測定の収束

測度収束は、確率収束の概念を一般化した2つの異なる数学的概念のいずれかである。

させて$\displaystyle f,f_{n}\ (n\in \mathbb {N} ):X\to \mathbb {R} }$測度空間上の測定可能な関数である${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$シーケンス${\displaystyle f_{n}}$と言われているグローバルに収束する${\displaystyle f}$すべての${\displaystyle \varepsilon >0,}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in X:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0,}$$ そして局所的に${\displaystyle f}$すべての${\displaystyle \varepsilon >0}$そしてすべての${\displaystyle F\in \Sigma }$と ${\displaystyle \mu (F)<\infty ,}$$$\lim_{n\to\infty}\mu(\{x\inF:|f(x)-f_{n}(x)|\geq\varepsilon\})=0.$$

有限測度空間では、両方の概念は同等です。それ以外の場合、測度収束は、著者によって測度における大域的収束^{[ 1 ] : 2.2.3または測度における局所的収束のいずれかを指すことがあります。}

全体を通して、${\displaystyle f}$そして${\displaystyle f_{n}}$（${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$）は測定可能な関数である${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$。

• 測度の大域的収束は測度の局所的収束を意味する。しかし、その逆は成り立たない。つまり、一般的に、測度の局所的収束は測度の大域的収束よりも厳密に弱い。
• しかし、${\displaystyle \mu (X)<\infty }$あるいは、より一般的に言えば、${\displaystyle f}$そしてすべての${\displaystyle f_{n}}$有限測度の集合の外側で消滅すると、測度における局所的収束と大域的収束の区別はなくなる。
• もし${\displaystyle \mu }$はσ有限であり、( f _n )は(局所的または大域的に)収束する。${\displaystyle f}$測度において、収束する部分列が存在する。${\displaystyle f}$ほぼあらゆる場所で。^{[ 1 ]： 2.2.5}測度のグローバル収束の場合、σ-有限性の仮定は不要です。
• もし${\displaystyle \mu }$は${\displaystyle \sigma }$-有限、${\displaystyle (f_{n})}$収束して${\displaystyle f}$局所的に測度が であるのは、すべての部分列が、 に収束する部分列を順番に持つ場合に限る。${\displaystyle f}$ほぼどこでも。
• 特に、${\displaystyle (f_{n})}$収束して${\displaystyle f}$ほぼどこでも、それから${\displaystyle (f_{n})}$収束して${\displaystyle f}$局所的な尺度において。逆は成り立たない。
• ファトゥの補題と単調収束定理は、ほとんど至る所での収束を測度に関する（局所的または大域的な）収束に置き換える場合に成り立つ。
• もし${\displaystyle \mu }$は${\displaystyle \sigma }$有限の場合、ほとんど至る所で収束が測度に関する（局所的または大域的な）収束に置き換えられる場合でも、ルベーグの優収束定理は成り立つ。 ^{[ 1 ]： 2.8.6}
• もし${\displaystyle X=[a,b]\subseteq \mathbb {R} }$μはルベーグ測度であり、数列が存在する。${\displaystyle (g_{n})}$ステップ関数と${\displaystyle (h_{n})}$測度において全体的に収束する連続関数${\displaystyle f}$。
• もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle f_{n}}$ある場合、L ^p ( μ )に含まれる${\displaystyle p>0}$そして${\displaystyle (f_{n})}$収束して${\displaystyle f}$で${\displaystyle p}$-ノルム、次に${\displaystyle (f_{n})}$収束して${\displaystyle f}$世界的に見て、その程度は大きい。逆は成り立たない。
• もし${\displaystyle f_{n}}$収束して${\displaystyle f}$測定と${\displaystyle g_{n}}$収束して${\displaystyle g}$尺度では、${\displaystyle f_{n}+g_{n}}$収束して${\displaystyle f+g}$測度において。さらに、測度空間が有限である場合、${\displaystyle f_{n}g_{n}}$また、${\displaystyle fg}$。

させて${\displaystyle X=\mathbb {R} }$、${\displaystyle \mu }$ルベーグ測度であり、${\displaystyle f}$値がゼロの定数関数。

• シーケンス${\displaystyle f_{n}=\chi _{[n,\infty )}}$収束して${\displaystyle f}$局所的には測度で収束するが、収束しない${\displaystyle f}$世界的に見て、その程度は大きい。
• シーケンス

${\displaystyle f_{n}=\chi _{\left[{\frac {j}{2^{k}}},{\frac {j+1}{2^{k}}}\right]},}$

どこ${\displaystyle k=\lfloor \log _{2}n\rfloor }$そして${\displaystyle j=n-2^{k}}$、その最初の 5 つの項は

${\displaystyle \chi _{\left[0,1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{2}},1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{4}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right]},}$

収束して${\displaystyle 0}$世界的に見て、しかし、${\displaystyle x}$する${\displaystyle f_{n}(x)}$ゼロに収束する。したがって${\displaystyle (f_{n})}$収束しない${\displaystyle f}$ほぼどこにでもある。^{[ 1 ]： 2.2.4}

• シーケンス

${\displaystyle f_{n}=n\chi _{\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}}$

収束して${\displaystyle f}$ほぼあらゆる場所で、そして世界的にある程度、しかし${\displaystyle p}$任意の規範${\displaystyle p\geq 1}$。

Xの可測関数の集合には、測度に関する（局所）収束の位相と呼ばれる位相が存在し、測度に関する局所収束はその位相上の収束に対応する。この位相は擬距離の族によって定義される。$${\displaystyle \{\rho _{F}:F\in \Sigma ,\ \mu (F)<\infty \},}$$ どこ $${\displaystyle \rho _{F}(f,g)=\int _{F}\min\{|fg|,1\}\,d\mu .}$$ 一般に、有限測度の可能なすべての部分集合ではなく、集合のサブファミリーFに限定してもよい。各 に対して、${\displaystyle G\subset X}$有限尺度で${\displaystyle \varepsilon >0}$族の中に、${\displaystyle \mu (G\setminus F)<\varepsilon .}$いつ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$1つの指標のみを考慮する$\displaystyle \rho _{X}}$なので、有限測度における収束の位相は距離化可能である。${\displaystyle \mu }$任意の尺度が有限であるか否か、 $${\displaystyle d(f,g):=\inf \limits _{\delta >0}\mu (\{|fg|\geq \delta \})+\delta }$$ それでも、尺度におけるグローバルな収束を生成する指標を定義する。^{[ 2 ]}

この位相は擬距離の族によって生成されるため、一様化可能です。位相ではなく一様構造を扱うことで、コーシー性などの 一様特性を定式化することができます。

• 収束空間

• D.H.フレムリン、2000年。『測度論』トーレス・フレムリン。
• H.L.ロイデン、1988年。『実解析』プレンティス・ホール。
• GB Folland 1999、第2.4節。実解析。John Wiley & Sons。