ次数の同次関数であり、分離可能な微分方程式に$${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.}$$

させて${\displaystyle f:X\to Y}$体上の2つのベクトル空間間の写像である${\displaystyle \mathbb {F} }$（通常は実数）${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数${\displaystyle \mathbb {C} }$）。 もし${\displaystyle S}$は、次のようなスカラーの集合です。${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle [0,\infty ),}$または${\displaystyle \mathbb {R} }$例えば、${\displaystyle f}$と言われている均質な${\displaystyle S}$もし ${\textstyle f(sx)=sf(x)}$すべての${\displaystyle x\in X}$およびスカラー${\displaystyle s\in S.}$ 例えば、ベクトル空間間のすべての加法写像は有理数体上の同次性${\displaystyle S:=\mathbb {Q} }$そうではないかもしれないが実数全体で同次${\displaystyle S:=\mathbb {R} .}$

この定義の、よく見られる特殊なケースやバリエーションには、それぞれ独自の用語があります。

1. （厳しい）正の同質性： ^{[ 1 ]}${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのポジティブな現実${\displaystyle r>0.}$
   • 関数が${\displaystyle f}$ベクトル空間または体において値をとるならば、この性質は論理的に等価である^{[証明1 ]}非負の均質性、定義上は次のことを意味します。 ^{[ 2 ]}${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$およびすべての非負の実数${\displaystyle r\geq 0.}$このため、正の同次性はしばしば非負の同次性とも呼ばれる。しかし、拡張実数で値をとる関数については${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$凸解析などの分野に現れる乗算${\displaystyle 0\cdot f(x)}$定義されない場合${\displaystyle f(x)=\pm \infty }$したがって、これらの記述は必ずしも常に互換性があるとは限りません。^{[注1 ]}
   • この性質は劣線形関数の定義に使用されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}
   • ミンコフスキー汎関数とは、まさにこの性質を持つ非負の拡張実数値関数のことである。
2. 真の均質性：${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべては現実${\displaystyle r.}$
   • この性質は、実線形汎関数の定義に使用されます。
3. 均質性： ^{[ 3 ]}${\displaystyle f(sx)=sf(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • この定義はスカラー場に依存することが強調されている。${\displaystyle \mathbb {F} }$ドメインの基盤${\displaystyle X.}$
   • この性質は、線形汎関数と線形写像の定義に使用されます。^{[ 2 ]}
4. 共役均一性： ^{[ 4 ]}${\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • もし${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$それから${\displaystyle {\overline {s}}}$通常は、の複素共役を表します。${\displaystyle s}$しかし、より一般的には、例えば半線形マップの場合と同様に、${\displaystyle {\overline {s}}}$イメージとしては${\displaystyle s}$ある優れた自己同型のもとで${\displaystyle \mathbb {F} .}$
   • 加法性とともに、この性質は反線形写像の定義において仮定されている。また、半双線形形式の2つの座標のうちの1つがこの性質を持つことも仮定されている（例えば、ヒルベルト空間の内積など）。

上記の定義はすべて、条件を置き換えることで一般化できます。${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$と${\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}$その場合、その定義には「絶対的」または「絶対的に」という語が接頭辞として付きます。 例えば、

5. 絶対的均質性： ^{[ 2 ]}${\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • この性質は、セミノルムとノルムの定義に使用されます。

もし${\displaystyle k}$が固定実数である場合、上記の定義は条件を置き換えることでさらに一般化できます。${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$と${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$（同様に、置き換えることによって）${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$と${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$絶対値などを用いた条件の場合、同次性は「次数」であると言われる。${\displaystyle k}$「（特に、上記の定義はすべて「${\displaystyle 1}$"）。 例えば、

6. 真の等度${\displaystyle k}$:${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべては現実${\displaystyle r.}$
7. 次数の均一性${\displaystyle k}$:${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
8. 絶対的な実同度${\displaystyle k}$:${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべては現実${\displaystyle r.}$
9. 絶対的な均一性${\displaystyle k}$:${\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$

次数が同次である非ゼロの連続関数${\displaystyle k}$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace }$連続的に拡張${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$かつその場合に限り${\displaystyle k>0.}$

• 均質な空間
• 三角形の中心関数– 何らかの基準に基づいて三角形の中心とみなせる点リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 

証明

• クリスチャン・ブラッター (1979)。 「20. MehrDimensione Differentialrechnung、アウフガーベン、1.」。分析 II (ドイツ語) (第 2 版)。スプリンガー・フェルラーグ。 p.  188.ISBN​ 3-540-09484-9。
• クブルスリー、カルロス・S. (2011). 『作用素論の基礎』（第2 版）. ボストン：ビルクハウザー. ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC 710154895 . 
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• シェクター、エリック（1996）。解析学とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 

• 「同次関数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• エリック・ワイススタイン。「オイラーの同次関数定理」。MathWorld 。