ボクナースペース

数学において、ボッホナー空間は、必ずしも実数や複素数の 空間ではないバナッハ空間に値がある関数への空間の概念の一般化です。${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

この空間は、標準空間にノルムがあるバナッハ空間に値を持つすべてのボッホナー可測関数（の同値類）から構成されます。したがって、が複素数の集合である場合、それは標準ルベーグ空間です。 ${\displaystyle L^{p}(X)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|f\|_{X}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{p}}$

空間に関する標準的な結果のほとんど全てはボッホナー空間にも当てはまる。特にボッホナー空間はバナッハ空間であり、${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}(X)}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

ボクナー空間は数学者 サロモン・ボクナーにちなんで名付けられました。

測度空間 、バナッハ空間が与えられると、ボホナー空間は、対応するノルムが有限であるような すべてのボホナー可測関数の空間のコルモゴロフ商（ほぼすべての場所で等式により）として定義されます。${\displaystyle (T,\Sigma ;\mu ),}$ ${\displaystyle \left(X,\|\,\cdot \,\|_{X}\right)}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(T;X)}$${\displaystyle u:T\to X}$$${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}}1\leq p<\infty ,} の場合、<+\infty {\mbox{}$$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}}+\infty .}$$

言い換えれば、空間の研究でよくあるように、は関数の同値類の空間であり、2 つの関数は、の-測度ゼロの部分集合を除いてどこでも等しい場合に同値であると定義されます。このような空間の研究でもよくあるように、表記法を乱用し、同値類 (技術的にはより正確) ではなく、 の「関数」について話すのが普通です。${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}(T;X)}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle L^{p}(T;X)}$

ボホナー空間は、熱方程式などの時間に依存する偏微分方程式の研究に対する関数解析アプローチでよく使用されます。温度が時間と空間のスカラー関数である場合、おそらく何らかのボホナー空間内の空間関数の族(時間によってパラメーター化)を作成するように記述できます。 ${\displaystyle g(t,x)}$${\displaystyle (f(t))(x):=g(t,x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(t)}$

多くの場合、空間は、何らかの偏微分方程式を解く対象となる時間間隔であり、 1次元のルベーグ測度になります。アイデアは、時間と空間の関数を、時間によってパラメータ化された空間関数の集合と見なすことです。たとえば、 の領域と時間間隔での熱方程式の解では 、時間微分 の 解を求めます 。 ここでは、 の境界で消える(トレースの意味で、または同等に、 Ω でコンパクトな台を持つ滑らかな関数の極限)一度弱微分可能な関数のソボレフヒルベルト空間を表します。 は、の双対空間を表します。${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle [0,T],}$$${\displaystyle u\in L^{2}\left([0,T];H_{0}^{1}(\Omega )\right)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\in L^{2}\left([0,T];H^{-1}(\Omega )\right).}$$${\displaystyle H_{0}^{1}(\オメガ )}$ ${\displaystyle L^{2}(\オメガ)}$ ${\displaystyle H^{-1}(\オメガ)}$${\displaystyle H_{0}^{1}(\オメガ ).}$

(上記の時間に関する「偏微分」は、ボッホナー空間の使用により空間依存性が除去されるため、 実際には全微分です。)${\displaystyle t}$

• ボホナー積分 – 数学の概念
• ボクナー測定関数
• ベクトル測定
• ベクトル値関数 – ベクトル空間で値を持つ関数。通常は実数または複素数。リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 弱測定可能関数

• エヴァンス、ローレンス C. (1998)。偏微分方程式。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-0772-2。